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2021年1月30日发(作者：昊官正三儿子)
第四讲：

数几何图形的个数

“数几何图形的个数”
是趣 味图形问题的一种。
数图形虽然很简单，
但重复计数和遗漏
是经常出现的错误，在细心 的同时还要掌握方法和技巧。


一、数线段

1.
数出下列每条线段上线段的总条数。








分析与解：
数线段的时候一定按一定的顺序数，
否则就会出现重 复或遗漏。
数时可以先数最
基本的小线段，
再数两条基本线段组成的线段，再数三条基 本线段组成的线段，……，
最后
把各种“线段”条数相加起来。

法一：

照下面的方法数
(
以第
2
小题为例
)
：








3+2+1=6
（条）




法二：
(
规律
)
线段总条数都是从
1
开始的几个 连续自然数的和，而且最后一个加数正好和
最基本线段数相同。






（
1
）





（
2
）





（
3
）


（条）

（条）

（条）

1


二、数角

2.
数出右图中总共有多少个角
.


分析与解：
在∠
AOB
内有三条角分线
OC1
、
OC2
、
OC3
，∠
AOB
被这三条角分线分成
4
个
基本角，那么∠
AOB
内总共有多少个角呢？首先有这
4
个基本角，其次是包含有
2
个基本
角组成的角有
3
个（即∠
AOC2
、∠
C1OC3
、∠
C2OB
），然后是包含有
3
个基本角组成的角
有
2< br>个（即∠
AOC3
、∠
C1OB
），最后是包含有
4
个基本角组成的角有
1
个（即∠
AOB
），
所以∠
AOB< br>内总共有角：



4
＋
3
＋
2< br>＋
1
＝
10
（个）
.
令狐老师注：
数角的 方法可以采用例
1
数线段的方法来数，就是角的总数等于从
1
开始的
几个连续自然数的和，
这个和里面的最大的加数是角分线的条数加
1
，
也就是 基本角的个数
.

【巩固】数一数右图中总共有多少个角？

< br>分析与解：
因为∠
AOB
内角分线
OC1
、
OC2< br>…
OC9
共有
9
条，即
9+1=10
个基本角
.
所以总共有角：
10+9+8+
…
+4+3+2+1=55
（ 个）
.


三、数三角形


3.
如右图中，各个图形内各有多少个三角形？

2


分析与解：


方法一：

(1)
先数图中包含一个小三角形个数：








△
ABD
、△
ADE
、△
AEF
、△
AFC
共
4
个三角形
.


(2)
再数由两个小三角形组合在一起的三角形个数：








△
ABE
、△
ADF
、△
AEC

共
3
个三角形，



(3)
以三个小三角形组合在一起的三角形：








△
ABF
、△
ADC

共
2
个三角形，

(4)
最后数以四个小三角形组合在一起的只有△
ABC
一个
.

所以图中三角形的个数总共有：
4+3+2+1=10
（个）
.

方法二：
我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。根据例
1
可知，
BC
边上的线段
有
6
条，那么，以
BC
边 上线段为第三边的三角形就有
6
个


令狐老师注：
计算三 角形的总数也等于从
1
开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数
就是三角形一边上 的分点数加
1
，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数
.




【巩固】数出下面图中三角形的个数。

3






分析与解：
仔细观察图形，可以发现， 所构成的每个三角形中，有两条边是由
A
点引出的，
而第三条边是
BC
或
DE
上的线段，
BC
和
DE
上有多少条线段就有多少个 三角形，这样我
们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。根据例
1
可知，
BC
边上的线段有
15
条，
那么，以
BC
边上线段为第三 边的三角形就有
15
个。同理，
DE
边上的线段
15
条，以
DE
边上的线段为第三边的三角形也有
15
个。





所以，图中共有三角形



4.
数出下图（图
1
）中三角形的个数。

（个）








分析与解：
明显地，这个图 形与上一道例题中数三角形的个数有很大的区别，所以上例的
解法不适合此题，为了便于数出三角形的个 数，我们可以用
分类的方法
来数。




怎样分类呢？可以按三角形的构成来进行分类，为了叙述方便，我们把图中三角形
编上号码，如图< br>2
所示。







4





由
1
个三角形构成的三角形有
6
。





由
2
个三角形构成的三角形有
2
个，即（1
，
2
），（
4
，
5
）





由
3
个三角形构成的有
4
个，即（
1
，
2
，
3
），（
4
，
5
，
6
），（
6
，
1
，
2
），（
3
，
4
，
5
）





所以，此图中共有三角形：


5.
数一数，下图中有多少个三角形？

（个）







分析与解：
观察上面图形中这些三角形，
可以分为尖 朝上和尖朝下两大类，
将尖朝上的三角
形
1
—
8
依次编上序 号，尖朝下的三角形用
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
、
G
、
H
依次标上字母（如
下图）









（
1
）标上数字和字母的基本三角形共有：


（个）




（
2
）由四个基本三角形 组成的三角形，尖朝上的有
3
个，尖朝下的有
3
个，所以这
个图形共 有三角形：



（个）


5

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