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2021年1月30日发(作者：并容徧覆)

三
角
形

等腰三角形和等边三角形

等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形相等的两个边称为这个三角形的腰

等腰三角形的性质：
1.
等腰三角形的两个底角相等。

（简写成
“
等边对等角
”
）

2.
等腰三 角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成
“
等腰三角形的
三线 合一
”
）




3.
等腰三角形的两底 角的平分线相等。
（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）




4.
等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。




5.
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半




6.
等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的 高
(
需用等面积法证明
)



7.
等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴

等腰三角形的判定：
1.
在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形
(
定义
)
2.
在同
一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三 角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）
等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形< br>
等边三角形的性质：⑴
等边三角形是
锐角三角形
，等边三角形的内角 都相等，且均为
60°
。

⑵
等边三角形每条边上的中线、高线和所 对角的平分线互相重合（
三线合一
）

⑶
等边三角形是
轴对 称图形
，它有三条对称轴，
对称轴
是每条边上的中线、高线

或对角的
平分线所在的直线。

⑸
等边三角形
重心
、
内心
、
外心
、
垂心
重合于一点，称为等边三角形的中心。
（四心合一）
⑹
等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值
(
等 于其高
)
等边三角形的判定：

⑴
三边相等的三角形是等边三角形（定义）

⑵
三个内角都相等（为
60
度）的三角形是等边三角形

⑶
有一个角是
60
度的等腰三角形是等边三角形

(4)

两个内角为
60
度的三角形是等边三角形

(5)

说明
:
可首先考虑
判断
三角形是
等腰三角形
。

(6)

等边三角形的性质与判定理解：

(7)

首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角 形。其次，
明确等边三角形与等腰三角形的关系。
等边三角形是特殊的等腰三角形，
等 腰三角形不一定
是等边三角形。



例题解析

等腰三角形的性质应用及判定

【例
1
】
（扬州中考）如图 ，△
ABC
中，
D
、
E
分别是
AC
、AB
上的点，
BD
与
CE
交于点
O.
给出下列 三个条件：①∠
EBO=
∠
DCO;
②∠
BEO=
∠
CDO;
③
BE=CD.


(1)

上述三 个条件中，哪两个条件可判定△
ABC
是等腰三角形（用序号写出所有
情形）

(2)

选择第（
1
）小题中的一种情形，证明△
ABC< br>是等腰三角形






E
O
D
C
A
B
【例
2
】
如图，
△
ABC
为等边三角形，
延长
BC
到
D,
又延长
BA
到
E
，
使
AE=BD,
连接
CE,D E,
求证：△
CDE
为等腰三角形






A
B
C
D
E

【 例
3
】
（福建中考）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若
D E=a,
则下列
说法正确的个数有（

）









①
DC
平分∠
BDE




'
'

②
BC
长为
(
2

2
)a
③△
BC
D
是等腰三角形

④△
CED
的周长等于
BC
的长

A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个

A
D



B
C
B
E
C
B
C
.
D
'
E

【例
4
】如图 ，△
ABC
是边长为
1
的正三角形，△
BDC
是顶角为120
°的等腰三角形，以
D
为顶点作一个
60
°的∠
MDN
，点
M,N
分别在
AB,AC
上，则△
AMN
的周长是




A

N
M




D
B
C

-

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-

-

-

-

-

-