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2021年1月30日发(作者：人生易老天难老)
初中数学三角形经典测试题及答案


一、选择题

1．
如图，
△
ABC
中，
AB=4
，
AC=3< br>，
AD
、
AE
分别是其角平分线和中线，过点
C
作< br>CG
⊥
AD
于
F
，交
AB
于
G，连接
EF
，则线段
EF
的长为（

）


A
．
1
【答案】
D

【解析】

【分析】

B
．
3

4
C
．
2

3
D
．
1

2
由等腰三角形的判定方法可知
△
AGC
是等腰三角形，所以
F
为
GC
中点，再由已知条件可得
EF
为
△
CB G
的中位线，利用中位线的性质即可求出线段
EF
的长．

【详解】

∵
AD
是
△
ABC
角平分线，
CG
⊥
AD
于
F
，

∴△
AGC
是等腰三角形，

∴
AG=AC=3
，
GF=CF
，

∵
AB=4
，
AC=3
，

∴
BG=1
，

∵
AE
是
△
ABC
中线，

∴
BE=CE
，

∴
EF
为
△
CBG
的中位线，

1
1
BG=
，

2
2
故选：
D
．

【点睛】

∴
EF=
此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形
的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．


2
．
把一副三角板如图甲放置，其中∠
ACB=
∠
DEC=90°
，∠
A -45°
，∠
D=30°
，斜边
AB=6
，
DC=7
，把三角板
DCE
绕着点
C
顺时针旋转
15°
得到
△
D
1
CE
1
（如图乙），此时
AB
与
CD
1
交于
点
O
，则线段
AD
1
的长度为 （

）


A
．
3
2

【答案】
B

【解析】

【分析】

【详解】

B
．
5
C
．
4
D
．
31

由题意易知：∠
CAB=45°
，∠
ACD=30°
，
< br>若旋转角度为
15°
，则∠
ACO=30°
+15°
=45°
．

∴∠
AOC=180°
－∠
ACO
－∠
CAO=90°
．

在等腰
Rt
△
ABC
中，< br>AB=6
，则
AC=BC=
3
2
．

同理可求得：
AO=OC=3
．

在
Rt
△
AOD1
中，
OA=3
，
OD
1
=CD
1
－
OC=4
，

由勾股定理得：
AD
1
=5
．故选
B
．


3
．
长度分别为
2
，
7
，
x< br>的三条线段能组成一个三角形，
的值可以是（

）

A
．
4

【答案】
C

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系可判断
x
的取值范围，进而可得答案
.

【详解】

解：由三角形三边关系定理得
7
－
2
＜
x
＜
7+2
，即
5
＜
x
＜
9．

因此，本题的第三边应满足
5
＜
x
＜
9< br>，把各项代入不等式符合的即为答案．

4
，
5
，
9
都不符合不等式
5
＜
x
＜
9
，只有
6符合不等式，

故选
C
．

【点睛】

本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键
.

B
．
5

C
．
6

D
．
9


4
．
△
ABC
中，∠
A
：∠
B
：∠
C
＝
1
：
2
：
3
，最小边
BC
＝
4cm
，则最长边
AB
的长为
(


)cm

A
．
6
【答案】
B

B
．
8
C
．
5

D
．
5

【解析】

【分析】

根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三 角形中角的度数，然后根据含
30
度角的直角
三角形的性质进行求解即可
.< br>
【详解】

设∠
A
＝
x
，
则∠
B
＝
2x
，∠
C
＝
3x
，

由三角形内角和定理得∠
A+
∠
B+
∠
C
＝< br>x+2x+3x
＝
180°
，

解得
x
＝
30°
，

即∠
A
＝< br>30°
，∠
C
＝
3×30°
＝
90°
，
此三角形为直角三角形，

故
AB
＝
2BC
＝
2×4
＝
8cm
，

故选
B
．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，含
30
度角的直角三角形 的性质，熟练掌握
“
直角三角形中
30°
的角所对的直角边等于斜边的一半< br>”
是解题的关键
.


5
．
如图，在菱形< br>ABCD
中，
AB
＝
10
，两条对角线相交于点
O< br>，若
OB
＝
6
，则菱形面积是
（


）


A
．
60
【答案】
D

【解析】

【分析】

B
．
48
C
．
24
D
．
96

由菱形的性质可得
AC
⊥
BD
，
AO
＝
CO
，
BO
＝
DO
＝
6
，由勾股定理可求
AO
的长，即可求解 ．

【详解】

解：∵四边形
ABCD
是菱形，

∴
AC
⊥
BD
，
AO
＝
CO
，< br>BO
＝
DO
＝
6
，

∴
AO
＝
AB
2

OB
2

100

36

8
，

12

16
＝
96
，

2
∴AC
＝
16
，
BD
＝
12
，

∴菱形面积＝
故选：
D
．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．


6
．
如图，在
V
ABC
中，
AB

AC
，点
E
在
AC
上，
ED

BC于点
D
，
DE
的延长线
交
BA
的延长线于点< br>F
，则下列结论中错误的是（

）


A
．
AE

CE


【答案】
A

【解析】

【分析】

B< br>．

DEC

D
．

B

1

BAC

2
C
．
AF

AE
1

BAC

90


2
由题意中点
E
的位置即可对
A
项进行判断；
< br>过点
A
作
AG
⊥
BC
于点
G
，如图 ，由等腰三角形的性质可得∠
1=
∠
2=
AG
，然后根据平行线的性 质即可判断
B
项；

根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可判断
C
项；

由直角三角形的性质并结合∠
1=
【详解】

解：
A
、由于点
E
在
AC
上，点
E
不一定是
AC
中点，所以
AE
,
CE
不一定相等，所以本选
项结论错误，符合题 意；

B
、过点
A
作
AG
⊥
BC
于点
G
，如图，∵
AB
=
AC
，∴∠
1=
∠
2=
∵
ED

BC
，∴
ED
∥
AG
，∴

DEC


2

意；

C
、∵
ED
∥
AG
，∴∠
1=
∠
F
，∠
2=
∠
AEF
，∵∠
1=
∠
2，∴∠
F
=
∠
AEF
，∴
AF

AE
，所以本
选项结论正确，不符合题意；

D
、∵
AG
⊥
BC
，∴∠
1+
∠
B
=90°
，即

B

1

BAC
，易得
ED
∥
2
1

BAC
的结论即可判断
D
项，进而可得答案．

2
1

BAC
，


2
1

BAC
，所以本选项结论正确，不符合题
2
1

BAC

90

，所以本选项结论正确，不符合
2
题意．

故选：
A
．


【点睛】

本题考查了等 腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及直角三角形的性质等知
识，属于基本题型，熟练掌握等 腰三角形的判定和性质是解题的关键．


7
．
（
11·< br>十堰）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直
角三角形的净化材 料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相
同，经过四层净化后流入底部的5
个出口中的一个。下列判断：
①5
个出口的出水量相
同；
②2
号出口的出水量与
4
号出口的出水量相同；
③1
，
2
，
3
号出水口的出水量之比约
为
1
：
4
：
6
；
④
若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换一个三角形材料使用时间的
8
倍，其中正确的判断有（

）


A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

【答案】
C

【解析】根据出 水量假设出第一次分流都为
1
，可以得出下一次分流的水量，依此类推得
出最后得出每 个出水管的出水量，进而得出答案．

解：根据图示可以得出：

①
根据图示出水口之间存在不同，故此选项错误；

②2
号出口的出水量与
4
号出口的出水量相同；

根据第二 个出水口的出水量为：
[
（
1
1
1
1
1
+
）
÷2+
]÷2+
=
，

2
2
4
8
2
第
4
个出水口的出水量为：
[
（
故此 选项正确；

1
1
1
1
1
+
）
÷ 2+
]÷2+
=
，

2
2
4
8
2
③1
，
2
，
3
号出水口的出水量之比约为
1
：
4
：
6
；

根据第一个出水口的出水量为：
÷ 2+
1
1
1
，第二个出水口的出水量为：
[
（
+< br>）
8
2
2
1
1
1
]÷2+
=
，

4
8
2
3
3
3
+
=
8
8
4
，

第三个出水口的出水量为：
∴
1，
2
，
3
号出水口的出水量之比约为
1
：
4< br>：
6
；故此选项正确；

④
若净化材枓损耗的速度与流经其表 面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使
用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的
8
倍．

1
，此处三角形材料损耗速度最慢，第一次分流后的水量为
1
（即
8
净化塔最上面一个等腰直角三角形两直角边的水量为
1），

∴净化塔最上面的三角形材料损耗最快，

∵
1
号与
5
号出水量为

故更换最慢的一个三角形 材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的
8
倍．

故此选项正确；

故正确的有
3
个．

故选：
C
．

此题主要考查了可能性的大小问题，根据题意分别得出 各出水口的出水量是解决问题的关
键．


8
．
如图，
AB

是⊙
O
的直径，弦CD
⊥
AB
于点
M
，若
CD
＝
8 cm
，
MB
＝
2 cm
，则直径
AB
的
长为（

）


A
．
9 cm
【答案】
B

【解析】

【分析】

B
．
10 cm
C
．
11 cm
D
．
12 cm

由
CD
⊥
AB< br>，可得
DM=4
．设半径
OD=Rcm
，则可求得
OM
的长，连接
OD
，在直角三角形
DMO
中，由勾股定理可求得
OD
的长，继而求得答案．

【详解】

解：连接
OD
，设⊙
O
半径
OD
为
R,


∵
AB

是⊙
O
的直径，弦
CD
⊥
AB
于点
M

，

1
CD=4cm
，
OM=R-2,

2
在
RT
△
OMD
中，

∴
DM =
OD²
=DM²
+OM²
即
R²
=4²
+(R- 2)²
,

解得：
R=5,

∴直径
AB
的长为
:2×5=10cm
．

故选
B
．

【点睛】

本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．


9
．
如图，已知
OP
平分∠
AOB
，∠
A OB
＝
60°
，
CP
＝
2
，
CP
∥
OA
，
PD
⊥
OA
于点
D
，
P E
⊥
OB
于点
E
．如果点
M
是
OP
的中点，则
DM
的长是
(


)


A
．
2
【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
2

C
．
3

D
．
2
3

由
OP
平分∠
AOB
，∠
AOB=60°
，
CP=2
，
CP
∥
OA
，易得
△
OCP
是等腰三角 形，∠
COP=30°
，
又由含
30°
角的直角三角形的性质，即可 求得
PE
的值，继而求得
OP
的长，然后由直角三
角形斜边上的中线 等于斜边的一半，即可求得
DM
的长．

【详解】

解：∵
OP
平分∠
AOB
，∠
AOB=60°
，

∴∠
AOP=
∠
COP=30°
，

∵
CP
∥
OA
，

∴∠
AOP=
∠
CPO
，

∴∠
COP=
∠
CPO
，

∴
OC=CP=2
，

∵∠
PCE=
∠
A OB=60°
，
PE
⊥
OB
，

∴∠
CPE=30°
，

∴
CE=
1
CP=1
，

2
，

∴
PE=
CP
2

CE
2

3< br>∴
OP=2PE=2
3
，

∵
PD
⊥
OA
，点
M
是
OP
的中点，

1
OP=
3
．

2
故选
C
．

∴
DM=
考点：角平分线的 性质；含
30
度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．


10
．
如图，⊙
O
过点
B
、
C
， 圆心
O
在等腰直角
△
ABC
的内部，∠
BAC
＝< br>90°
，
OA
＝
1
，
BC
＝
6，则⊙
O
的半径为（

）


A
．
2
3





B
．
13






C
．
4
D
．
3
2

【答案】
B

【解析】

【分析】

如下 图，作
AD
⊥
BC
，设半径为
r
，则在
Rt
△
OBD
中，
OD=3
－
1
，
OB=r
，
BD=3
，利用勾股定
理可求得
r.

【详解】

如图，过
A
作
AD
⊥
BC
，由题意可知
A D
必过点
O
，连接
OB
；



∵△
BAC
是等腰直角三角形，
AD
⊥
BC
，

∴
BD=CD=AD=3
；

∴
OD=AD- OA=2
；

Rt
△
OBD
中，根据勾股定理，得：

OB=
BD
2

OD
2

13

故答案为：
B.

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