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2021年1月30日发(作者：四月初二)
人教版初中数学三角形难题汇编含答案


一、选择题

1
．
如图，已知
A ,D,B,E
在同一条直线上，且
AD = BE, AC = DF,
补充下列其中一个条件后，不
一定能得到
△
A BC
≌△
DEF
的是（

）


A
．
BC = EF
【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
AC//DF
C
．∠
C =
∠
F
D
．∠
BAC =
∠
EDF

根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．

【详解】

∵
BE
＝
CF
，

∴
BE
＋
EC
＝
EC
＋
CF
，

即
BC
＝
EF
，且
AC = DF
，

∴当
BC = EF
时，满足
SSS
，可以判定
△
ABC
≌△
DEF
；

当
AC//DF
时，∠A=
∠
EDF
，满足
SAS
，可以判定
△
AB C
≌△
DEF
；

当∠
C =
∠
F时，为
SSA
，不能判定
△
ABC
≌△
DEF
；

当∠
BAC =
∠
EDF
时，满足
SAS< br>，可以判定
△
ABC
≌△
DEF
，

故选
C.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定方法 ，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即
SSS
、
SAS
、
A SA
、
AAS
和
HL
．


2
．
AD
是
△
ABC
中∠
BAC
的平分线，
D E
⊥
AB
于点
E
，
DF
⊥
AC
交
AC
于点
F
．
S
△
ABC
=7
，
DE=2
，
AB=4
，则
AC
长是（


）


A
．
4
【答案】
B

【解析】

B
．
3
C
．
6
D
．
2

【分析】

首先由角平分线的性质可知< br>DF=DE=2
，然后由
S
△
ABC
=S
△
ABD
+S
△
ACD
及三角形的面积公式得出
结果．

【详解】

解：
AD
是
△
ABC
中∠BAC
的平分线，

∠
EAD=
∠
FAD
< br>DE
⊥
AB
于点
E
，
DF
⊥
AC< br>交
AC
于点
F
，

∴
DF=DE
，

又∵
S
△
ABC
=S
△
ABD
+S
△
ACD
，
DE=2
，
AB=4
，

1
1

7

< br>4

2


AC

2

2
2
∴
AC=3.

故答案为：
B

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学 知识是解题的
关键
.


3
．
如图，在
△
ABC
中，
AC
＝
BC
，
D
、
E
分别是
AB
、
AC
上一点，且
AD
＝
AE
，连接
DE
并延长
交
BC
的延长线于点
F
，若
DF
＝
BD
，则∠
A
的度数为（


）


A
．
30
【答案】
B

【解析】

【分析】

B
．
36
C
．
45
D
．
72

由
CA= CB
，可以设∠
A=
∠
B=x
．想办法构建方程即可解决问题；
【详解】

解：∵
CA=CB
，

∴∠A=
∠
B
，设∠
A=
∠
B=x
．

∵
DF=DB
，

∴∠
B=
∠
F=x
，

∵
AD=AE
，

∴∠
ADE=
∠
AED =
∠
B+
∠
F=2x
，

∴
x+2x+2x=180°
，

∴
x=36°
，

故选
B
．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟 练掌握基本知
识，属于中考常考题型．


4
．
如图，在< br>V
ABC
中，
AB

AC
，

A< br>
30

，直线
a
∥
b
，顶点
C< br>在直线
b
上，直线
a
交
AB
于点
D
，交
AC
与点
E
，若

1

145

，则

2
的度数是（

）


A
．
30°

【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
35°

C
．
40°

D
．
45°

先根 据等腰三角形的性质和三角形内角和可得

ACB
度数，由三角形外角的性质可得
AED
的度数，再根据平行线的性质得同位角相等，即可求得

2．

【详解】

∵
AB

AC
，且< br>
A

30

，

180


30


75

，

2
在< br>
ADE
中，∵

1


A

AED

145

，

∴

AED

145


A

145

30


115

，

∵
a
//
b
，

∴

AED

2


ACB
，

即

2

115

75


40

，

故选：
C
．

【点睛】

∴

ACB

本题考查综合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角 的性质以及平行直线的
性质等知识内容．等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等；三角形内角和 定理：
三角形三个内角的和等于
180

；三角形外角的性质：三角形的外角 等于与它不相邻的两个
内角之和；两直线平行，同位角相等．


5
．
如图，在菱形
ABCD
中，
AB
＝
10
，两条对 角线相交于点
O
，若
OB
＝
6
，则菱形面积是
（< br>

）


A
．
60
【答案】
D

【解析】

【分析】

B
．
48
C
．
24
D
．
96

由菱形的性质可得
AC
⊥
BD
，
AO
＝
CO
，
BO
＝
DO
＝< br>6
，由勾股定理可求
AO
的长，即可求解．

【详解】

解：∵四边形
ABCD
是菱形，

∴< br>AC
⊥
BD
，
AO
＝
CO
，
BO< br>＝
DO
＝
6
，

AB
2

OB
2

100

36

8
，

∴
AC
＝
16
，
BD
＝
12
，< br>
12

16
∴菱形面积＝
＝
96
，

2
故选：
D
．

【点睛】

∴
A O
＝
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．


6
．
如图，直线
a
∥
b
，点
A
、
B
分别在直线
a
、
b
上，

1
＝
45

，若点
C
在直线
b
上，
BAC
＝
105

，且直线
a
和
b
的距离为
3
，则线段
AC
的长度为（


）


A
．
3
2

【答案】
D

【解析】

【分析】

B
．
3
3

C
．
3
D
．
6

过
C
作
CD
⊥直线a
，根据
30°
角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．

【详解】

过
C
作
CD
⊥直线
a
，∴∠
ADC
=90°
．

∵∠
1=45°
，∠< br>BAC
=105°
，∴∠
DAC
=30°
．

∵
CD
=3
，∴
AC
=2
CD
=6
．< br>
故选
D
．


【点睛】

本题考 查了平行线间的距离，含
30°
角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关
键 ．


7
．
如图，⊙
O
过点
B
、
C
，圆心
O
在等腰直角
△
ABC
的内部，∠
BAC
＝
90°
，
OA
＝
1
，
BC＝
6
，则⊙
O
的半径为（

）


A
．
2
3





B
．
13






C
．
4
D
．
3
2

【答案】
B

【解析】

【分析】

如下 图，作
AD
⊥
BC
，设半径为
r
，则在
Rt
△
OBD
中，
OD=3
－
1
，
OB=r
，
BD=3
，利用勾股定
理可求得
r.

【详解】

如图，过
A
作
AD
⊥
BC
，由题意可知
A D
必过点
O
，连接
OB
；



∵△
BAC
是等腰直角三角形，
AD
⊥
BC
，

∴
BD=CD=AD=3
；

∴
OD=AD- OA=2
；

Rt
△
OBD
中，根据勾股定理，得：

OB=
BD
2

OD
2

13

故答案为：
B.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的 性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形
ABC
判定点
O
在< br>AD
上
.


8
．
如图，
□ABC D
的对角线
AC
、
BD
交于点
O
，
AE< br>平分
BAD
交
BC
于点
E
，且∠
ADC＝
60°
，
AB
＝
＝
1
BC
，连接< br>OE
．下列结论：
①AE
＝
CE
；
②S
△< br>ABC
＝
AB•AC
；
③S
△
ABE
＝2S
△
AOE
；
④OE
2
1
BC,
成 立的个数有（

）

4

A
．
1
个

【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
2
个

C
．
3
个

D
．
4

利 用平行四边形的性质可得∠
ABC=
∠
ADC=60°
，∠
BAD= 120°
，利用角平分线的性质证明
△
ABE
是等边三角形，然后推出
AE=BE=
线合一进行推理即可．

【详解】

∵四边形
ABCD
是平行四边形，

1
BC
，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三
2


∴∠
ABC=
∠
ADC=60°
，∠
BAD=120°，

∵
AE
平分∠
BAD
，

∴∠
BAE=
∠
EAD=60°

∴△
ABE
是等边三角形，

∴
AE=AB=BE
，∠
AEB=60°
，

∵
AB=
1
BC
，

2
1
BC
，

2
∴
AE=BE=
∴
AE=CE
，故
①
正确；

∴∠
EAC=
∠
ACE=30°

∴∠
BAC=90°
，

∴
S
△
ABC< br>=
1
AB•AC
，故
②
错误；

2
∵
BE=EC
，

∴
E
为
BC
中点，
O
为
AC
中点，

∴
S
△
ABE
=S
△
ACE=2
S
△
AOE
，故
③
正确；

∵四边形
ABCD
是平行四边形，

∴
AC=CO
，

∵
AE=CE
，

∴
EO
⊥
AC
，

∵∠
ACE=30°
，

∴
EO=
∵
EC =
∴
OE=
1
EC
，

2
1
AB
，

2
1
BC
，故
④
正确；

4
故正确的个数为
3
个，

故选：
C
．

【点睛】

此题考查平行四边形的性 质，等边三角形的判定与性质．注意证得
△
ABE
是等边三角形是
解题关键．


9
．
如图，已知
OP
平分∠
AOB< br>，∠
AOB
＝
60°
，
CP
＝
2
，
CP
∥
OA
，
PD
⊥
OA
于点
D
，
PE
⊥
OB
于点
E
．如果点
M
是
OP
的中点，则
DM
的长是
(


)


A
．
2
【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
2

C
．
3

D
．
2
3

由
OP
平分∠
AOB
，∠
AOB=60°
，
CP=2
，
CP
∥
OA
，易得
△
OCP
是等腰三角 形，∠
COP=30°
，
又由含
30°
角的直角三角形的性质，即可 求得
PE
的值，继而求得
OP
的长，然后由直角三
角形斜边上的中线 等于斜边的一半，即可求得
DM
的长．

【详解】

解：∵
OP
平分∠
AOB
，∠
AOB=60°
，

∴∠
AOP=
∠
COP=30°
，

∵
CP
∥
OA
，

∴∠
AOP=
∠
CPO
，

∴∠
COP=
∠
CPO
，

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