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2021年1月30日发(作者：thetwist)

第一讲


三角形的有关概念

考点解读


1.
掌握三角形、多边形的概念及边、角、对角线、外角的概念。

2.
掌握三角形和多边形内角和定理及推论。

3.
掌握三角形三边之间的关系。

4.
掌握瓷砖的密铺。

5.
理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。

方法梳理


1
、
n
边形的内角和
=(n-2)
·
1 80
°
。
（
n
≥
3
的正整数）
，多边形内 角和与边数
n
有关，每增
加
1
条边，内角和增加
180°。

2
、任意多边形的
外角和都为
360
°
（外角和是指：每个顶点取且只取一个外角）
。

注意：
（
1
）多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；

（
2
）< br>n
边形的外角和恒等于
360
°，它与边数的多少无关。

3
、从
n
边形的一个顶点可作
n
条对角线，这些对角线把多边形分成< br>(n-2)
个三角形；
n
边
形共有
n
×
(n
－
3)
÷
2
条对角线。
4
、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地
铺成一个平面，叫做平面图形的镶嵌。

【
1
】只用一种正多边形进行镶嵌， 只有正三角形
(6
个
)
，正四边形（即正方形
4
个）
，正
六边形（
3
个）三种情形。

【
2
】任意一 种三角形、任意一种四边形都可以进行镶嵌。其中要用相同的
6
个三角形，
或
4
个相同的四边形。

【
3
】两种正多边形镶嵌有：
①正三角形与正四边形（
3
个正三角形和
2
个正方形）
；

②正三角形与正六边形（
2
个正三角形和
2
个正六边形，或4
个正三角形和
1
个正六
边形）
；

③正方形 与正八边形等（
2
个正八边形和
1
个正方形）
。

【
4
】
多边形镶嵌成功，
与多边的内角有关，
必须要求在公共顶点上 所有内角和为
360
度。

5
、多边形的内角中最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如正方形形）
；

多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角。

三角形三个
内角
中至少有
2
个锐角，至多有
1
个钝角，或至多有一个直角；

三角形三种
外角
中至少有
2
个钝角；至多有
1
个锐角。< br>
6
、三角形有“四心”

①
外心：
三角形三条垂直 平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。△
ABC
的
外心一般用字母
O
表示，它具有如下性质：

(1)
外心到三顶点等距，
即
OA=OB=OC
。
(2)
∠
A=
1
1
1


BOC
,

B


AOC
,< br>
C


AOB
。
2
2
2
②
内心：
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。△
ABC的内
心一般用字母
I
表示，它具有如下性质：

(1)
内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

(2)∠
A
的平分线和△
ABC
的外接圆相交于点
D
，则D
与顶点
B
、
C
、内心
I
等距
(即
D
为
△
BCI
的外心
)
。

(3)
∠
BIC=90
º
+
1
1
1
∠< br>A
，∠
CIA=90+
∠
B
，∠
AIB=90
º
+
∠
C
。

2
2
2
③
重心：
三角形三条中线的交点叫三角形的重心。△
ABC
的重心一般用字母
G
表示，
它有如下的性质：


(1)
顶点与重心
G
的连线必平分对边。

(2)
重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的
2
倍。

(3 )
S

BGC

S

CGA

S

AGB

1
S

ABC
。
< br>3
④
垂心：
三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。△
A BC
的垂心一般用
字母
H
表示，它具有如下的性质：

( 1)
顶点与垂心连线必垂直对边，即
AH
⊥
BC
，
BH⊥
AC
，
CH
⊥
AB
。

(2)若
H
在△
ABC
内，且
AH
、
BH
、
CH
分别与对边相交于
D
、
E
、
F
，则< br>A
、
F
、
H
、
E
；
B
、< br>D
、
H
、
F
；
C
、
E
、< br>H
、
D
；
B
、
C
、
E
、< br>F
；
C
、
A
、
F
、
D
；< br>A
、
B
、
D
、
E
共六组四点共圆。

(3)
△
ABH
的垂心为
C
，△
BHC
的 垂心为
A
，△
ACH
的垂心为
B
。

典例练习：

1
、在△
ABC
中，∠
A=40º，为△
ABC
的内心，则∠
BOC
＝

度。

2
、圆的外切正三角形的边长是圆内接三角形的边长的

倍。

3
、已知三角形三边长分别为
3
、
4
、
5
，则其内切圆半径为

。

4
、设△
ABC
的垂心为
H
，则∠
BHC
＋∠
BAC =
度。

知识链接：

【例
1
】已 知一个三角形中两条边的长分别是
a
、
b
，且
a

b
，那么这个三角形的周
长
L
的取值范围是（




）

A
、
3
a

L

3
b






















B
、
2
(
a

b
)

L

2
a

C
、
2
a

b

L

2
b

a














D
、
3
a

b

L

a

2
b

分析：
涉及构成三角形三边 关系问题时，
一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两
边之和。

答案：
B
变式与思考：
在△
ABC
中，
AC＝
5
，中线
AD
＝
7
，则
AB
边的取 值范围是（




）

A
、
1
＜
AB
＜
29





B
、
4
＜
AB
＜
24





C
、
5
＜
AB
＜
19





D
、
9
＜
AB
＜
19

评注： 在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借
助全等三角形知识求解，这 也是一种常见的作辅助线的方法。

【例
2
】如图，已知△
ABC< br>中，∠
ABC
＝
45
0
，∠
ACB
＝
61
0
，延长
BC
至
E
，使
CE
＝AC
，延长
CB
至
D
，使
DB
＝
AB
，求∠
DAE
的度数。

分析：
用三角形内角和定理和外角 定理，等腰三角形性质，求出∠
D
＋∠
E
的度数，即
可求得∠
DAE
的度数。

A
略解：∵
AB
＝
DB
，
AC
＝
CE
1
1
∠
ABC
，∠
E
＝
∠
ACB
2
2
1






∴ ∠
D
＋∠
E
＝
（∠
ABC
＋∠
ACB）＝
53
0

2






∴∠
D
＝






∴∠
DAE
＝
180
0
－（∠
D
＋∠E
）＝
127
0

D
B
C
E
例
2
图

探索与创新：

【问题一】如图，已知点
A
在直线
l
外，点
B
、
C
在直线
l
上。

（
1
）点
P
是△
ABC
内任一点，求证：∠
P
＞∠
A
；

（
2
）试判断在△
ABC
外，又和 点
A
在直线
l
的同侧，是否存在一点
Q
，使∠
BQ C
＞∠
A
，并证明你的结论。


A
A
m

n
C
B
C
l
B
l

问题一图






分析与结论：

（
1
）连结
AP
，易证明∠
P
＞∠
A
；

（
2
）存在，怎样的角与∠
A
相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△
ABC
的
外接⊙
O
，易知弦
BC
所对且顶点在弧
A
m
B
，和弧< br>A
n
C
上的圆周角都与∠
A
相等，因此
点
Q
应在弓形
A
m
B
和
A
n
C
内，利 用圆的有关性质易证明（证明略）
。

【问题二】如图，已知
P
是等 边△
ABC
的
BC
边上任意一点，过
P
点分别作
A B
、
AC
的垂线
PE
、
PD
，垂足为
E< br>、
D
。问：△
AED
的周长与四边形
EBCD
的周长 之间的关系？

分析与结论：

（
1
）
DE
是△
AED
与四边形
EBCD
的公共边，只须证明
AD
＋
AE
＝
BE
＋
BC
＋
CD
（
2
）既有等边三角形的条件，就有
60
0
的角可以利用；又有垂线，可造成含< br>30
0
角的
直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。

略解：在等边△
ABC
中，∠
B
＝∠
C
＝
60
0

A










又∵
PE
⊥
AB
于E
，
PD
⊥
AC
于
D










∴∠
BPE
＝∠
CPD
＝
30
0











不妨设等边△
ABC
的边长为
1
，
BE
＝
x
，
CD
＝
y
，
那
1
么：
BP< br>＝
2
x
，
PC
＝
2
y
，
x

y

，
而
AE
＝
1

x
，
AD
＝
1

y

2
3










∴
AE
＋
AD
＝
2

(
x

y
)


2
3








又∵
BE
＋
CD
＋
BC
＝
(
x

y
)< br>
1


2
E
D
P
C
B
问题二图











∴
AD
＋
AE
＝
BE
＋
BC
＋
CD










从而
AD
＋
AE
＋
DE
＝
BE
＋
BC
＋
CD
＋
DE










即△
AED
的周长等于四边形
EBCD
的周长。





评注：
本题若不认真分析三角形的边角关系，
而想走
“全等三角形”的道路是很难奏效
的。

跟踪训练：

一、填空题：

1
、三角形的三边为
1
，
1

a
，
9
，则
a
的取值范围是










。

2
、已知三角形两边的长分别为
1
和
2
，如果第三边的长也 是整数，那么第三边的长为




。

3
、在△
ABC
中，若∠
C
＝
2
（∠
A
＋ ∠
B
）
，则∠
C
＝








度。

4
、如果△
AB C
的一个外角等于
150
0
，且∠
B
＝∠
C
，则∠
A
＝








。

5
、如果△
ABC
中，∠
ACB< br>＝
90
0
，
CD
是
AB
边上的高，则与∠< br>A
相等的角是










。

6
、
如图，
在△ABC
中，
∠
A
＝
80
0
，
∠
ABC
和∠
ACB
的外角平分线相交于点
D
，
那么∠BDC
＝










。

7
、如图，
CE
平分∠
ACB
，且
CE
⊥
DB
，∠
DAB
＝∠
D BA
，
AC
＝
18cm
，△
CBD
的周长为
28 cm
，则
DB
＝








。


8
、纸片△
ABC
中，∠
A
＝
65
0
，∠
B
＝
75
0
，将纸片的一角折叠，使点
C
落在△
ABC
内（如
图）
，若∠
1
＝
20
0
，则∠
2
的度数 为










。


A
C
A

1

C
B
C
D


E
2
F
B
A
B

E
D
第
8
题图

第
7
题图

第
6
题图


9
、在△
ABC
中，∠
A
＝
50
0
，高
BE
、
CF
交于点
O
，则∠
BOC
＝







。
10
、
若△
ABC
的三边分别为
a
、
b
、
c
，
要使整式
(
a

b

c
)(
a

b

c
)
m

0
，
则整数
m
应
为










。

二、选择题：

1
、若△
ABC
的三边之长都是整数，周长 小于
10
，则这样的三角形共有（




）

A
、
6
个












B
、
7
个














C
、
8
个












D
、
9
个

2
、在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
在
AC
上，且
B D
＝
BC
＝
AD
，则∠
A
的度数为（



）

A
、
30
0














B
、
36
0
















C
、
45
0













D
、
72
0

3
、等腰三角形一腰上的中线分周长 为
15
和
12
两部分，则此三角形底边之长为（




）

A
、
7















B
、
11















C
、
7
或
11









D
、不能确定
< br>4
、在△
ABC
中，∠
B
＝
50
0
，
AB
＞
AC
，则∠
A
的取值范围是（




）

A
、
0
0
＜∠
A
＜
180
0
























B
、
0
0
＜∠
A
＜
80
0

C
、
50
0
＜∠
A
＜
130
0























D
、
80
0
＜∠
A
＜
130< br>0

5
、若

、

、

是 三角形的三个内角，而
x




，
y




，
z




， 那么
x
、
y
、
z
中，锐角的个数的错误判断是（




）





A
、可能没有锐角
























B
、可能有一个锐角

C
、可能有两个锐角






















D
、最多一个锐角

6
、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的< br>2
倍，且等于它不相邻内角的
4
倍，那么这个
三角形一定是（




）





A
、锐角三角形






B
、直角三角形






C
、钝角三角形







D
、正三角形

三、解答题：

1
、有
5
根木条，其长度分别为
4
，
8
，
8
，
10
，
12
，用其中三根可以组成几种不同形状
的三角形？





2
、长为
2
，
3
，
5
的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能
构成直角三角形吗？为 什么？



3
、如图，在△
ABC
中，∠
A
＝
96
0
，延长
BC
到
D
，
A
A
1
A
2
B
C
D
第
3
题图

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