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2021年1月30日发(作者：何展鹏)
第
11
讲

巧数图形



< br>数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千
变万化，错综复杂，所以要想准确地数出 其中包含的某种图形
的个数，还真需要动点脑筋。要想有条理、不重复、不遗漏地
数出所要图形 的个数，最常用的方法就是分类数。

例
1
数出下图中共有多少条线段。


分析与解：
我们可以按照线段的左端点的位置分为
A
，
B
，
C
三
类。如下图所示，以
A
为左端点的线段有
3
条，以
B
为左 端点
的线段有
2
条，以
C
为左端点的线段有
1
条。 所以共有
3
＋
2
＋
1
＝
6(
条
)
。




我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的 来分类。
如下图所示，
AB
，
BC
，
CD
是最基本 的小线段，由一条线段构
成的线段有
3
条，由两条小线段构成的线段有
2条，由三条小
线段构成的线段有
1
条。




所以，共有
3
＋
2
＋
1
＝
6(
条
)
。



由
例
1
看出，数图形 的分类方法可以不同，关键是分类要
科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样
才能做到不重复、不遗漏。

例
2
下列各图形中，三角形的个数各是多少？




分析与解 ：
因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形
(
以顶
点及这条线段的两个端 点为顶点的三角形
)
，
所以各图中最大的
三角形的底边所包含的线段的条数就 是三角形的总个数。由前
面数线段的方法知，



图
(1 )
中有三角形
1
＋
2
＝
3(
个
)
。



图
(2)
中有三角形
1
＋
2
＋
3=6(
个
)
。



图
(3)
中有三角形
1
＋
2
＋
3
＋
4
＝
10(
个
)
。



图(4)
中有三角形
1
＋
2
＋
3
＋
4< br>＋
5
＝
15(
个
)
。



图
(5)
中有三角形



1
＋
2
＋
3
＋
4
＋
5
＋
6=21(
个
)
。

例
3
下列图形中各有多少个三角形？




分析与解：
(1)
只需分别求出以
AB，
ED
为底边的三角形中各有
多少个三角形。



以
AB
为底边的三角形
ABC
中，有三角形



1
＋
2
＋
3
＝
6(
个
)
。



以
ED
为底边的三角形
CDE
中，有三角形



1
＋
2
＋
3
＝
6(
个
)
。



所以共有三角形
6
＋
6=12(
个
)
。



这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借
助
“< br>求底边线段数
”
而得出三角形的个数。我们也可以以小块个
数作为分类的标准来 计算：图中共有
6
个小块。



由
1
个小块组成的三角形有
3
个；



由
2
个小块组成的三角形有
5
个；



由
3
个小块组成的三角形有
1
个；



由
4
个小块组成的三角形有
2
个；



由
6
个小块组成的三角形有
1
个。



所以，共有三角形



3
＋
5
＋
1
＋
2
＋
1
＝
12(
个
)
。< br>
(2)
如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以
“
小块个数
”
为分类标准来计算：



由
1
个小块组成的三角形有
4
个；



由
2
个小块组成的三角形有
6
个；



由
3
个小块组成的三角形有
2
个；



由
4
个小块组成的三角形有
2
个；



由
6
个小块组成的三角形有
1
个。



所以，共有三角形



4
＋
6
＋
2
＋
2
＋
1
＝
15(
个
)
。< br>
例
4
右图中有多少个三角形？

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