(专题精选)初中数学三角形难题汇编含答案
萌到你眼炸
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2021年01月30日 18:40
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（专题精选）初中数学三角形难题汇编含答案
一、选择题
1
．
如图所示，将含有
30°
角的三角板
(
∠
A=30°
)
的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一
条上，若∠
1=38 °
，则∠
2
的度数（
）
A
．
28°
【答案】
B
【解析】
【分析】
B
．
22°
C
．
32°
D
．
38°
延长
AB
交
CF
于
E
，求出∠
ABC
，根据三 角形外角性质求出∠
AEC
，根据平行线性质得出∠
2=
∠
AEC< br>，代入求出即可．
【详解】
解：如图，延长
AB
交
CF
于
E
，
∵∠
ACB=90°
，∠
A=30°
，
∠
ABC=60°
，
∵∠
1=38°
，
∴∠
AEC=
∠
ABC-
∠
1=22°
，
∵
GH
∥
EF
，
∴∠
2=
∠
AEC=22°
，
故选
B
．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和 定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的
推理能力．
2
．
如图，已知
△
ABC
是等腰直角三角形，∠
A
＝
90°
，
BD
是∠
ABC
的平分线，
DE
⊥
BC
于
E
，若
BC
＝
10cm
，则< br>△
DEC
的周长为（
）
A
．
8cm
【答案】
B
【解析】
【分析】
B
．
10cm
C
．
12cm
D
．
14cm
根据
“AAS”
证明
Δ
ABD
≌
Δ
EBD
.
得到
AD
＝
DE
，
AB
＝
BE
，根据等腰直角三角形的边的关系， 求
其周长
.
【详解】
∵
BD
是∠
ABC
的平分线，
∴
∠
ABD
＝∠
EBD
.
又∵
∠
A
＝∠
DEB
＝
90°
，
BD
是公共边 ，
∴
△
ABD
≌△
EBD
(AAS)
，
∴
AD
＝
ED
，
AB
＝
BE
，
∴
△
DEC
的周长是
DE
＋
EC
＋
DC
＝
AD
＋
DC
＋
EC
＝
AC
＋
EC
＝
AB
＋
EC
＝
BE
＋
EC
＝
BC
＝
10 cm.
故选
B.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质
.
掌 握全等
三角形的判定方法（即
SSS
、
SAS
、
ASA、
AAS
和
HL
）和全等三角形的性质（即全等三角形
的对应边 相等、对应角相等）是解题的关键．
3
．
如图，
YABCD
的对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，< br>AD
BD
，
ABD
30
< br>，若
AD
2
3
．则
OC
的长为（
）
A
．
3
【答案】
C
【解析】
【分析】
B
．
4
3
C
．
21
D
．
6
先根据勾股 定理解
Rt
△
ABD
求得
BD
6
，再根 据平行四边形的性质求得
OD
3
，然后
根据勾股定理解
R t
△
AOD
、平行四边形的性质即可求得
OC
OA
【详解】
解：∵
AD
BD
∴
ADB
90
∵在
Rt
△
ABD
中，
ABD
30
，
AD
2
3
∴
AB
2
AD
4
3
∴
BD
21
．
AB
2
AD
2
6
∵四边形
ABCD
是平行四边形
∴
OB
OD
1
1
BD
3
，
OA
OC
AC
2
2
∴在
Rt
△< br>AOD
中，
AD
2
3
，
OD
< br>3
∴
OA
故选：
C
【点睛】
本题考查了含
30
°
角的直角三角形的性质、勾 股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练
掌握相关知识点是解决问题的关键．
AD
2
OD
2
21
21
．
∴
OC
OA
4
．
下列长度的三条线段能组成三角形的是（
）
A
．
2, 2,5
【答案】
D
【解析】
【分析】
三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两 边之和，满足此关系的可组成三角形，其实
只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．
【详解】
根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．
A
、
2+2=4
＜
5
，此选项错误；
B
、
1+
3
＜
3
，此选项错误；
C
、
3+4
＜
8
，此选项错误；
D、
4+5=9
＞
6
，能组成三角形，此选项正确．
故选：
D
．
【点睛】
此题考查三角形三边关系 ，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短
的边的和小于最长的边，只要满足这一条 就是满足三边关系．
B
．
1,
3,3
C
．
3,
4,8
D
．
4,5,6
5
．
如图，已知AB
∥
CD
，直线
AB
，
CD
被
BC
所截，
E
点在
BC
上，若∠
1
＝
45°< br>，∠
2
＝
35°
，
则∠
3
＝（
）
A
．
65°
【答案】
D
【解析】
【分析】
B
．
70°
C
．
75°
D
．
80°
由平行线的性质可求得∠
C
，在△
CDE
中利用三角形外的性质可求得∠
3
．
【详解】
解：∵
AB
∥
CD
，
∴∠
C
＝∠
1
＝
45°
，
∵∠
3
是
△
CDE
的一个外角，
∴∠< br>3
＝∠
C+
∠
2
＝
45°
+35°
＝
80°
，
故选：
D
．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即< br>①
两直线平行
⇔
同位角相等，
②
两直线平行
⇔
内错角相等，
③
两直线平行
⇔
同旁内角互补，
④a
∥b
，
b
∥
c
⇒
a
∥
c
．
6
．
将一个边长为
4
的正方形
ABCD< br>分割成如图所示的
9
部分，其中
△
ABE
，
V
BCF
，
V
CDG
，
V
DAH
全等，
△
AEH
，
V
BEF
，
△
CFG
，
V
DGH
也全等，中间小正方形
EFGH
的面积与
△
ABE
面积相等，且
△
ABE
是以
AB
为底的等腰三角形，则△
AEH
的面积为（
）
A
．
2
【答案】
C
【解析】
【分析】
【详解】
B
．
16
9
C
．
3
2
D
．
2
解：如图，连结
EG
并向两端延长分别交
AB
、
CD
于点
M
、
N
，连结
HF
，
∵四边形
EFGH
为正方形，
∴
EG
FH
，
∵
△
ABE
是以
AB
为底的等腰三角形，
∴
AE
BE
，则点
E
在
AB
的垂直平 分线上，
∵
△
ABE
≌
V
CDG
，
∴
V
CDG
为等腰三角形，
∴
CG
< br>DG
，则点
G
在
CD
的垂直平分线上，
∵四边形
ABCD
为正方形，
∴
AB
的垂直平分线与
CD
的垂直平分线重合，
∴
MN
即为
AB
或
CD
的垂直平分线，
则
EM
^
AB
,
GN
^
CD
，< br>EM
=
GN
，
∵正方形
ABCD
的边长为
4
，即
AB
=
CD
=
AD
=
BC
=
4
，
∴
MN
4
，
设
EM
=
GN
=
x
，则
EG
=< br>FH
=
4
-
2
x
，
∵正方形
EFGH
的面积与
△
ABE
面积相等，
即
1
?
4
x
2
1
(4
-
2
x
)
2
，解得：
x
1
1,
x
2
4
，
2
∵
x
4
不符合题意，故舍去，
∴< br>x
1
，则
S
正方形
EFGH
S
V
ABE
1
4
1
2
，
2
∵
△
ABE
，
V
BC F
，
V
CDG
，
V
DAH
全等，
∴
S
V
ABE
S
V
BCF
S
V
CDG
S
V
DAH
2
，
∵正方形
ABCD
的面积
4
4
16
，
△
AEH
，
V
BEF
，△
CFG
，
V
DGH
也全等，
∴
S
V
AEH
故选：
C
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的 关键是求得
1
1
3
(
S
正方形
ABCD
−
S
正方形
EFGH
4
S
V
ABE
)
(16
2
4
2)
，
4
4
2
△
ABE
的面积．
7
．
图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是
( )
A
．锐角三角形
【答案】
D
【解析】
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D
．以上都有可能
从图中，只 能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个
直角，
故选
D
．
8
．
如图，直线
a
∥
b
，点
A
、
B
分别在直线
a
、
b
上，
1
＝
45
，若点
C< br>在直线
b
上，
BAC
＝
105
，且直线
a
和
b
的距离为
3
，则线段
AC
的长度为（
）
A
．
3
2
【答案】
D
【解析】
【分析】
B
．
3
3
C
．
3
D
．
6
过
C
作
CD
⊥直线
a
，根据
30°
角所对直角边等于斜边的一半 即可得到结论．
【详解】
过
C
作
CD
⊥直线
a
，∴∠
ADC
=90°
．
∵∠
1=45°
，∠
BAC
=105°
，∴∠
DAC
=30°< br>．
∵
CD
=3
，∴
AC
=2
CD
=6
．
故选
D
．
【点睛】
本题考查了平行线间的距离，含
30°
角的直角三角形的 性质，正确的理解题意是解题的关
键．
9
．
如图，在菱 形
ABCD
中，对角线
AC
＝
8
，
BD
＝
6
，点
E
，
F
分别是边
AB
，
B C
的中点，点
P
在
AC
上运动，在运动过程中，存在
PE< br>＋
PF
的最小值，则这个最小值是（
）
A
．
3
【答案】
C
【解析】
【分析】
B
．
4
C
．
5
D
．
6
先根据菱形的性质求出 其边长，再作
E
关于
AC
的对称点
E′
，连接
E′ F
，则
E′F
即为
PE+PF
的最小值，再根据菱形的性质求出E′F
的长度即可．
【详解】
解：如图
∵四边形
ABCD
是菱形，对角线
AC=6
，
BD=8，
∴
AB=
3
2
4
2
= 5
，
作
E
关于
AC
的对称点
E′
，连接
E′F
，则
E′F
即为
PE+PF
的最小值，
∵
AC
是∠
DAB
的平分线，
E
是
AB
的中点，
∴
E
′
在
AD
上，且E′
是
AD
的中点，
∵
AD=AB
，
∴
AE=AE
′
，
∵
F
是
BC
的中点，
∴
E
′
F=AB=5
．
故选
C
．
10
．
如图，
△
ABC
的角平分线
CD
、
BE
相交于
F
，∠
A
＝
90°
，
EG
∥
BC
，且
CG
⊥
EG
于
G
，下
列结论：
①
∠
CEG
＝
2
∠
DCB< br>；
②
∠
ADC
＝∠
GCD
；
③
CA
平分∠
BCG
；
④
∠
DFB
＝
CGE．其中正确的结论是
( )
1
∠
2
A
．
②③
【答案】
B
【解析】
【分析】
B
．
①②④
C
．
①③④
D
．
①②③④
根 据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出
答案．
【详解】
①
∵
EG
∥
BC
，
∴∠
CEG=
∠
ACB
，
又∵
CD
是
△
ABC
的角平分线，
∴∠
CEG=
∠
ACB=2
∠
DCB
，故正确；
②
∵∠
A=90°
，
∴∠
ADC+
∠
ACD=90°
，
∵
CD
平分∠
ACB
，
∴∠
ACD=
∠
BCD
，
∴∠
ADC+
∠
BCD=90°
．
∵
E G
∥
BC
，且
CG
⊥
EG
，
∴ ∠
GCB=90°
，即∠
GCD+
∠
BCD=90°
，
∴∠
ADC=
∠
GCD
，故正确；
③条件不足，无法证明
CA
平分∠
BCG
，故错误；
④
∵∠
EBC+
∠
ACB=
∠
AEB
，∠
D CB+
∠
ABC=
∠
ADC
，
1
（∠< br>ABC+
∠
ACB
）
=135°
，
2∴∠
DFE=360°
-135°
-90°
=135°
，
∴∠
AEB+
∠
ADC=90°
+
∴∠
DFB =45°
=
故选
B
．
【点睛】
本题主 要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三
角形外角的性质，熟知 直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
1
∠
CGE
，，正确．
2