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2021年1月30日发(作者：西方婚礼流程)
初中数学三角形难题汇编及解析


一、选择题

1
．
如图，在

ABC
中，
∠
C

90< br>o
，

B

30
o
，以
A
为圆心，任意长为半径画弧分别交
1
AB
、
AC
于点
M和
N
，再分别以
M
、
N
为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧
2
交于点
P
，连结
AP
并延长交
BC
于点
D
，则下列说法中正确的个数是（

）

①
AD
是

BAC
的平分线；
②

ADC

60
o
；
③
点
D
在
AB
的垂直平分线上；
④
S

DAC
:
S

ABC

1:
3


A
．
1
【答案】
D

【解析】

【分析】

B
．
2
C
．
3
D
．
4

根据题干作图方式，可判断
AD
是∠CAB
的角平分线，再结合∠
B=30°
，可推导得到
△
ABD
是等腰三角形，根据这
2
个判定可推导题干中的结论
.

【详解】

题干中作图方法是构造角平分线，
①
正确；
< br>∵∠
B=30°
，∠
C=90°
，
AD
是∠
CAB
的角平分线

∴∠
CAD=
∠
DAB=30°

∴∠
ADC=60°
，
②
正确

∵∠
DAB=
∠
B=30°

∴△
ADB
是等腰三角形

∴点
D
在
AB
的垂直平分线上，
③
正确

在
Rt
△
CDA
中，设
CD=
a
，则AD=2
a

在
△
ADB
中，
DB=AD=2
a

∵< br>S

DAC

1
1
1
3

CD

AC

a

CD
，
S
< br>BAC


(CD+DB)

AC

a
CD

2
2
2
2
∴
S
< br>DAC
:
S

ABC

1:
3
，< br>④
正确

故选：
D

【点睛】

本 题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方
法
.

2
．
把一副三角板如图（
1
）放置，其中∠
ACB
＝∠
DEC
＝
90°
，∠
A
＝
4 5°
，∠
D
＝
30°
，斜边
AB
＝
4，
CD
＝
5
．把三角板
DCE
绕着点
C
顺时针旋转
15°
得到
△
D
1
CE
1
（ 如图
2
），此时
AB
与
CD
1
交于点
O< br>，则线段
AD
1
的长度为（

）


A
．
13

【答案】
A

【解析】

B
．
5

C
．
2
2

D
．
4

试 题分析：由题意易知：∠
CAB=45°
，∠
ACD=30°
．
< br>若旋转角度为
15°
，则∠
ACO=30°
+15°
=45°
．

∴∠
AOC=180°
-
∠
ACO-
∠
CAO=90°
．

在等腰
Rt
△
ABC
中，
AB=4
，则
AO=OC=2
．

在
Rt< br>△
AOD
1
中，
OD
1
=CD
1
- OC=3
，

由勾股定理得：
AD
1
=
13
．

故选
A.

考点
: 1.
旋转；
2.
勾股定理
.


3
．如图，已知
△
ABC
是等腰直角三角形，∠
A
＝
90°
，
BD
是∠
ABC
的平分线，
DE
⊥
BC
于
E
，若
BC
＝
10cm
，则
△
DEC
的周长为（

）


A
．
8cm
【答案】
B

【解析】

【分析】

B
．
10cm
C
．
12cm
D
．
14cm

根据
“AAS”
证明

Δ
ABD
≌
Δ
EBD
.
得到
AD
＝
DE
，
AB
＝
BE
，根据等腰直角三角形的边的关系， 求
其周长
.

【详解】

∵

BD
是∠
ABC
的平分线，

∴

∠
ABD
＝∠
EBD
.

又∵

∠
A
＝∠
DEB
＝
90°
，
BD
是公共边 ，

∴

△
ABD
≌△
EBD
(AAS)
，

∴

AD
＝
ED
，
AB
＝
BE
，

∴

△
DEC
的周长是
DE
＋
EC
＋
DC

＝
AD
＋
DC
＋
EC

＝
AC
＋
EC
＝
AB
＋
EC

＝
BE
＋
EC
＝
BC

＝
10 cm.

故选
B.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质
.
掌 握全等
三角形的判定方法（即
SSS
、
SAS
、
ASA、
AAS
和
HL
）和全等三角形的性质（即全等三角形
的对应边 相等、对应角相等）是解题的关键．


4
．
如图，
OA< br>＝
OB
，
OC
＝
OD
，∠
O
＝50°
，∠
D
＝
35°
，则∠
OAC
等于(


)


A
．
65°

【答案】
B

【解析】

【分析】

B
．
95°

C
．
45°

D
．
85°

根据
OA
＝
OB
，
OC
＝
OD
证明
△
ODB
≌△
OCA，得到∠
OAC=
∠
OBD
，再根据∠
O
＝
5 0°
，∠
D
＝
35°
即可得答案
.

【详解】

解：
OA
＝
OB
，
OC
＝
OD
，

在
△
ODB
和
△
OCA
中，


OB

OA



BOD

< br>AOC


OD

OC

∴△
OD B
≌△
OCA
（
SAS
）
,

∠
OAC=
∠
OBD=180°
-50°
-35°
=95°
，

故
B
为答案
.

【点睛】

本 题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是
解题的关键
.


5
．
如图，在矩形
ABCD
中，

AB

3,
BC

4,
将其折叠使
AB< br>落在对角线
AC
上，得到
折痕
AE
,
那么
B E
的长度为（

）


A
．
1

【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
2

C
．
3

2
D
．
8

5
由勾股定理求出
AC
的长度，由折叠的性质，
AF=AB=3
，则
CF=2
，设
BE= EF=x
，则
CE=
4

x
，利用勾股定理，即可求出x
的值，得到
BE
的长度．

【详解】

解： 在矩形
ABCD
中，
AB

3,
BC

4
，

∴∠
B=90°
，

∴
AC

3
2

4
2

5
，

由折叠的性质，得
AF=AB=3
，
BE=EF
，

∴
CF=5
-
3=2
，

在
Rt
△
CEF
中，设
BE=EF=x
，则
CE=
4
< br>x
，

由勾股定理，得：
x

2

(4

x
)
，

解得：
x

∴< br>BE

2
2
2
3
；

2
3
．

2
故选：
C
．

【点睛】

本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应 用，解题的关
键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出
BE
的长度．


6
．
如图，在
△
ABC
中，
AC
＝
BC
，
D
、
E
分别是
AB
、
AC
上一点，且
AD
＝
AE
，连接
DE
并延长交
BC
的延长线于点
F
，若
DF
＝
BD
，则∠
A
的度数为（


）


A
．
30
【答案】
B

【解析】

【分析】

B
．
36
C
．
45
D
．
72

由
CA=CB
，可以设∠
A=
∠
B=x
．想办法构建方程即可解决问题；

【详解】

解：∵
CA=CB
，

∴∠
A=
∠
B，设∠
A=
∠
B=x
．

∵
DF=DB
，

∴∠
B=
∠
F=x
，

∵
AD=AE
，

∴∠
ADE=
∠
AED =
∠
B+
∠
F=2x
，

∴
x+2x+2x=180°
，

∴
x=36°
，

故选
B
．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟 练掌握基本知
识，属于中考常考题型．


7
．
如图
,
已知
△
ABD
和
△
ACD
关于直线
A D
对称；在射线
AD
上取点
E,
连接
BE, CE,
如图
:
在射
线
AD
上取点
F
连接
BF, CF,
如图
,
依此规律，第
n
个图形中全等三角形的对数是（

）


A
．
n
【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
2n-1
C
．
n
(
n

1)

2
D
．
3(n+1)

根据条件可得图
1
中
△
ABD
≌△
ACD
有
1
对三角形全等；图2
中可证出
△
ABD
≌△
ACD
，
△
BDE
≌△
CDE
，
△
ABE
≌△
ACE
有
3
对全等三角形；图
3
中有
6
对全等三角形，根据数据可
分析出第
n
个图形中全等三角形的对数．

【详解】

∵
AD
是∠
BAC
的平分线，

∴∠
BAD
=
∠
CAD
.

在
△
ABD
与
△
ACD
中，

AB
=
AC
，

∠
BAD
=
∠
CAD
，

AD
=
AD
，

∴△
ABD
≌△
ACD
.

∴图
1
中有
1
对三角形全等；

同理图
2
中
,
△
ABE
≌△
ACE
，

∴
BE
=
EC
，

∵△
ABD
≌△
ACD
.

∴
BD
=
CD
，

又
DE
=
DE
，

∴△
BDE
≌△
CDE
，

∴图
2
中有
3
对三角形全等；

同理：图
3
中有
6
对三角形全等；

由此发现：第
n
个图形中全等三角形的对数是
故选
C.

【点睛】

考查全等三角形的判定，找出数字的变化规律是解题的关键
.

n

n

1

2
.


8
．
如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形
ABC
的顶点A
、
B
分别在
x
轴、
y
轴的
正半轴上 ，

ABC

90

，
CA

x
轴，点
C
在函数
y

则
k
的值为（

）

k

x

0

的图 象上，若
AB

1
，
x

A
．
1
【答案】
A

【解析】

【分析】

B
．
2

2
C
．
2

D
．
2

根据题意可以求得

OA
和

AC
的长，从而可以求得点

C
的坐标，进而求得

k
的


值，本题得以解决．

【详解】

Q
等腰直角三角形
ABC
的顶点
A
、
B
分别在
x
轴、
y< br>轴的正半轴上，

ABC

90

，
CA< br>⊥
x
轴，
AB

1
，


BAC


BAO

45

，


OA

OB

2
，
AC

2
，

2

2


点
C
的 坐标为

,
2


2

，


Q
点
C
在函数
y

k

x

0

的图象上，

x

k< br>
2

2

1
，

2
故选：
A
．

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键


是明确题意，利用数形结合的思想解答．


9
．
如图，已 知
OP
平分∠
AOB
，∠
AOB
＝
60°
，
CP
＝
2
，
CP
∥
OA
，
PD
⊥
OA
于点
D
，
PE
⊥
OB
于点
E
．如果点
M
是
OP
的中点，则
DM
的长 是
(


)


A
．
2
【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
2

C
．
3

D
．
2
3

由
OP
平分∠
AOB
，∠
AOB=60°
，
CP=2
，
CP
∥
OA
，易得
△
OCP
是等腰三角形，∠
COP=30°
，< br>又由含
30°
角的直角三角形的性质，即可求得
PE
的值，继而求得< br>OP
的长，然后由直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得
DM的长．

【详解】

解：∵
OP
平分∠
AOB
，∠
AOB=60°
，

∴∠
AOP=
∠
COP=30°
，

∵
CP
∥
OA
，

∴∠
AOP=
∠
CPO
，

∴∠
COP=
∠
CPO
，

∴
OC=CP=2
，

∵∠
PCE=
∠
A OB=60°
，
PE
⊥
OB
，

∴∠
CPE=30°
，

∴
CE=
1
CP=1
，

2
，

∴
PE=
CP
2

CE
2

3< br>∴
OP=2PE=2
3
，

∵
PD
⊥
OA
，点
M
是
OP
的中点，

1
OP=
3
．

2
故选
C
．

∴
DM=
考点：角平分线的 性质；含
30
度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．


10
．
如图，
□ABCD
的对角线
AC
、
BD
交于点
O
，
AE
平分
BAD
交
BC< br>于点
E
，且∠
ADC
＝
60°
，
AB
＝
④OE
＝
1
BC
，连接
OE
．下列结论：①AE
＝
CE
；
②S
△
ABC
＝
AB •AC
；
③S
△
ABE
＝
2S
△
AOE< br>；
2
1
BC,
成立的个数有（

）

4

A
．
1
个

【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
2
个

C
．
3
个

D
．
4

利用平行四边形的性质可得∠
ABC=
∠
ADC=60°
，∠
BAD=120°
，利用角平分线的性质证明
△
ABE
是等边三角形，然后推出
AE=BE=
线合一进行推理即可．

【详解】

∵四边形
ABCD
是平行四边形，

1
BC
，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三
2


∴∠
ABC=
∠
ADC=60°
，∠
BAD=120°，

∵
AE
平分∠
BAD
，

∴∠
BAE=
∠
EAD=60°

∴△
ABE
是等边三角形，

∴
AE=AB=BE
，∠
AEB=60°
，

-

-

-

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-

-

-

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