2020年中考数学三角形专题复习(带答案)
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2021年01月30日 19:09
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-
2020
年中考数学三角形专题复习
(
名师精选全国真题，值得下载练习
)
一、选择题
1.
若一个等腰三角形的两边长分别为
2
，
4
，则第三边的长为（
）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2
或
4
2.
如图，在
中，
，观察图中尺规作图的痕迹，可知
的度数为（
）
A.
B.
C.
D.
3.
若长度分别为
a
，
3
，
5
的三条线段能组成一个三角形，则
a
的值可以是（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 < br>4.“
三等分角
”
大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。
借助如 图所示的
“
三等分角仪
”
能三等分任一角。
OB
组成，C
点固定，
OC=CD=DE
，
这个三等分角仪由两根有槽的棒
OA
，
两根棒在
O
点相连并可绕
O
转动，
点
D
，
E
可在槽中滑动，若
∠
BDE=75°
，则
∠
CDE
的度数是（
）
A. 60°
B. 65°
C. 75°
D. 80°
5.
如图，
在
中
，
点
和
分别在
和
上，
且
.
连接
，
过点
的
直线
与
平行，若
，则
的度数为（
）
A.
B.
C.
D.
6.
一个等腰三角形的底边长是
6
，
腰长是一元二次方程
的一根，
则此三角形的周长是
（
）
A. 16 B. 12 C. 14 D. 12
或
16
7.
如图，
已知
．
按照以下步骤作图：
①
以点
为圆心，
以适当的长为半径作弧，
分别交
的
两边于
，
两点，连接
．
②
分别以点
，
为圆心，以大于线段
的长为半径作弧，两弧
在
内交于点
，连接
，
．
③
连接
交
于点
．下列结论中错误的是（
）
A.
B.
C.
D.
四边形
8.
如图，
是
上一点，
交
于点
，
，
，若
，
，
则
的长是
(
)
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2
9.
如图，在等腰直角三角形
中，
＝
，一个三角尺的直角顶点与
边的中点
重合，
且两条直角边分别经过点
和点
，将三角尺绕点
按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两
直角边与
，
分别交于点
，
时，下列结论中错误的是（
）
A.
＋
B.
＋
C.
D.
四边形
10.
如图，在
中，
，
，
AD
是斜边
BC
上的中线，将
ACD
沿
AD
对
折，使点
C
落在点
F
处，线段
D F
与
AB
相交于点
E
，则
∠
BED
等于（
）
A. 120°
B. 108°
C. 72°
D. 36°
11.
如图，在
中，
＝
，分别以点
和点
为圆心，大于
的长为半径作弧，
两弧相交于
两点，作直线
交
于点
，交
于点
，连结
．若
＝
＝
，
则
的长为（
）
A.
B.
C.
D.
12.
如图，在直角三角形
中，
，
是
的中点，过点
作
和
的
垂线，垂足分别为点
和点
，四边形
沿着
方向匀速运动，点
与点
重合时停止运
动，设运动时间为
，运动过程中四边形
与
的重叠部分面积为
．则
关于
的函数
图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
13.
如图，
D
在
AC
边上，
：
＝
：
，
O
是
BD
的中点，
在
中，
连接
AO
并延长交
BC
于
E
，
则
：
＝
（
）
A. 1
：
2 B. 1
：
3 C. 1
：
4 D. 2
：
3
14.
如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点
、
、
、
、
、
、
在小正方形的
顶点上，则
的重心是（
）
A.
点
B.
点
C.
点
D.
点
15.
如图，正方形
ABCD的对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，点
E
在
BD
上由点
B
向点
D
运动（点
E
不与 点
B
重合）
，
连接
AE
，
将线段
AE绕点
A
逆时针旋转
90
得到线段
AF
，
连接< br>BF
交
AO
于点
G.
设
BE
的长为
x
，
OG
的长为
y
，下列图象中大致反映
y
与x
之间的函数关系的是（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
16.
若实数
、
满足
﹣
＝
，且
、
恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的
斜边长为
________.
17.
如图，在
Rt
ABC
的纸片中，
∠
C
＝
90°
，
AC
＝
5
，
AB
＝
13.
点
D
在边
BC
上，以
AD
为折痕将
ADB
折
叠得到
D ′
，
′
与边
BC
交于点
E.
若
DE ′
为直角三角形，则
BD
的长是
________.
18.
如图，在
ABC
中，
AC=BC
，将
ABC
绕点
A
逆时针旋转
60°
，得到
ADE.
若
AB=2
，
∠
ACB=30°
，则
线段
CD
的长度为
________.
19.
如图，在
ABC
中，
∠
C
＝90°
，
DE
是
AB
的垂直平分线，
AD
恰好 平分
∠
BAC.
若
DE
＝
1
，则
BC的长
是
________.
2-
2
2
20.
如图，在
ABC
中，若
∠
A=45°
，
AC
BC
=
AB
，
则
tanC=________
。
21.
如图，把三角形纸片 折叠，使点
A
、点
C
都与点
B
重合，折痕分别为
E F
，
DG
，得到
，
，若
，则
FG
的长为
________.
22.
如图，
和
都是等边三角形，且点
A
、
C
、
E
在同 一直线上，
与
、
分别交
于点
F
、
M
，
与
交于点
N
．
下列结论正确的是
________
（写出所有正确结论的序号）．
①
；
②
；
③
；
④
23.
如图，
，
在
中，
已知
，
点
D
为边
的中点，
连结
，
过点
A
作
于
点
E
，
将
沿直线
翻折到
的位置．若
，则
________
．
24.
如图 ，
D
是
AC
的中点，
ED
∥
BC
，
ED
交
AB
于点
E
，
BC
＝
7cm，
AC
＝
6cm
，
在
ABC
中，
且
BD
⊥
AC
，
则
AED
的周长等于
________cm.
25.
如图，
中，
，
，
将
绕点
C
逆时针旋转
得到
，
连接
BD
，
则
的值是
________
．
26.
如图，在等腰
中，
，
，点
在边
上，
，点
在
边
上，
，垂足为
，则
长为
________
．
27.
把两个同样大小含
角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角
尺的直角顶点重合于点
，
且另外三个锐角顶点
在同一直线上．
若
，
则
________
．
28.
如图，在
中，
，
，
为
的中点，
，则
的面积
是
________
．
29.
已知等腰三角形的底角是
，腰长为
，则它的周长是
________
．
30.
如图，
在
中，
,
∥
,
的平分线
交
于
,
= ________.
三、解答题
31.
如图，点
E
、
C
在线 段
BF
上，
BE=CF
，
AB=DE
，
AC=DF .
求证：
∠
ABC=
∠
DEF.
32.
如图，
，
，
．求证：
．
33.
如图，
AB
＝
AC
，
AB
⊥
AC
，
AD
⊥
AE
，且
∠
ABD
＝
∠
ACE.
求证：
BD
＝
CE.
34.
如图，点
，
在
上，
，
，
，求证：
.
35.
如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点
C
在直线
m
上，分别过点
A
、
B
作
AE
⊥
直线< br>m
于点
E
，
BD
⊥
直线
m
于点D
．
①
求证：
E
D
；
②
若设
AEC
三边分别为
a
、
B
、
c
，利用此图证明勾股定理．
36.
已知，
D
是
BC
边上一点，
∠
ACB
＝
90°< br>在
Rt
ABC
中，
，
连接
AD
，
分别以
CD
和
AD
为直角边作
Rt
CDE
和
Rt
ADF
，使
∠
DCE＝
∠
ADF
＝
90°
，点
E
，
F在
BC
下方，连接
EF.
（
1
）如图
1
，当
BC
＝
AC
，
CE
＝
CD
，
DF
＝
AD
时，
求证：
①∠
CAD
＝
∠
CDF
，
②
BD
＝
EF
；
（
2
）如图< br>2
，当
BC
＝
2AC
，
CE
＝
2C D
，
DF
＝
2AD
时，猜想
BD
和
EF< br>之间的数量关系？并说明理由
.
37.
如图，
ABC
是等腰直角三角形，
∠
AC B
＝
90°
，
D
是射线
CB
上一点（点
D
不与点
B
重合），以
AD
为斜边作等腰直角三角形
ADE< br>（点
E
和点
C
在
AB
的同侧），连接
CE.
（
1
）如图
①
，当点
D< br>与点
C
重合时，直接写出
CE
与
AB
的位置关系；< br>
（
2
）
如图
②
，
当点
D
与点
C不重合时，
（
1
）
的结论是否仍然成立？若成立，
请写出证明过 程；
若不成立，
请说明理由；
（
3
）当
∠
EAC
＝
15°
时，请直接写出
的值
.
3 8.
如图，是具有公共边
AB
的两个直角三角形，其中，
AC=BC
，
∠
ACB=
∠
ADB=90°
.
（
1
）如图
1
，若延长
DA
到点
E
，使
AE=BD
，连接
CD
，
CE.
①
求证：
CD=CE
，
CD
⊥
CE；
②
求证：
AD+BD=
CD
；
（
2
）若
ABC
与
ABD
位置如图
2
所示，请直接写出线 段
AD
，
BD
，
CD
的数量关系
.
39.
已知：在
ABC
外分别以
AB
，
AC
为边作
AEB
与
AFC.
（
1
）如图
1
，
AEB
与
< br>AFC
分别是以
AB
，
AC
为斜边的等腰直角三角形，连接< br>EF.
以
EF
为直角边构造
Rt
EFG
， 且
EF
＝
FG
，连接
BG
，
CG
，
EC.
求证：
①△
AEF
≌△
CGF；
②
四边形
BGCE
是平行四边形
.
（
2
）小明受到图
1
的启发做了进一步探究：
如图
2
，在
ABC
外分别以
AB
，
AC
为斜边作
Rt
AEB
与
Rt
AFC
，并使
∠
FAC< br>＝
∠
EAB
＝
30°
，取
BC
的
中 点
D
，连接
DE
，
EF
后发现，两者间存在一定的数量关系 且夹角度数一定，请你帮助小明求出
的值
及
∠
DEF
的度数
.
（
3
）小颖受到启发也做了探究：
如图
3
，在
ABC
外分别以
AB
，
AC
为底边作等腰三角形
AEB
和等腰三角形
AF C
，并使
∠
CAF+
∠
EAB
＝
90°
， 取
BC
的中点
D
，连接
DE
，
EF
后发现 ，当给定
∠
EAB
＝
α
时，两者间也存在一定的数量关系且夹
角度数一定，若
AE
＝
m
，
AB
＝
n
， 请你帮助小颖用含
m
，
n
的代数式直接写出
的值，并用含
α
的代数
式直接表示
∠
DEF
的度数
.
40.
如图
1
是实验室中的一种摆动装置，
BC
在地面上，支架
ABC
是底边为
BC
的等腰直角三角形，摆动臂
A D
可绕点
A
旋转，摆动臂
DM
可绕点
D
旋转，AD=30
，
DM=10.
（
1
）在旋转过程中，
①
当
A
，
D
，
M
三点在同一直线上时，求
AM的长。
②
当
A
，
D
，
M
三 点为同一直角三角形的顶点时，求
AM
的长。
如
（2
）
若摆动臂
AD
顺时针旋转
90°
，
点D
的位置由
ABC
外的点
D
1
转到其内的点
D
2
处，
连结
D
1
D
2
，
图
2.
此时
∠
AD
2
C=1 35°
，
CD
2
=60
，求
BD
2
的长< br>.
41.
在
Rt
ABC
中，
∠
ACB
＝
90°
，
D
是
ABC
内一点，连接
AD
，
BD.
在
B D
左侧作
Rt
BDE
，使
∠
BDE
＝< br>90°
，以
AD
和
DE
为邻边作
▱
ADEF
，连接
CD
，
DF.
（
1
）若
AC
＝
BC
，
BD
＝
DE. ①
如图
1
，当
B
，
D
，
F
三 点共线时，
CD
与
DF
之间的数量关系为
________.
②
如图
2
，当
B
，
D
，
F
三点不共线时，
①
中的结论是否仍然成立？请说 明理由
.________
（
2
）若
BC
＝
2A C
，
BD
＝
2DE
，
，且
E
，
C
，
F
三点共线，求
的值
.
42.
如图
1
，
AD
、
BD
分别是
A BC
的内角
∠
BAC
、
∠
ABC
的平分线，过点< br>A
作
AE
上
AD
，交
BD
的延长
线 于点
E.
（
1
）求证：
∠
E
＝
∠
C
；
（
2
）如图
2
，如果
AE
＝
AB
，且
BD：
DE
＝
2
：
3
，求
cos
∠
ABC
的值；
（
3
）如果
∠
ABC
是锐角，且
ABC
与
ADE
相似，求
∠
ABC
的度数，并直接写出
43.
如图
①
，在
中，
，
，
D
是
BC
的中点
.
的值
.
小明对图
①
进行了如下探究：
在线段
AD
上任取一点
P
，
连接
PB.
将线段
PB绕点
P
按逆时针方向旋转
，
点
B
的对应点是点
E
，连接
BE
，得到
.
小明发现，随着点
P
在线段
AD上位置的变化，点
E
的位
置也在变化，点
E
可能在直线
AD
的左侧，也可能在直线
AD
上，还可能在直线
AD
的右侧
.
请你帮助小明
继续探究，并解答下列问题：
（
1
）当 点
E
在直线
AD
上时，如图
②
所示
.
①
________
；
②
连接
CE
，直线
CE
与直线
AB
的位置 关系是
________.
（
2
）请在图
③
中画出
，使点
E
在直线
AD
的右侧，连接
CE.
试判断直线< br>CE
与直线
AB
的位置关
系，并说明理由
.
（
3
）当点
P
在线段
AD
上运动时，求
AE
的最小值
.
44.
如图
1
，
＝
＝
＝
，
在
中，
点
分别是边
的中点，
连接
．
将
绕点
逆时针方向旋转，记旋转角为
．
（
1
）问题发现
当
时，
________
；
当
时，
________
．
（
2
）拓展探究
试判断：当
时，
的大小有无变化？请仅就图
2
的情形给出证明．
（
3
）问题解决
绕点
逆时针旋转至
三点在同一条直线上时，求线段
的长．
45.
在等腰三角形
中，
，作
交
AB
于点
M
，
交
AC
于点
N
．
（
1
）在图
1
中，求证：
；
（2
）在图
2
中的线段
CB
上取一动点
P
，
过
P
作
交
CM
于点
E
，
作
交
BN
于点
F
，
求证：
；
（
3
）在图
3
中动点
P
在线段
CB
的延长线上，类似（
2
）过
P
作
交
CM
的延长线于点
E
，
作
交
NB
的延长线于点
F
，
求证：
．
详细解析答案
一、选择题
1.
①
4
是腰长时，三角形的三边分别为4
、
4
、
2
，
能组成三角形，
所以，第三边为
4
；
②
4
是底边时，三角形的三边分别为
2
、
2
、
4
，
，
不能组成三角形，
综上所述，第三边为
4.
故答案为：
.
2.
解：由作法得
，
∵
，
∴
平分
，
，
∵
，
∴
.
故答案为：
C.
3.
解：
∵
三角形三边长分别为：
a
，
3
，
5
，
∴
a
的取值范围为：
2
＜
a
＜
8
，
∴
a
的所有可能取值为：
3
，
4< br>，
5
，
6
，
7.
故答案为：
C.
4.
解：
∵
OC=CD=DE
，
∴∠
O=
∠
ODC
，
∠
DCE=
∠
DEC，
设
∠
O=
∠
ODC=x
，
∴∠
DCE=
∠
DEC=2x
，
-
∠< br>DCE-
∠
DEC=180°
-4x
，
∴∠
CDE=180°
∵∠
BDE=75°
，
∴ ∠
ODC+
∠
CDE+
∠
BDE=180°
，
-4x+75°
=180°
即
x+180°
，
解得：
x=25°
，
-4x=80°
.
∠
CDE=180°
故答案为：
D.
5.
解：
，
，
，
，
，
，
。
故答案为：
C
。
6.
解方程
，得：
或
，
若 腰长为
3
，则三角形的三边为
3
、
3
、
6
，显然不能构成三角形；
若腰长为
5
，则三角形三边长为
5
、
5
、
6
，此时三角形的周长为
16
，
故答案为：
A
．
7.
由作图步骤可得：
是
的角平分线，
∴∠
COE=
∠
DOE
，
∵
OC=OD
，
OE=OE
，
OM=OM
，
∴△
COE
≌△
DOE
，
∴∠
CEO=
∠
DEO
，
∵∠
COE=
∠
DOE
，
OC=OD
，
∴
CM=DM
，
OM
⊥
CD
，
∴
S
四边形
OCED
=S
COE
+S
DOE
=
，
但不能得出
，
故答案为：
C
．
8.
∵
，
∴
，
，
在
和
中
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
.
故答案为：
B
．
9.
连接
AO
，如图所示．
∵△
ABC
为等腰直角三角形，点
O
为
BC
的中点，
∴
OA=OC
，
∠
AOC=90 °
，
∠
BAO=
∠
ACO=45°
．
∵ ∠
EOA+
∠
AOF=
∠
EOF=90°
，
∠AOF+
∠
FOC=
∠
AOC=90°
，
∴∠
EOA=
∠
FOC
．
在
EOA
和
FOC
中，
＝
＝
＝
∴△
EOA
≌△
FOC
（
ASA
），
∴
EA=FC
，
∴
AE+AF=AF+FC=AC
，选项
A
符合题意；
< br>-
∠
EOF=90°
∵∠
B+
∠
BEO+
∠
EOB=
∠
FOC+
∠
C+
∠
OFC=180°< br>，
∠
B+
∠
C=90°
，
∠
EOB+
∠
FOC=180°
，
∴∠
BEO+
∠
OFC =180°
，选项
B
符合题意；
∵△
EOA
≌△
FOC
，
∴
S
EOA
=S
FOC
，
∴
S
四边形
AEOF
=S
EOA
+S
AOF
=S
FOC
+S
AOF
=S
AOC
=
S
ABC
，
选项
D
符合题意．
故答案为：
C
．
10.
∵
在
中，
，
，
∴
．
∵
AD
是斜边
BC
上的中线，
∴
D
D
D
，
∴
D
，
D
，
∴
D
D
．
∵
将
ACD
沿
AD
对折， 使点
C
落在点
F
处，
∴
D
D
，
∴
ED
D
D
．
故答案为：
B
．
11.
解：由作法得
垂直平分
，
＝
，
＝
＝
，
，
＝
，
，
＝
，
为斜边
上的中线，
＝
＝
，
＝
＝
．
故答案为：
．
12.
解：
∵
在直角三角形
中，
，
∴
是等腰直角三角形，
∵
，
∴
四边形
是矩形，
∵
是
的中点，
∴
，
∴
，
∴
四边形
是正方形，
设正方形的边长为
，
如图
1
当移动的距离
时，
正方形的面积
EE
的面积
；
当移动的距离
时，如图
2
，
，
∴
关于
的函数图象大致为
C
选项，
故答案为：
C
．
13.
解：如图，过
O
作
，交
AC
于
G
，
∵
O
是
BD
的中点，
∴
G
是
DC
的中点．
又
：
＝
：
，
＝
＝
，
：
＝
：
，
：
＝
：
，
：
＝
设
＝
，
＝
，又
＝
，
＝
，
＝
，
：
＝
：
，
＝
＝
，
＝
，
＝
，
故答案为：
B
．
四边形
＝
，
14.
解：根据题意可知，直线
经过
的
边上的中点，直线
经过
的
边上的
中点，
∴
点
是
重心．
故答案为：
A
．
15.
解：连接
FD
，
∵∠
BAE+
∠
EAD
＝
90°
，
∠
FAD+
∠
EAD
＝
90°
，
∴∠
BAE
＝
∠
FAD.
又
BA
＝DA
，
EA
＝
FA
，
∴△
BAE
≌△
DAF
（
SAS
）
. < br>∴∠
ADF
＝
∠
ABE
＝
45°
，
FD
＝
BE.
+45°
.
∴∠
FDO
＝
45°
＝
90°
∵
GO
⊥
BD
，
FD< br>⊥
BD
，
∴
GO
∥
FD.
∵
O
为
BD
中点，
∴
GO
为
BDF
的中位线
.
∴
＝
.
∴
＝
，且
x
＞
0
，是在第一象限的一次函数图象
.
故答案为：
A.
二、填空题
16.
解：
﹣
＝
，
∴
﹣
，
，
＝
，
＝
，
①
当
、
是直角边时，
则该直角三角形的斜边
，
②
当
＝
是斜边时，则斜边为
，
故答案为
或
.
17
解：在
Rt
ABC
中，
＝
＝
＝
，
（
1
）当
∠
ED ′
＝
90°
时，如图
1
，
过点
′
作
′
⊥
AC
，交
AC
的延长线于点
F
，
由折叠得：
AB
＝
′
＝
13
，
BD
＝
′D
＝
CF
，
设
BD
＝
x
，则
′D
＝
CF
＝
x
，
′
＝
CD
＝
12
﹣
x
，
在
Rt
′
中，由勾股定理得：
（
）
（
﹣
）
＝
，
2
即：
x
﹣
7x
＝
0
，解得：
x
1
＝
0
（舍去），
x
2
＝
7
，
因此，
BD
＝
7.
（
2
）当
∠
DE ′
＝
90°
时，如图
2
，
此时点
E
与点
C
重合，
由折叠得：
AB
＝
′
＝
13
，则
′
＝
13
﹣
5
＝
8
，
设
BD
＝
x
，则
′D
＝
x
，< br>CD
＝
12
﹣
x
，
在
中，由勾股定理得：
（
﹣
）
＝
，解得：
＝
，
因此
＝
.
故答案为：
7
或
.
18.
解：连接
CE
，如图，
∵△
ABC
绕点
A
逆时针旋转
60°
，得到
ADE
，
∴
AD=AB=2
，
AE=AC
，
∠
CAE=60°
，
∠
AED=
∠
ACB=3 0°
，
∴△
ACE
为等边三角形，
∴∠
AEC=60°
，
∴
DE
平分
∠
AEC
，
∴
DE
垂直平分
AC
，
∴
DC=DA=2.
故答案为：
2.
19.
解：
∵
AD
平分
∠
BAC
，且
DE
⊥
AB< br>，
∠
C
＝
90°
，
∴
CD
＝
DE
＝
1
，
∵
DE
是
AB
的垂直平分线，
∴
AD
＝
BD
，
∴∠
B
＝
∠
DAB
，
∵∠
DAB
＝
∠
CAD
，
∴∠
CAD
＝
∠
DAB
＝
∠
B
，
∵∠
C
＝
90°
，
∴∠
CAD+
∠
DAB+
∠
B
＝
90°
，
∴∠
B
＝
30°
，
∴
BD
＝
2DE
＝
2
，
∴BC
＝
BD+CD
＝
1+2
＝
3
，
故答案为：
3.
20.
过点
B
作
BD
⊥
AC
于点
D
，
∴∠
ADB=90°
∵∠
A=45°
，
∴
sin45°
=
∴
AB
2
=2BD
2
，
BD=AD
∴
BC
2
=BD
2
+CD
2
∵
∴
（
）
∴
整理得：
，
在
Rt
BDC
中，
故答案为：
21.
解：
∵
把三角形纸片折叠，使点
A、点
C
都与点
B
重合，
∴
，
，
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：
.
22.
：
①∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
即
，
在
和
中，
E
D
，
E
D
∴
，
∴
，
，
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，即
；
②∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，找不出全等的条件；
③∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
④∵
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
D
D
D
D
，
∵
，
，
∴
E
E
，