-

2021年1月30日发(作者：身体不适)
知识点梳理


考点一、三角形

1
、三角形 的定义
:
由不在同一条直线上的三条线段
首尾顺次相接
所组成的图形叫做三角
形
.

2
、三角形的分类
.


不等边三角形

锐角三角形

三角形


三角形



直角三角形



(按
角

钝角三角形
(
按
边

分
)





等腰三角形
(
等边三角形
)
3
、三角形的三边关系：

三角形任意两边之和大于第三边
,
任意两边之差小于第三边
.

4
、三角形的重要线段

①三角形的中线：顶点与对边中点的连线
,
三条中线交点叫
重心
< br>②三角形的角平分线：
内角平分线与对边相交
,
顶点和交点间的线段
,
三个角的角平分线
的交点叫
内心

③三角形的高：顶点向对边作垂线
,
顶点和垂足间的线段
.
三条高的交点叫
垂心
(
分 锐角
三角形
,
钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同
)

5
、三角形具有稳定性

6
、三角形的内角和定理及性质


定理：三角形的内角和等于
180
°
.


推论
1
：直角三角形的两个锐角互补。



推论
2
：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。


推论
3
：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7
、多边形的外角和恒为
360
°

8
、多边形及多边形的对角线

①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．

②凸凹多边形： 画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同
一侧，这样的多边形称为
凸 多边形
；
，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边
形为
凹多边 形
。

③多边形的对角线的条数
:

A.
从
n
边形的一个顶点可以引（
n-3
）条对角线，将多边形分成（
n-2）个三角形。

n
(
n

3
)

边形共有
条对角线。

2
9
、边形的内角和公式及外角和

①多边形的内角和等于（
n-2
）×
180
°
(n
≥
3)
。

②多边形的外角和等于
360
°。

10
、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。

①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形 封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠
地全部覆盖。

②平面镶嵌的条件：有 公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为
360
°。

考点二、全等三角形

1
、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
。

2
、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1
）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”
或 “
SAS
”
）

（
2
）角边角定理：有两角和它们 的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”
或“
ASA
”
）
（
3
）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或 “
SSS
”
）
。

直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有
HL
定理（斜边、直角边定理）
： 有斜边
和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“
HL”
）

3
、全等变换

只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（
1
）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（
2
）对称变换：将图形沿某直线翻折
180
°，这种变换叫做对称变换。

（
3
）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫 做旋转变换。

考点三、等腰三角形


1
、等腰三角形的性质

（
1
）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论
1
： 等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、
底边上的中线、底边上的 高重合。

推论
2
：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于
60
°。

2
、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（
1
）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（
2
）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论
1
：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论
2
：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论
3
：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论
4
：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论
5
：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

考点四、直角三角形

1
、直角三角形的两个锐角互余

2
、在直角三角形中，
30
°角所对的直角边等于斜边的一半。

3
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4
直角三角形两直 角边
a
，
b
的平方和等于斜边
c
的平方，即
a2

b
2

c
2

5
、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的 比例中项，每条直角边是
它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠
ACB=90
°

CD
2

AD
•
BD





AC
2

AD
•
AB

CD
⊥
AB
BC
2

BD
•
AB

6
、常用关系式

由三角形面积公式可得：

AB
•
CD=AC
•
BC


经典例题解析
：


例
1
.
如图，
BP
平分∠
FBC
，
CP
平分∠
ECB
，∠A=40
°求∠
BPC
的度数。


分析：可以利用三角形外角的性质及三角形的内角和求解。

1
1
解 ：∵∠
1=
(

A


4
)


2

(

A


3
)

2
2

∵

BPC

1 80


(

1


2
)


A

40


1

1

∴

BPC

180


< br>

A


4)



A


3



2

2


180


1

180

< br>40



2

70

例
2
.
如图，求∠
A+
∠
C+
∠
3+
∠F
的度数。

分析：由已知∠
B=30
°，∠
G=80
°，

∠
BDF=130
°，利用四边形内角和，求出

∠
3
的度数，再计算要求的值。

解：∵四边形内角和为（
4-2
）×
180
°
=360
°

∴∠
3 =360
°
-30
°
-80
°
-130
°
=120
°

又∵∠
A
∠
C
∠
F
是三角形的内角


∴∠
A+
∠< br>C+
∠
F+
∠
3=180
°
+120
°=300
°


例
3
．已知一个多边形的每个外角都是 其相邻内角度数的
1
，求这个多边形的边数。

4
分析：每一个外角 的度数都是其相邻内角度数的
1
，而每个外角与其相邻的内角的度数之和
4
为
180
°。

解：设此多边形的外角为
x
，则内角的度数为
4
x

则
x

4
x

180

解得
x

36



边数
n

360


10

36

即这个多边形的边数为
10


例
4
.
用正三角形、正方形和正六边形能否进行镶嵌？


分析：可以进行镶嵌的条件是：一个顶点处各个内角和为
360
°


解：正三角形的内角为
60



正方形的内角为
90


正六边形的内角为
120



∴可以镶嵌。 一个顶点处有
1
个正三角形、
2
个正方形和
1
个正六边形。


例
5.
如图，在△
ABC
中，∠
AC B=60
°，∠
BAC=75
°，
AD
⊥
BC
于< br>D
，
BE
⊥
AC
于
E
，
AD
与
BE
交
于
H
，则∠
CHD=



解：在△
ABC
中，三边的高交于一点，所以
CF⊥
AB
，

∵∠
BAC=75
°，且
CF⊥
AB
，∴∠
ACF=15
°，

∵∠
ACB=60
°，∴∠
BCF=45
°

在△
CDH
中，三内角之和为
180
°，

∴∠
CHD=45
°，

故答案为∠
CHD=45
°．

点评：考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为
180
°．


例
6
．
如图，
AD
、
AM
、< br>AH
分别△
ABC
的角平分线、中线和高．

（
1< br>）因为
AD
是△
ABC
的角平分线，所以∠
=
∠

=
1/2
∠


；

（
2
）因为
AM
是△
ABC
的中线，所以

=
=
；

（
3
）因为
AH
是△
ABC
的高，所以∠

=
∠

=90
°．


分析：（
1
）根据三角形角平分线的定义知：角平分线平分该角；

（
2
）根据三角形的中线的定义知：中线平分该中线所在的线段；

（
3
）根据三角形的高的定义知，高与高所在的直线垂直．

解答： 解：（
1
）∵
AD
是△
ABC
的角平分线，
∴∠
BAD=
∠
CAD=1/2
∠
BAC
；

（
2
）∵
AM
是△
ABC
的中线，

∴
BM=CM=1/2BC
；

（
3
）∵
AH
是△
ABC
的高，∴
AH
⊥
BC
，

∴∠
AHB=
∠
AHC=90
°；

故答案是：（
1
）
BAD
、
CAD
、
BAC
；（
2
）
BM
、
CM
、
BC
；（
3
）
AHB
、
AHC
．


例
8
． 如图，
AP
平分∠
BAC
交
BC
于点
P
， ∠
ABC=90
°，且
PB=3cm
，
AC=8cm
，则△
APC
的面积
是
cm
2
．


解：∵
AP
平分∠
BAC
交
BC
于点
P< br>，∠
ABC=90
°，
PB=3cm
，∴点
P
到AC
的距离等于
3
，

∵
AC=8cm
，∴△
APC
的面积
=8
×
3
÷
2=12cm
2
．


例
9.
已知：点
P
是等边⊿ABC
内的一点，∠
BPC
＝
150
°，
PB
＝
2
，
PC
＝
3
，求
PA
的长。


分析：
将⊿
BAP
绕点
B
顺时针方向旋转
60
°至⊿
BCD
，即可证得⊿
BPD
为等边三角形，⊿
PCD
为直角三角形。

解
：
∵
BC
＝
BA
，

∴将⊿< br>BAP
绕点
B
顺时针方向旋转
60
°，使
BA
与
BC
重合，得⊿
BCD
，连结
PD
。

∴
BD
＝
BP
＝
2
，
PA
＝
D C
。
∴⊿
BPD
是等边三角形。∴∠
BPD
＝
60
°。

∴∠
DPC
＝∠
BPC
－∠
BPD
＝
150
°－
60
°＝
90
°。

∴
DC
＝
PD
2

PC
2

2
2

3
2

13
．∴
PA
＝DC
＝
13
。

例
10.
两个全等的含30
º，
60
º角的三角板
ADE
和
ABC
如 图所示放置，
E
，
A
，
C
三点在一条直
线上，连接
BD
，
取
BD
的中点
M
，
连结< br>ME
，
MC
。
试判断△
EMC
是什么样的三角形，< br>并说明理由。

分析：
判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设 ，或许是等腰三角形。
这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明
EM
＝
MC
，要证线段相等可以寻找全等三角形来解
决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形。这时思 考的问题就可以转化为这样一个新问
题：如何构造一对全等三角形？根据已知点
M
是直 角三角形斜边的中点，产生联想：直角三
角形斜边上的中点是斜边的一半，得：
MD
＝
MB
＝
MA
。连结
M A
后，可以证明△
MDE
≌△
MAC
。

答：
△
EMC
是等腰直角三角形。

证明：
连接
AM
，由题意得，

M
D
┐

E
┌

C
B
DE
＝< br>AC
，
AD
＝
AB
，∠
DAE
＋∠
BAC
＝
90
º。∴∠
DAB
＝
90
º。

∴△
DAB
为等腰直角三角形。

又∵
MD
＝
MB
，

∴
MA
＝< br>MD
＝
MB
，
AM
⊥
DB
，∠
MA D
＝∠
M AB
＝
45
º。

∴∠
MDE
＝∠
MAC
＝
105
º，∠
DMA
＝
90
º。

∴△
MDE
≌△
MAC
。

∴∠
DME
＝∠
AMC
，
ME
＝
MC
。

又∠
DME
＋∠
EMA
＝
90
º，

∴∠
AMC
＋∠
EMA
＝
90
º。

∴
MC
⊥
EM
。

∴△
EMC
是等腰直角三角形。

A
说明：
构造 全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件
的充分认识和对知识点的联想 可以找到添加辅助线的途径。构造过程中要不断地转化问题或
转化思维的角度。会转化，善于转化，更能 体现思维的灵活性。在问题中创设以三角板为情
境也是考题的一个热点。


例
11.
如图，
等腰直角三角形
ABC
中，
∠
AC B
＝
90
°，
AD
为腰
CB
上的中线，
C E
⊥
AD
交
AB
于
E
．
求
证∠< br>CDA
＝∠
EDB
．




提示：

C

作
CF
⊥
AB
于< br>F
，则∠
ACF
＝
45
°，

在△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，
CE
⊥
A D
，

2

于是，由∠
ACG
＝∠
B＝
45
°，
AB
＝
AC

，

D

且易证∠
1
＝∠
2
，

1

由此得△
AGC
≌△
CEB
（
ASA
）
．

再由
CD
＝
DB
，
CG< br>＝
BE
，∠
GCD
＝∠
B
，

A

B

F

E

又可得△CGD
≌△
BED
（
SAS
）
，

则可证∠
CDA
＝∠
EDB
．


例
12.
如图，△
ABC
中，∠
1
＝∠
2，∠
3
＝∠
4
，∠
5
＝∠
6
．∠A
＝
60
°．求∠
ECF
、∠
FEC
的度数．

略解：因为

∠
A
＝
60
°，

A

1
所以

∠
2
＋∠
3
＝
（
180
°－
60
°）＝
60
°；

2
又因为

B
、
C
、
D
是直线，

F

G

所以

∠
4
＋∠
5
＝
90
°；

E

于是

∠
FEC
＝∠
2
＋∠
3
＝
60
°，

1

∠
FCE< br>＝∠
4
＋∠
5
＝
90
°，

4

5

6

3

2

B

∠
FEC
＝
60
°．

C

D


例
13.

在
Rt
△
ABC
中，∠
A
＝
90
°，
CE
是角平分线，和高
AD
相交于
F
，作
FG
∥
BC
交
AB
于
G
，
求证：
AE
＝
BG
．

A


E



F

G



C

B

D

H


略解：作
EH
⊥
BC
于
H
，

由于
E
是角平分线上的点，可证

AE
＝
EH

；

且又由

∠< br>AEC
＝∠
B
＋∠
ECB
＝∠
CAD
＋∠< br>ECA
＝∠
AFE

可证

AE
＝
AF
，

于是由

AF
＝
EH
，∠
AFG
＝∠
EHB
＝
90
°，∠
B
＝∠
AGF
．

可得

△
AFG
≌△
EHB
；

所以

AG
＝
EB
，

即

AE
＋
EG
＝
BG
＋
GE
，

所以

AE
＝
BG
．

-

-

-

-

-

-

-

-