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2021年1月30日发(作者：徐良小凌的故事)
二次函数中直角三角形专题


1
．如图，在平面直角坐标系中，已 知点
A
的坐标是（
4
，
0
）
，并且
OA= OC=4OB
，动点
P
在
过
A
，
B
，C
三点的抛物线上．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2< br>）是否存在点
P
，使得
△
ACP
是以
AC
为 直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点
P
的坐标；若不存在，说明理
由 ；
（
3
）过动点
P
作
PE
垂直于
y
轴于点
E
，交直线
AC
于点
D
，过点
D
作
x
轴的垂线．垂足
为
F
，连接
EF
，当线段EF
的长度最短时，求出点
P
的坐标．


2
．如图，已知抛物线
y=ax
2
- 3/2x+c
与x
轴相交于
A
、
B
两点，并与直线
y= 1/2x-2
交于
B
、
C
两点，其中点
C
是直线
y= 1/2x-2
与
y
轴的交点，连接
AC
．
（
1）求抛物线的解析式；
（
2
）证
明：
△
ABC
为直角三角形；
（
3
）
△
ABC
内部能否截出面积最大的矩 形
DEFG
？（顶点
D
、
E
、
F
、
G
在
△
ABC
各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．


3
．如图，抛物线
y=x
2
+bx+c
与直 线
y=x-1
交于
A
、
B
两点．点
A
的横 坐标为
-3
，点
B
在
y
轴
上，点
P
是
y
轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为
m
，过点
P
作< br>PC
⊥
x
轴于
C
，交直线
AB
于
D
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）当
m
为何值时，
S
四边形
OBDC=2S
△
BPD
；< br>（
3
）是否存
在点
P
，使
△
PAD
是直角三角形？若存在，求出点
P
的坐标；若不存在，说明理由．



4
．
如图，
在平面直角坐标系中，
抛物线与
x< br>轴交于点
A
（
-1
，
0
）
和点
B< br>（
1
，
0
）
，
直线
y=2x-1
与
y
轴交于点
C
，与抛物线交于点
C
、
D
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）求点
A
到直线
CD
的
距离；
（
3
）平移抛物线，使抛物线的顶点< br>P
在直线
CD
上，抛物线与直线
CD
的另一个交点
为
Q
，点
G
在
y
轴正半轴上，当以
G
、P
、
Q
三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求
出所有符合条件的< br>G
点的坐标．



5
．如图，抛物线
y= ax
2
+bx+c
经过
A
（
-3
，
0）
、
C
（
0
，
4
）
，点
B< br>在抛物线上，
CB
∥
x
轴，且
AB
平分∠
C AO
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）线段AB
上有一动点
P
，过点
P
作
y
轴的平行线，
交抛物线于点
Q
，
求线段
PQ
的最大值；
（
3
）
抛物线的对称轴上是否存在点
M
，
使
△ABM
是以
AB
为直角边的直角三角形？如果存在，求出点
M
的 坐标；如果不存在，说明理由．



6
．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线
y=ax
2
+bx+c
（
a≠0
）与
x
轴相交于
A
，
B
两点，与
y
轴相交于点
C
，直线
y=kx+n
（
k≠0
）经过
B
，
C
两点，已知
A
（
1
，
0
），
C
（
0
，
3
），且
BC=5
．（
1
）分别求 直线
BC
和抛物线的解析式（关系式）；（
2
）在抛物线的对称轴上是
否存在点
P
，使得以
B
，
C
，
P
三点为 顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点
P
的
坐标；若不存在，请说明理由．< br>

7
．如图，二次函数
y=ax
2
+bx-3的图象与
x
轴交于
A
（
-1
，
0
），
B
（
3
，
0
）两点，与
y
轴
交于 点
C
．该抛物线的顶点为
M
．（
1
）求该抛物线的解析式； （
2
）判断
△
BCM
的形状，
并说明理由；
（3
）
探究坐标轴上是否存在点
P
，
使得以点
P
、
A
、
C
为顶点的三角形与
△
BCM
相似？若存在 ，请直接写出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．


8.
已知二次函数
y=ax
2
+bx-3a
经过点
A
（
-1
，
0
）、
C
（
0
，
3
）， 与
x
轴交于另一点
B
，抛物
线的顶点为
D
．（1
）求此二次函数解析式；（
2
）连接
DC
、
BC、
DB
，求证：
△
BCD
是直
角三角形；
（< br>3
）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点
P
，使得
△
PDC< br>为等腰三角形？若存
在，求出符合条件的点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．

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