张益唐：天才的证明
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2021年01月31日 04:18
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张益唐：天才的证明
原作
: Alec Wilkinson
编译：潘颖
陈晓雪
接受《纽约客》专访时，张益唐
59
岁。仅仅两年前，他不
过是个美国非一流大学的普通讲师，只发表过两篇论文，没
有研究经费，曾有近十年的时间找不 到学术职位，“流浪”美
国各州，不时借住朋友家安身。
2013
年
5
月，他因出色地证明了一个关于素数分布的“里程
碑式的定理”而蜚声全球。
英国 著名数学家哈代说，
数学比起
其他技艺和科学来，更像是“年轻人的游戏”，没有哪一个重大成就是
50
岁之后提出来的。然而张益唐用天才般的工作
证明：年龄、职位、论 文统统不是登顶的“标配”。
2
月
2
日，
《纽约客》杂志 正式刊发特约撰稿人亚历克·威尔
金森（
Alec Wilkinson
）专访张益唐 的长文。
《赛先生》求教
一流数论专家，补正部分内容，力求准确编译，以飨国内读
者 。
华人数学家张益唐。
Peter Bohler/
图
张益唐证明了什么
张益唐所做的工作通常被称作“素数间的有界距离”，是“孪生< br>素数”猜想证明的弱形式。
所谓“素数”，
又称“质数”，
是指只能 被
1
和它本身整除的数字，
例如：
2
、
3
、
5
、
7
等等。但随着数字增大，素数在数轴上
的分布越来越稀疏。想像一条 数轴，普通数字是绿色的，素
数是红色的。轴线开始时有许多红色的数字：
2
、
3
、
5
、
7
、
11
、
13
、< br>17
、
19
、
23
、
29
、
31< br>、
41
、
43
和
47
，它们都是
小于
50
的素数。在
1-100
之间有
25
个素数，
1
到
1000
之
间有
168
个素数，
1
到
100
万之间有
78498
个素数。
素数越
来越大时，它们变得越来 越稀少，素数与素数间的平均距离
越来越大。那么，相邻两个素数之间的距离是否是有限的呢？
特别是当数字趋于无穷大时，一个数字的位数之多需要一本
书的厚度才能写下，此时是否还能找到相邻的 两个素数呢？
没有一个方程式可以预言素数的分布特征——它们看起来
非常随机。< br>欧几里得在公元前
300
年证明存在无穷多个素数，
但并没有证明两个素数之间 的距离可能是多远。他曾大胆猜
想：存在无穷多对之差为
2
的素数。由于人们把这种素 数对
称为“孪生素数”，如（
3,5
）
，
（
11,13）
，因此这一猜想被称作
“孪生素数猜想”。
1849
年，法 国数学家阿尔方·波利尼亚克提出了更一般的猜
想（即“波利尼亚克猜想”）
：对所有正整数< br>k
，存在无穷多个
素数对（
p
，
p+2k
）
。
k=1
时就是孪生素数猜想，而
k
等于其
他正整数时就称为弱孪生 素数猜想。
1900
年，德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎举行的第
2届国
际数学家大会上发表题为《数学问题》的著名讲演。他根据
过去特别是
19< br>世纪数学的研究成果和发展趋势，提出了
23
个最重要的数学问题（通称“希尔伯特问题 ”）
；孪生素数猜想
是希尔伯特问题的第
8
个的一部分（和“孪生素数猜想” 一起
被提出的，是著名的“哥德巴赫猜想”和“黎曼猜想”）
。
张益唐的论 文《素数间的有界距离》就是“孪生素数猜想”的
弱化版，他证明了在数字趋于无穷大的过程中，存在无 穷多
个之差小于
7000
万的素数对。
此前最接近证明孪生素数猜 想的一次努力，是圣何塞州立大
学的教授丹尼尔·戈德斯通
（
Daniel Goldston
）
、
布达佩斯
阿
尔弗雷德·莱利
（Alfréd Rényi）
数学研究所研究员平兹
（János
Pintz
）
和伊斯坦布尔海峡大学的伊尔迪里姆
（
Cem Yil dirim
）
教授于
2005
年共同开展的一项工作。不过，一直到
2011
年，关于孪生素数猜想的研究仍没有取得任何进展。
Goldston
认为， 他在有生之年可能都看不到答案，“我曾以
为解开这个难题是不可能的了。”
尽管张 益唐得到的
7000
万这个结果看起来与
2
还有很大差
距，但国际数 学界公认这是一项伟大的成就。英国《自然》
杂志称张益唐的工作为一个“重要的里程碑”。美国数学家 丹
尼尔·戈德斯坦说：“从
7000
万到
2
的距离相比从无穷大到< br>7000
万的距离来说是微不足道的。”他认为，每缩小一段范
围，都是在获得终极答案 （
k=1
）道路上的一个脚印。
“你必须想像这完全是从无到有，”麻省大 学波士顿分校的数
学系主任埃里克·格林贝格（
Eric Grinberg
）说。“ 我们确实
不知道。这就像我们以为宇宙无限大，没有界限，却发现它
在某个地方存在终点。”想象有一把度量绿色与红色数字的尺
子。张益唐选择了一把长度为
7000
万的 尺子，因为这么大
的数字更容易证明他的猜想。
（如果他已能证明孪生素数猜
想，这把尺子的长度就是
2
。
）
我们可以拿这把尺子沿数轴移
动，无 数次地将两个素数圈起来。但圈住无穷多个数不一定
就是圈住了所有的数，因为有一些情况，比如有无穷 多个数
是偶数，但还有无穷多个数是奇数。同样道理，这把尺子也
能沿着数轴移动无数次时，但 圈不到两个素数。
从张益唐的结果来看，他的推导是成立的，存在无穷多个之
差小于
7000
万的素数对。接受《纽约客》采访的一位数学
家解释说，这是根据鸽巢原理推 出的。假设有
7000
万个鸽
巢和无穷多只鸽子，每只鸽子代表一个素数对。把之差为
2
的素数对（鸽子）放进一个鸽巢，之差为
3
的放进另一个鸽
巢，以 此类推，把所有间隔不同的素数对（鸽子）都放进一
个鸽巢。最后，会有放了无穷多只鸽子的鸽巢，但无 法知道
具体是哪一个鸽巢有无穷多只鸽子，不过至少有一个鸽巢里
有无穷多只鸽子。
引来全球数学家开展竞赛
发现存在无穷多个素数对的那个最大的素数间隔后，张益唐
对找到间隔的最小数并不感兴趣。他觉得这种工作纯粹只是
个技术活，一种体力劳动——一位杰 出的数学家把这种行为
叫做“追赶救护车”。
不过，张益唐研究成果面世不到一周， 就引来全世界数学家
的围观，
他们竞相刷新这个最小距离数。
围观者当中就有
31
岁即获得“菲尔茨”奖（数学界的最高荣誉）的著名数学家陶
哲轩（
Terenc e Tao
，生于澳大利亚的华人家庭）
，他现在是
加州大学洛杉矶分校的教授。他希 望建立一个合作项目，让
数学家一起工作去寻找更小的数字，而不是“抢夺领先的位
置”。
他建立的这个项目名为
Polymath-8
（博学者
8
号难 题）
，于
2013
年
6
月正式启动，持续了大约一年时间。凭借英国 一
位年轻数学家
James Maynard
的贡献，项目参与者逐渐将
无穷 多个素数的差缩减到
246
。
但“数字减小的同时也发现一
些问题，”陶哲轩 说，“需要越来越多的计算机资源——有人
为了做一个计算要让一台高性能的计算机运行两周。此外也< br>有些理论上的问题。
用现在的方法，
我们不可能得到比
6
（即
k=3
）更好的数字。因为存在奇偶校正问题，没有人知道如
何绕过这个槛。”
陶哲 轩说：“我们并没有强烈地认为，我们
可以把数值减小到
2
，从而证出孪生素数猜想， 但这是段有
趣的旅程。”
张益唐对数学最重要的贡献
张益唐的方 法，本质上是筛法，而筛法的一大问题，是所谓
的“奇偶性问题”。有学者撰文介绍称，简单来说，如果 一个
集合中所有数都只有奇数个素因子，那么用传统的筛法无法
有效估计这个集合至少有多少元 素。而素数组成的集合，恰
好属于这种类型。要想打破奇偶性问题的诅咒，可以将合适
的新手段 引入传统筛法，藉此补上筛法的缺陷。张益唐的出
发点——之前提到的
Goldston
、
Pintz
和
Yildirim
的结果——
正是这种新思路的成 果。
当张益唐在办公室被问到当时是如何找到解开问题的钥匙
的。他在白色黑板上写 下：“Goldst
on-Pintz-
Yildirim”和
“Bombieri< br>-Friedlander-
Iwaniec”。他说：“第一篇论文是关于
有界距离的 ，第二篇是关于在等差数列中的素数分布的。我
把这两篇论文做了比较，加上我自己的创新，这些创新是 基
于我在图书馆多年阅读而来的。”
普林斯顿高等研究院（
IAS
）教授、
2014
年沃尔夫奖得主彼
得·萨纳克（
Peter Sarnak
）在谈到张益唐是如何取得现在的
结果时说：“他所做的事看起来都遥不可及。这个问题在40
年前或许毫无希望，但
2005
年，
Goldston- Pintz-Yildirim
三
人的工作使这个问题有了解决的曙光，让每个人都觉得已经< br>非常接近结果了。
但直到
2011
年，
都还没人取得任何进展。
Bombieri
、
Friedlander
与
Iwaniec
（ 伊万尼克，解析数论大
师）做了其他方面的重要研究，但似乎无法将他们的成果与
此前
Goldston
的研究联系起来。因为他们的研究不够灵活
——带有某些附加条件。然后张益 唐出现了。很多人像使用
电脑那样使用定理。
他们认为，
如果定理是正确的，
那很好，
我就可以用它。但是你不能使用
Bombieri-Friedlander-Iwa niec
的工作，
因为它不够灵活。
你
得相信我的话，因为即便对一个认真的 数学家来说，这也很
难解释。张益唐对技巧理解得足够深刻，所以他才能够修正
Bombier i-Friedlander-Iwaniec
的工作，
跨越这个门槛。
这是
他对数学最重要的贡献。
他将
Bombieri-Friedlander-Iwaniec< br>对素数分布的分析技术改进成研究任何种类的素数的工具。
始于
18
世纪的理论 因他而得到了进一步发展。”
“我们的条件需要放宽，”Iwaniec
说，“我们 尝试过，但是我
们无法去掉这些条件。我们尝试的时间不长，因为失败后你
就开始思考是不是存 在一些天然的屏障，
所以我们放弃了。
”
当他被问到对张益唐的结果是否感 到意外时，
Iwaniec
说：
“张
益唐的工作很轰动”，“他的工作是绝无 仅有的。谈起数论，
有大量的美是（钟表般）精密的。某种程度上，张益唐对解
决问题的形势完 全心知肚明，即便他独自一人工作，这是他
惊喜的原因，随后他就令人惊讶地改进了那些论文中的参数。”
张益唐利用的筛法是一种非常复杂的寻找素数的形式。筛法
是阿基米德时 代的希腊数学家埃拉托色尼
(Eratosthenes)
发
明的。其方法是，比如要 找出
1000
以内的素数，就要写下
所有的数字，然后划掉
2
的倍数 ，再划掉
3
的倍数，
5
的倍
数，以此类推，最后剩下素数。在“埃氏 筛法”后，有一些数
学家陆陆续续做过一些改进。
而张益唐使用的筛法不同于别人用 过的筛法。随着素数间隔
的增大，先前的筛法网出的素数对的间隙越来越大，因为他
们用来估计 的不等式参数不精确。
Goldston-Pintz-Yildirim
三
人用先前 的筛法已经证明，存在无穷多个素数对，它们之间
的距离总是小于连续素数的平均距离，但不能确定这个 距离
是多少。张益唐部分成功地精细化了筛法的选择性。
部分孪生素数。
灵感来临的刹那
张益唐曾经在素数的有界距离问题上埋头苦干了三两年而
一 无所获。
他说那时看不到任何希望。“我一直在想，
解决问
题的大门在哪。”张益唐说 ：“历史上许多数学家相信这个问
题是能解决的，
但他们都没找到门路。
我尝试过几种 办法后，
开始有点担心这个问题没有解决的办法。”
“你那时沮丧吗？”
“我觉得很疲倦。”他说：“但很多时候我很平静。我喜欢散步
时思考，这就是我的工作办法。 我妻子来看我时会问我在做
什么，我回答她说，我的工作就是思考（I’m working，I’m
thinking
）
。”
然而转机出现了。
2012年
7
月
3
日下午，灵感突然而至，
只有
5-10
分钟的时间，解决问题的大门向他敞开了。
彼时，张益唐正在科罗拉多州普韦布洛的朋友指挥家齐光
（
Jacob Chi
，
华人指挥家）
家中做客。
齐光是科罗拉多州立
大学普韦布洛分校的音乐教 授。几个月之前，齐光请张益唐
来家兑现他早前承诺教齐光儿子朱利尔斯（
Julius
）微积分
的承诺，因为
Julius
那时正要升入高中。就这样，张益唐在
齐光家中住了一个月。每天早上，他教
Julius
大约一小时数
学。“他没有固定的 教程，”Julius
说，“所有东西都在他脑子
里。
他甚至连电话号码本都没有，< br>所有人的电话他都记得。”
张益唐来科罗拉多前在数学上一筹莫展，本打算休息一下，
所以没带任何书本。
7
月
3
日那天，他在齐光家的后院里转
悠。
“我们住在山里，
有时候会有梅花鹿来我的院子，
他当时
抽着烟等着看是 否会有鹿来”齐光说。“那天没等来鹿，我就
像往常一样边走边想事。
”张益唐说，
他 就这么漫无目的地走，
大约转悠了半个小时。
数学家雅克·阿达玛（
Jacques Hadamard
）在
1945年出版
的著作《数学领域的发明心理学》里引用另一位数学家的话
说：
“通常当我 独处的时候，
我会发现自己进入了另一个世界。
有关数的灵感似乎萌发了出来。一瞬间，各种问 题的答案都
出现在眼前。
”在齐光家的后院，
张益唐经历的正是与此相仿
的一 番体验。
“我明白了数字、
方程一类的东西，
虽然很难说清到底是什么。< br>”
张益唐说，
“有时候感觉非常奇特。
可能是数字、
可能是方程，也可能是幻觉。我知道还有很多细节有待填补，但我应该做
出证明。想到这，我就回屋了。”
张益唐没和齐光谈起他的意外发现。那天晚上，齐光指挥了
为纪念美国独立日
7< br>月
4
日举行的美国音乐会的彩排演出，
张益唐和他一起去了。
“音乐会 结束后，
张益唐情不自禁地不
断哼唱美国国歌《星条旗永不落》
。”齐光说：“他全部 想说的
就是：‘这曲子太好了！’”
被震惊的《数学年刊》
20 12
年底，距在齐光家后院里得到重要灵感后大约半年，
张益唐完成了论文《素数间的有界距离 》
（“Bounded Gaps
Between Primes”）
，并开展了几 个月“枯燥”的系统性检查。
2013
年
4
月
17
日，没有 告诉任何人，张益唐将论文投给世
界数学界最负声誉的
《数学年刊》
（
Ann als of Mathematics
）
。
在此之前，张益唐唯一发表过的论文就是
2001
年在《杜克
数学学报》上发表的关于黎曼猜想的论文，和一篇
198 5
年
在中国读书期间发在国内《数学学报》上的文章，而其关于
“雅可比猜想”的博士 论文则由于涉及的引理不能确认正确而
没有发表。
《数学年刊》保留有很多未发表的 论文，它们都声称解决了
人们能够想到的每一个数学难题，以及并不存在的问题。其
中一些作者 “知道很多数学知识，然后变得癫狂了。”一位数
学家说，这些人常常声称，其他人解决数学难题的努力 都是