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2021年1月30日发(作者：送妈妈的礼物清单)
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北师大版七年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

三角形及其性质（基础）知识讲解


【学习目标】

1.
理解三角形及与三角形有关的概念
,
掌握它们的文字、符号语言及图形 表述方法．

2.
理解三角形内角和定理的证明方法；

3.
掌握并会把三角形按边和角分类

4.
掌握并会应用三角形三边之间的关系．

5.
理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．

【要点梳理】

要点一、三角形的定义

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．



要点诠释：

（
1
）三角形的基本元素：

①三角形的边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；

③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点
.
（
2
）三角形的定义中 的三个要求：
“不在同一条直线上”
、
“三条线段”
、
“首尾顺次相 接”
.
（
3
）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为
A
、
B
、
C
的三角形记作“△
ABC
”
，< br>读作“三角形
ABC
”
，注意单独的△没有意义；△
ABC
的 三边可以用大写字母
AB
、
BC
、
AC
来表示，也可以用小 写字母
a
、
b
、
c
来表示，边
BC
用a
表示，边
AC
、
AB
分别用
b
、
c
表示．

要点二、三角形的内角和

三角形内角和定理：
三角形的内角和为
180
°．

要点诠释：
应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：

①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；

②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；

③求一个三角形中各角之间的关系．

要点三、三角形的分类

1.
按角分类：

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
直角三角形

三角形　

锐角三角形




斜三角形　

钝角三角形

要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形
;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形
.

2.
按边分类：


不等边三角形

三角形　
底边和腰不相等的等腰三角形


等腰三角形　



等边三角形

要点诠释：


①不等边三角形：三边都不相等的三角形；

②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫 做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边
叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角< br>;
③等边三角形：三边都相等的三角形
.
要点四、三角形的三边关系

定理
：三角形任意两边之和大于第三边
.
推论：
三角形任意两边之差小于第三边
.
要点诠释：

（
1
）理论依据：两点之间线段最短
.
（
2
）三 边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长
线段的长，
则 这三条线段可以组成三角形；
反之，
则不能组成三角形．
当已知三角形两边长，
可求第三边长的取值范围．

（
3
）证明线段之间的不等关系．

要点五、三角形的三条重要线段

三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的 线段，它们提供了重要的线段或
角的关系，
为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮 助作用，
因此，
我们需要从
不同的角度弄清这三条线段，列表如下：

线段
名称

文字
语言

三角形的高

从三角形的一个顶点向它的
对边所在的直线作垂线，顶
点和垂足之间的线段．

三角形的中线

三角形中，连接一个顶
点
和
它
对< br>边
中
点
的
线
段．

三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线
与它的对边相交，这个角
的
顶
点
与
交
点
之
间
的
线
段．

图形
语言

作图
语言


过点
A
作
AD
⊥
BC
于点
D
．

取
BC
边的中点
D
，
连接
AD
．



作∠
BAC
的平分线
AD
，
交
BC
于点
D
．

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标示
图形


1
．
AD
是△
ABC
的高．

2
．
AD
是△
ABC
中
BC
边上
的高．

3
．
AD
⊥
BC
于点
D
．
4
．∠
ADC
＝
90
°，∠
ADB
＝
90
°．

(
或
∠
ADC
＝
∠
A DB
＝
90
°
)

因为
AD
是△
ABC
的高，
所
以
AD
⊥
BC
．

(
或
∠
ADB
＝
∠
ADC
＝
90
°
)

1
．线段垂直．

2
．角度相等．

1
．与边的垂线不同．

2
．不一定在三角形内．

三角形的三条高
(
或它们的
延长线
)
交于一点．



1
．
AD
是△
ABC
的中线．

2
．
AD
是△
ABC
中
BC
1
．
AD是△
ABC
的角平分
边上的中线．

线．

1
2
．
AD
平分∠
BAC
，
交
BC
3
．
BD
＝
DC
＝
BC
于点
D
．

2
1
4
．
点
D
是
BC
边的中点．

3
．∠
1
＝∠2
＝
∠
BAC
．

符号
语言

2
推理
语言

用途
举例

注意
事项

重要
特征

因为
AD
是△
ABC
的中
线
，
所
以
BD
＝
DC
＝
因为
AD
平分∠
BAC
，所
以∠
1
＝∠
2
＝
1
BC
．

2
1
．线段相等．

2
．面积相等．

—

一
个
三
角
形
有
三
条
中
线，它们交于三角形内
一点．

1
∠
BAC
．

2
角度相等．

与角的平分线不同．

一个三角形有三条角平分
线，它们交于三角形内一
点．


【典型例题】

类型一、三角形的内角和

1
．证明：三角形的内角和为
180
°
.
【答案与解析】

解：已知：如图，已知△
ABC
，求证：∠
A+
∠
B+
∠
C
＝
180
°
.






证法
1
：
如图
1
所示，
延长
BC
到
E
，
作
CD
∥
AB
．
因为
AB
∥
CD
（已作）< br>，
所以∠
1=
∠
A
（两
直线平行，内错角相等），∠
B=
∠
2
（两直线平行，同位角相等）
．





又∠
ACB+
∠
1+
∠
2=180
°（平角定义）
，





所以∠
ACB+
∠
A+
∠
B=180
°（等量代换 ）
．

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证法
2
：
如图
2
所示，在
BC
边上任取一点
D
，作
DE< br>∥
AB
，交
AC
于
E
，
DF
∥AC
，交
AB
于点
F
．

因为
DF
∥
AC
（已作）
，

所以∠
1=
∠
C
（两直线平行，同位角相等）
，

∠
2=
∠
DEC
（两直线平行，内错角相等）
．

因为
DE
∥
AB
（已作）
．

所以∠3=
∠
B
，∠
DEC=
∠
A
（两直线平行，同 位角相等）
．

所以∠
A=
∠
2
（等量代换）
．

又∠< br>1+
∠
2+
∠
3=180
°（平角定义）
，

所以∠
A+
∠
B+
∠
C=180
°（等量代换）< br>．


2.
在△
ABC
中，已知∠
A+∠
B
＝
80
°，∠
C
＝
2
∠
B
，试求∠
A
，∠
B
和∠
C
的度数．
< br>【思路点拨】
题中给出两个条件：∠
A+
∠
B
＝
80
°，∠
C
＝
2
∠
B
，再根据三角形的内角和等于
180
°，即∠
A+
∠
B+
∠
C
＝
180
°就可以求出∠
A
，∠
B
和∠
C
的 度数．

【答案与解析】

解：由∠
A+
∠
B＝
80
°及∠
A+
∠
B+
∠
C
＝180
°，





知∠
C
＝
100
°．





又∵


∠
C
＝
2
∠
B
，





∴


∠
B
＝
50
°．





∴


∠
A
＝
80
°
-
∠
B
＝
80
°
-
50
°＝
30
°．

【总结升华】
解答本题的关键是利用隐含条件∠
A+
∠
B+
∠
C
＝
180
°．本题可以设∠
B
＝
x
，
则∠
A
＝
80
°
-
x，∠
C
＝
2x
建立方程求解．

举一反三：

【变式】
已知，如图

，在△
ABC
中，∠
C=< br>∠
ABC=2
∠
A
，
BD
是
AC
边 上的高，
求∠
DBC
的度数
.



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