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2021年1月30日发(作者：骑驴倒堕)
初三数学相似三角形专题










































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作者
:
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日期
:


ﻩ
初三数学相似三角形专题练习题

1
．在△
ABC
中，
AB=A
Ｃ＝１
0
， 点
D
是边
B
Ｃ上一动点
(
不与
B
，
C
重合
)
，连结
A
Ｄ，作
∠ＡＤ
E
＝∠
B
＝α，ＤＥ交Ａ
C
于点
E
，且
cos
α ＝
5
．有下列结论：①△
ADE
∽△
ACD;
②当
BD=6
时
,
△
A
Ｂ
D
与△
DC
Ｅ全等；③当△
D
Ｃ
E
为直角三角形时，
BD=8;
④< br>3.
６≤Ａ
E
＜１０．其中正确的结论是
(
）

A.
①③

B.
①④
C
．①②④

D.
①②③

4


2.
如图所示
,
在正方形
A
Ｂ
CD中
,E
是Ｂ
C
的中点，
F
是
CD
上的 一点
,
Ａ
E
⊥
EF,
下列结
论:①∠
BA E
＝
3
０°；②
CE
＝
AB

CF
;③
CF
＝
2
1
F
Ｄ; ④△
AB
Ｅ∽△
AEF.
其中正确的有

3
A
D
F
B
E
C

Ａ．
1
个


Ｂ
. 2
个



C. 3
个



D. 4
个

3
．如图
,
每个小正方形边长均为
1,则下列图中的三角形（阴影部分
)
与左图中△
ABC
相
似的是< br>(

）



4.
如图，已知
R
ｔ△
AB
Ｃ
,D
１
是斜边
A
Ｂ的中点，过 Ｄ
1
作Ｄ
1
E
1
⊥
A
Ｃ于
E1
，连接
BE
1
交
C
Ｄ
1
于
D
2
；过
D
2
作
D
2
E
2
⊥
AC
于
E
2
,
连接Ｂ
E
2
交 Ｃ
D
1
于
D
３
;
过
D
３
作
D
3
E
3
⊥
AC
于Ｅ
3
，……
,
如
此继续
,
可以依次得到点
D
4
、Ｄ< br>５
、……、
D
n
,
分别记△
BD
1
E
1
、△
BD
2
E
2
、△
BD
3
E
３
、……、
△
BD
n
E
ｎ
的面 积为
S
1
、
S
2
、
S
3
，……Ｓ
n
,
则
(
）


A
．
S
n

D
．
S
n



５．如图，在平行四边形
ABCD
中，
E
是
CD
上的一点 ，
DE
∶
EC
=2
∶
3
，

连接
AE
,
BE
,
BD
,
且
AE
，< br>BD
交于点
F
,
则
S
△
DEF
∶< br>S
△
EBF
∶
S
△
ABF

＝（

）

1
S
Δ
ABC


4
n
1
S
Δ
ABC



B.
S
n

1
S
Δ
ABC


n

3


C.
S
n

1
S
Δ
ABC

2
(
n

1
)
(
n

1
)
2

A.2
∶５∶
25


Ｂ．４∶
9
∶
25



Ｃ．
2
∶
3
∶５
D.
４∶
1
０∶
2
５


6
．如 图，在□
ABCD
中
,
点Ｅ是边
AD
的中点
,EC
交对角线
BD
于点
F,
则ＥＦ∶
F
Ｃ等于

（


）


Ａ
.3
∶２




B.3
∶
1





C.1
∶
2



D
．
1
∶
1

７
.
如图
,
点
P
在△
ABC
的边
AC
上
,
要判断△ Ａ
B
Ｐ∽△ＡＣ
B
，添加一个条件，不正确的
是
(

)


Ａ．∠ＡＢ
P=
∠
C
Ｂ
.
∠ＡＰ
B
＝∠
AB
Ｃ
C
．
=

D.
＝

8
．
（ ２014•宿迁
)
如图
,
在直角梯形Ａ
BCD
中，
A
Ｄ∥
BC,
∠Ａ
B
Ｃ=90°，
AB=8
，AD=3,BC=
４
,
点
P
为ＡＢ边上一动点，
若△< br>P
Ａ
D
与△
PBC
是相似三角形
,
则满足条 件的点Ｐ的个数
是
( )


A.1
个



B
．
2
个
C.3
个


Ｄ．
4
个

9
．如图
,
△
ABC
中
,
∠Ｃ
=90
°,
Ａ
C
＝
6,BC
＝
8
，将△
AＢ
C
沿
DE
折叠，使点Ｂ落在
AC
边
上的Ｆ处
,
并且
DF
∥Ｂ
C,
则
BD
的长是
( )


Ａ．
40
15
50
25

B
．
C
．


D.

9
4
9
4
１０
.
如图，已知△
AB
Ｃ中 ，∠
ABC=45
°，Ｆ是高
AD
和
BE
的交点，
CD=4
，则线段
D
Ｆ
的长是


．



11
．
已知正方形
ABC
1
D
1
的边长为１
,
延长
C
1
D
1
到Ａ
1
,
以Ａ
１
Ｃ
1
为边向右作正方 形
A
1
Ｃ
1
Ｃ
2
D
2
,
延长
C
2
Ｄ
2
到
A
２
，
以Ａ2
Ｃ
2
为边向右作正方形
A
２
C
2
C
3
Ｄ
（如图所示
),
以此类推…,若
A
1
C
1
=2
，
3
且点
A,D
2
,
Ｄ
3
，…，
D
10
都在同一直线上，则正方形
A
9
C
9
Ｃ
10
Ｄ
１０
的边长是＿
_
＿
___



12
．如图
,
点
P
是平行四边形
ABCD
中边
A
Ｂ上的一点
,
射线
CP
交
DA
的延长线于点
E
，
若
S
AP
2

，则

AEP




.

S

BCP
CD
5


13
．如图，
△
A
Ｂ
C
与
△< br>A
Ｅ
F
中
,AB=AE,BC=EF
，∠
B=
∠
E
，
AB
交Ｅ
F
于
D
．给出下列结论
:

①
∠
A
Ｆ
C=
∠
C;
②D
Ｅ
=CF;
③
△
ADE
∽△
FDB;
④
∠Ｂ
FD=
∠
C
Ａ
F
其中正确的结论是






．

14.
如图，△
A
Ｂ
C
中
, D
为Ｂ
C
上一点，∠
BAD=
∠
C
，
A B=6
，
BD
＝
4,
则Ｃ
D
的长为＿
__
＿
__
＿
__.



１５
.< br>如图
,
在矩形
A
Ｂ
CD
中
,E
是< br>A
Ｄ边的中点，
B
Ｅ⊥
AC
于点
F
，连接< br>DF,
分析下列五
个结论
:
①△
AEF
∽△
C
Ａ
B;
②
CF=2AF
；③Ｄ
F
＝
DC
；④
S
四边形ＣＤＥ
F
=
论有


个．

5
Ｓ
△
AB
Ｆ
,
其中正确的结
2


1
６
.
如图，正方形Ａ
BC
Ｄ的边长为４
,
Ｅ是Ｂ
C
边的中点，点Ｐ在射线Ａ
D
上
,
过< br>P
作
PF
⊥
AE
于
F,
设
PA=x
。



A

P
D
F

B

E

C


（
1
） 求证
:
△
PFA
∽△
ABE
；


(2
）若以
P
，Ｆ
,E
为顶点的三角形也与△
A
Ｂ
E
相似，试求
x
的值；







17
．小强遇到这样一个问题：如图
1,
在 △
ABC
中，点
D
在线段Ｂ
C
上，∠
BAD=７
5
°，
∠Ｃ
AD=3
０°，

Ａ
D
＝
2,B
Ｄ
=2DC
，求ＡＣ的长．


小强发现
,
过点
C
作
CE
∥
A
Ｂ，交
A
Ｄ的延长线于点
E,
通过构造△
AC
Ｅ< br>,
经过推理和计算
能够使问题得到解决（如图
2)
．

（１
)
请回答：∠
ACE
的度数为


，ＡＣ的长为

.

参考小强思考问题的方法，解决问题：

（
2)
如图３，在四边形< br>AB
Ｃ
D
中
,
∠Ｂ
A
Ｃ
=
９
0
°，∠Ｃ
AD=3
０°
,
∠
ADC=7
５°，
A
Ｃ与
BD
交于点
E,AE=
２，
BE=
２
E
Ｄ
,
求
BC
的长
.

18.
如图，已知矩形
ABCD
的边长
AB

3cm，
BC

6cm
.
某一时刻，动点
M
从
A
点
出发沿
AB
方向以
1cm/s
的速度向
B< br>点匀速运动；同时
,
动点
N
从
D
点出发沿
D A
方
向以
2cm
/
s
的速度向
A
点匀速运 动，问：


（１）经过多少时间，
△
AMN
的面积等于矩 形
ABCD
面积的
1
？

9
（
2
）是否存在时刻
t,
使以
A,M,
Ｎ为顶点的三角形与
△
A CD
相似？若存在
,
求
t
的值
;
若不存在，请说明 理由．








１９．如图
,
四边形Ａ
B
Ｃ
D
中，
AC
平分∠
DAB
，∠
ADC
＝∠
ACB
＝90°，
E
为
AB
的中点．


（１）求证
:AC
=
Ａ
B

ＡＤ
;

(2
）求证
:
Ｃ
E
∥ＡＤ
;

(3
）若
AD=5,AB=7
，求







20.
如图，在
△
ABC
中，AB=5,
Ａ
C=6
，
BC=7,
点
D
，E
分别在
AB,AC
上，
DE
∥Ｂ
C
．

2
AC
的值．

AF

（
1
）当
A
Ｄ
:DB=4:3
时，求
DE
长
;
(2
）当
△
ＡＤ
E
的周长与四边形
B
ＣＥ
D
的周长相等，求Ｄ
E
的长
.



21
．(2015•南京
)
如图，△
ABC
中，
C
Ｄ是边
AB
上的高，且
=
．


(1)
求 证：△
A
ＣＤ∽△
C
Ｂ
D
；

(2
）求∠
A
Ｃ
B
的大小
.












22.
如图△ＡＢ
C
中，Ｄ
E
∥
BC,
A D
AB
2
,M
为Ｂ
C
上一点，
AM
交DE
于
N
．

3

（１）若Ａ
E=4,
求
EC
的长；

(2)
若
M
为
BC
的中点，
S




=
３
6
，求
S
△
ADN

ABC



2
３．如图
,
△
A BC
是等边三角形，
D
、
E
在
BC
边所在的直线上 ，且
BC
=BD
•Ｃ
E.

2

（
1
）求∠
DA
Ｅ的度数

（
2)
求证：
AD
=DB
•
D
Ｅ


2
参考答案

1.C

【解析】
试题分析
:
根据题意可得∠
A
Ｄ
E=
∠
B＝∠
C
，∠
DAE=
∠Ｃ
AD
，则△
A
ＤＥ∽△
ACD;
当
BD=6
时，
则△
AB
Ｄ和 △
DCE
全等，Ａ
E
的取值范围为
3.
６≤
AE< br>＜１０
.

考点：三角形相似
.

2.C

【解析】

试题分析：因为正方形
AB
Ｃ
D
中,E
是
BC
的中点，所以
tan∠
BAE=
BE
1

，
所
以
∠
Ｂ
AB
2
AE≠
30°，
故
①
错
误
;
因为∠Ｂ
AE
＋∠
BEA=90
°，∠
BEA+
∠
CEF=90
°；所 以∠
B
Ａ
E=
∠Ｃ
EF
，
又因为∠
B=< br>∠
C=9
０°，
所以△
ABE
∽△
ECF
则
A
Ｂ：
BE=EC:
Ｃ
F
，
因为
B
Ｅ
=
Ｃ
E,
所以
AB:CE
＝ＥＣ：
C
Ｆ
,
即
CE
＝
AB

C
Ｆ
,所以②正确
;

2
设
CF
＝
a
，则
BE=CE=2a,A
Ｂ
=CD
＝
A
Ｄ
=4 a
，
DF=3a
，
∴
AE=２
5
a
，EF
＝
5
ａ
,A
Ｆ
=5a,∴
AE
2
5
a
2
5
BE
2
a
2
5
BE
AE


,
，
∴
,∴
△
AB E∽
△
AEF，



AF
5
a
5
EF
AF
EF
5
5
a
故
④
正< br>确
．
∴
CF=
1
1
1
EC=
ＣD
，
∴
CF
＝
F
Ｄ
;
故
③< br>正
确
;
故
选
：
C.

3
2
4
考点：１
.
正方形的性质
2.
相似三角形的判定与性质< br>.

3
．
B

【解析】

试题分析 ：两个三角形的三边分别对应成比例，则两个三角形相似
.
本题只要分别求出这五
个三 角形的三边长
,
然后判断边是否成比例即可得出答案．

考点
:
三角形相似的判定

4
．Ｄ
.

【解析】

试题解析
:
∵Ｓ
△
BDn
Ｅ< br>n
=
1
Ｓ
△
C
Ｄ
nEn

CEn,

2
∴
Dn
Ｅ
n=
Ｄ
1
E
１

ＣＥｎ

D
1
E
1
11
,
而Ｄ
１
E
1
=
Ｂ
C,
Ｃ
E
1
=
AC
，

CE
1
2
2
∴
S
△
BDnEn
＝
CE
n
2
CE
n
1
1
1
BC

CE
n
1
×
BC
×
]


Ｃ
En
＝
×

CEn
＝
BC

AC[
1
2
2
2
AC
2
AC
AC
2
=S
△Ａ
BC

[
CE
n
2
］
,

AC
延长
CD
１
至
F
使得Ｄ
1
Ｆ
=C D
１
，


∴四边形
AC
Ｂ
F
为矩形．

CE
n
1
CE
n
D
n
E
n
CE
n

1

BF
CE
n

1
∴
,




AC
AF
AF
CE
n

1

AC
CE
n
D
n
En
CE
n

1


,

AC
AF
CE
n

1

AC
对于
两边 均取倒数
,

∴
AC
AC

1

，

CEn
CE
n

1
即是
AC
AC


1

CE
n
CE
n

1
∴< br>AC
构成等差数列．

CE
n
而
AC
=2,

CE
n
AC
=2+1

(n-1)=n+1,
< br>CE
n
故
∴Ｓ
△
BDnE
ｎ
=
Ｓ< br>△
ABC

[
CE
n
2
]
,

AC
则
S
ｎ
＝
1
S
△
ABC
.

2
(n

1)
故选
D
．

考点
:1.
相似三角形的判定与性质；
2.
三角形的重心．

5
．
D.

【解析】

试题解析：根据图形知：△
DE
Ｆ的边ＤＦ和△
BF
Ｅ的边
BF
上的高相等
,
并设这个高为
h,


∵四边形
A
Ｂ
CD
是平行四边形，

∴
D
Ｃ
=AB
，
DC
∥
A
Ｂ
,
∵Ｄ
E
：
E
Ｃ
=2
：
3
，

∴
DE
：
A
Ｂ
=2:5,

∵Ｄ
C
∥Ａ
B
，

∴△
D
Ｅ
F
∽△
BAF
，

∴< br>S
S
DEF
ABF

(
D
E
24
DE
DF
2
)

，


,

AB
25
AB
BF
5

-

-

-

-

-

-

-

-