七年级数学培优专题1(含答案)
巡山小妖精
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2021年01月31日 11:28
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我敬佩的一个人作文400-如何提高托福写作
专题
01
阅读与思考
质数那些事
一个大于
1
的自然数如果只能被
1
和本身整除，
就叫作质数
(
也叫素数
)
；
如果能被
1
和本身以外 的
自然数整除，就叫作合数；自然数
1
既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样， 我们可以按约数个
数将正整数分为三类：
单位
1
正整数
质数
合数
关于质数、合数有下列重要性质：
1
． 质数有无穷多个，最小的质数是
2
，但不存在最大的质数，最小的合数是
4
．
2
．
1
既不是质数，也不是合数；
2
是唯一的偶 质数．
3
．若质数
p
|
ab
，则必有
p
|
a
或
p
|
b
．
4
． 算术基本定理：任意一个大于
1
的整数
N
能唯一地分解成
k
个质因数的乘积
(
不考虑质因数之间
的顺序关系
)
：
k
1
2
N=
P
1
P
2
L
P
k
，其中
P
1
P
2
L< br>
P
k
，
P
i
为质数，
a
i
为非负数
(
i
=1
，
2
，
3
，…，k
)
．
a
a
a
1
正整数
N
的正约数的个数为
(1
＋
a
1
)(1
＋
a
1
)
…
(1
＋
a
1
)
，
所有正约数的和为
(1
＋
P
1
＋…＋
P
1
)(1
＋
P
2
a
＋…＋
P
2
2
)
…
(1
＋
P
k
＋…＋
P
k
k)
．
a
a
例题与求解
【例1
】
已知三个质数
a
，
b
，
c
满足< br>a
＋
b
＋
c
＋
abc
=99
，那么
a
b
b
c
c
a
的值等于
_________________
．
(
江苏省竞赛试题
)
解题思想：
运用质数性质，结合奇偶性分析， 推出
a
，
b
，
c
的值．
【例
2
】
若
p
为质数，
p
＋< br>5
仍为质数，则
p
＋
7
为
(
)
A
．质数
C
．合数
B
．可为质数，也可为合数
D
．既不是质数，也不是合数
3
5
(
湖北省黄冈市竞赛试题
)
解题思想：
从简单情形入手，实验、归纳与猜想．
【例
3
】
求这样的质数，当它加上
10
和
14
时，仍为质数．
(
上海市竞赛试题
)
解题思想 ：
由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是
否唯一 ，按剩余类加以深入讨论．
【例
4
】
⑴
将
1
，
2
，
…，
2 004
这
2 004
个数随意排成一行，
得到一个数
n
，
求证：
n
一定是合数．
⑵
若
n
是大于
2
的正整数，求证：
2< br>n
－
1
与
2
n
＋
1
中至多有一个质 数．
⑶
求
360
的所有正约数的倒数和．
(
江苏省竞赛试题
)
解题思想：
⑴将
1
到
2 004
随意排成一行，由于中间的 数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎
样排，
所得数都有非
1
和本身的约 数；⑵只需说明
2
n
－
1
与
2
n
＋
1
中必有一个是合数，不能同为质数即
可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．
【例
5
】
设x
和
y
是正整数，
x
≠
y
，
p
是奇质数，并且
1
1
2
，求
x
＋< br>y
的值．
x
y
p
解题思想：
由题意变形得 出
p
整除
x
或
y
，不妨设
x
t p
．由质数的定义得到
2
t
－
1=1
或
2
t
－
1=
p
．由
x
≠
y
及
2t
－
1
为质数即可得出结论．
【例
6
】
若一个质数的各位数码经任意排列 后仍然是质数，
则称它是一个
“绝对质数”
[
如
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13(31)，
17(71)
，
37(73)
，
79(97)
，113(131
，
311)
，
199(919
，
991 )
，
337(373
，
733)
，
…都是质数
]< br>．
求
证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码
1
，
3
，
7
，
9
．
(
青少年国际城市邀请赛试题
)
解题思想：
一个绝对质数如果同时含有数字
1
，
3
，
7
，
9< br>，则在这个质数的十进制表示中，不可能含
有数字
0
，
2
，< br>4
，
5
，
6
，
8
，否则，进行适当排列后， 这个数能被
2
或
5
整除．
能力训练
A
级
1
．若
a< br>，
b
，
c
，
d
为整数，
a
2
b
2
c
2
d
2
=1997
，则
a
2
b
2
c
2
d
2
=________
．
2
．在
1
，
2
，
3
，…，n
这个
n
自然数中，已知共有
p
个质数，
q
个 合数，
k
个奇数，
m
个偶数，
则
(
q
－< br>m
)
＋
(
p
－
k
)=__________
．
3
．设
a
，
b
为自然数，满足
1176
a
=
b
，则
a
的最小值为
______ ____
．
(
“希望杯”邀请赛试题
)
4
． 已知
p
是质数，并且
p
＋
3
也是质数，则
p
－
48
的值为
____________
．
(
北京市竞赛试题
)
5
．任意调换
12345
各 数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是
(
A
．
4
B
．
8
C
．
12
D
．
0
6
．在
2 005
，
2 007
，
2 009
这三个数中，质数有
(
)
A
．
0
个
B
．
1
个
C
．
2
个
D
．
3
个
)
6
11
3
(
“希望杯”邀请赛试题
)
7
．一个两位数 的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大
9
，这样的两位中，质数
有
(
)
A
．
1
个
B
．
3
个
C
．
5
个
D
．
6
个
(
“希望杯”邀请赛试题
)
8
．设
p
，
q
，
r
都是质数，并且
p
＋
q
=
r
，
p
<
q
．求p
．
9
．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．
(
上海市竞赛试题
)
10
．在黑板上写出下面的数
2
，
3
，
4
，…，
1
994
，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，
如此轮流下去，
若最后剩下的两个数互质，
则甲胜；
若最后剩下的两个数不互质，< br>则乙胜，
你如果想胜，
应当选甲还是选乙？说明理由．
(
五城市联赛试题
)
11
．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为
x
cm
规格的地砖，恰用
n
块，若
n
都是正整数，
选用边长 为
y
cm
规格的地砖，
则要比前一种刚好多用
124
块，< br>已知
x
，
y
，
且
(
x
，
y
)=1
，
试问这块地有多少平方米？
(
湖北省荆州市竞赛试题
)
B
级
1
．若质数
m
，
n
满足
5
m
＋< br>7
n
=129
，则
m
＋
n
的值为
_ _________
．
p
p
q
q
2< br>．已知
p
，
q
均为质数，并且存在两个正整数
m
，< br>n
，使得
p
=
m
＋
n
，
q
=
m
×
n
，则
n
m
n
m
的值为
__________
．
3
．自然数
a
，
b
，
c
，
d
，
e
都大于
1，其乘积
abcde
=2
000
，则其和
a
＋
b
＋
c
＋
d
＋
e
的最大
值为
_ _________
，最小值为
____________
．
(
“五羊杯”竞赛试题
)
4
．机器人对自然数从
1
开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染
成红色，不合上述要求的自然 数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第
1
992
个数是
_______________
．
(
北京市“迎春杯”竞赛试题
)
5
．若
a
，
b
均为质数，且满足
a
＋
b
=2 089
，则
49
b
－
a
=________ _
．
A
．
0
B
．
2 007
C
．
2 008
D
．
2 010
11
(
“五羊杯”竞赛试题
) < br>6
．设
a
为质数，并且
7
a
＋
8
和
8
a
＋
7
也都为质数，记
x
=77
a＋
8
，
y
=88
a
＋
7
，则在以下情 形
中，必定成立的是
(
)
A
．
x
，
y
都是质数
C
．
x
，
y
一个是质数，一个是合数
B
．
x
，
y
都是合数
D
．对不同的
a
，以上皆可能出现
2
2
(
江西省竞赛试题
)
7
．设
a
，
b
，
c
，
d
是自然数，并且< br>a
b
c
d
，求证：
a
＋
b
＋
c
＋
d
一定是合数．
(
北京市竞赛试题
)
8
．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：
⑴
6
个数中任意两个都互质；
⑵
6
个数任取2
个，
3
个，
4
个，
5
个，
6
个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．
9
．已知正整数
p
，
q
都是质数，并且
7
p
＋
q
与
pq
＋
11
也都是质数，试求
p
q
的值．
(
湖北省荆州市竞赛试题
)
10. 41
名运动员所穿 运动衣号码是
1
，
2
，…，
40
，
41
这
41
个自然数，问：
(l)
能否使这
41
名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
(2)
能否让这
41
名运 动员站成一圈，
使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，
q
p
2
2
2
2
请举出一例；若不能办到，请说明理由．
专题
01
质数那些事
例
1
34
例
2
C
例
3
3
符合要求
< br>提示：当
p
=3
k
＋
1
时，
p
＋< br>10=3
k
＋
11
，
p
＋
14=3(
k
＋
5)
，显然
p
＋
14
是合数，当
p
=3
k
＋
2
时，
p
＋
10=3(
k
＋
4)
是合数，当
p
=3
k
时，只有
k
=1
才符合题意．
例
4
（
1
）
因
1
＋
2
＋…＋
2004=
1
×
200 4
×
（
1
＋
2004
）
=1002
×2005
为
3
的倍数，
故无论怎样交换这
2004
2< br>个数的顺序，所得数都有
3
这个约数．
（
2
）
因
n
是大于
2
的正整数 ，
则
2
－
1
≥
7
，
2
－
1
、
2
、
2
＋
1
是不小于
7
的三 个连续的正整数，
其中必有一个被
3
整除，但
3
不整除
2< br>，故
2
－
1
与
2
＋
1
中至多有一个 数是质数．
（
3
）设正整数< br>a
的所有正约数之和为
b
，
d
1
，
d
2
，
d
3
，…，
d
n
为
a
的正 约数从小到大的排列，
于是
d
1
=1
，
d
n
=
a
．由于
S
n
n
n
n
n< br>n
n
1
1
1
1
< br>
中各分数分母的最小公倍数
d
n
=
a
，故
S
=
d
1
d
2
d
3
d
n
d
n
d
n
1
d
d
d
2
d
n
b
3
2
2
3
1
=
1
=
，而
a
=360=
2
3
5
，故
b
=
（
1
＋
2
＋
2
＋
2
）×（
1
＋
3
d
n
d< br>n
d
n
d
n
a
＋
3
）×（
1
＋
5
）
=1170
．
2
b
11701
=
=
3
．
a
360
4
例
5
由
x
y
2
2
xy
=
，得
x
＋
y
=
=
k
．
（
k
为正整数）
，可得
2
xy
=
kp
，所以
p
整除
2
xy
且
p
为奇质数，故
xy
p
p
p
整除
x
或< br>y
，
不放设
x
=
tp
，
则
tp＋
y
=2
ty
，
得
y
=
tp
为整数．
又
t
与
2
t
－
1
互质，
故
2
t
－
1
整除
p
，
2
t
1
x
y
xy
p
为质数，
所以
2
t
－
1=1
或
2
t
－
1=
p
．
若
2
t
－
1=
，
得
t
=1
，
x
=
y
=
p
，
与
x
≠
y
矛盾；
若
2
t
－
1=
p
，
则
=
2
p
x
y
，
2
xy
=
p
（
x
＋
y
）
．∵
p
是奇质数，则
x
＋
y
为偶数，
x
、
y
同奇偶性，只能同为
xy
=
必有
p
2
某 数含因数
p
．令
x
=
ap
，
ay
=
ap
y
ap
，
2
ay
=
ap
＋
y
．∴
y
=
，故
a
，
2
a－
1
互质，
2
a
－
1
整除
p
，
2
2
a
1
2
p
1
p
1
p
p
1
p
p
1
p
1
p
1
p
=
又
p
是质数，
则< br>2
a
－
1=
p
，
a
=
，
故
x
=
，
∴
x
＋
y
=
＋
=
。
2
2
2
2
2
2
例
6
设
N
是一个同时含有数字
1
，
3
，7
，
9
的绝对质数．
因为
k
0
=7931，
k
`
=1793
，
k
2
=9137
，
k
3
=7913
，
k
4
=7193
，< br>k
5
=1937
，
k
6
=7139
除以7
所得余数分别为
0
，
1
，
2
，
3< br>，
4
，
5
，
6
．故如下
7
个正整数 ：
4
N
0
C
1
C
2
C
n
4
7931
=L
L
10
k
0
，
N
1
C
1
C
2
C
n
4
1793
=L< br>L
10
k
1
，
…
4
N
6
C
1
C
2
C
n
4
7139
=L
L
10
k
6
，
4
其中，一定有一个能被
7
整除，则这个数就不是质数，故矛盾．
A
级
1
．
1998
2
．－
1
3
．
63
4
．
2000
5
．
D
6
．
A
7
．
B
8
．由
r
=
p
＋
q
可知
r
不是最小的质数，则为奇数，故
p
，
q
为一奇一偶，又因为
p＜
q
．故
p
既是质数又
是偶数，则
p
=2．
9
．
设十个连续合数为
k
＋
2
，
k
＋
3
，
k
＋
4
，
…，
k
＋
10
，
k
＋
11
，
这里
k< br>为自然数，
则只要取
k
是
2
，
3
，
4
，
…，
11
的倍数即可．
10
．
选甲 ．
提示：
相邻的两个自然数总是互质数，
把相邻自然数两两分为一组，
这两数 总是互质的，
（
2
，
3
）
，
（
4
，
5
）
，
（
6
，
7
）
，…，（
1992
，
1993
）
，
1994
，甲擦掉
1994
，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组
的另一数，以此类推，最后还剩一对互质 数．
11
．设这块地面积为
S
，则
S
=
nx
=
（
n
＋
124
）
y
．
∴
n
x
y
=124
y
∵
x
＞
y
（
x
，
y
）
=1
2
∴（
x
，
y
）
=1
（
x
y
，
y
）
=1
得
x
y
｜
124
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∵
124=
2
×
31
，
x
y
=
（
x
＋
y
）
（
x
－
y
）
2
2
∴
x
y
31
x
y
62，或
x
y
1
< br>x
y
2
x
16
x
32
，或
（舍）
y
< br>15
y
30
∴
124y
2
此时
n
=
2
=900
．
x
y
2
∴
S
=
nx
=900
×
16
=230400c
m
2
=23
．
04
m
2
。
2
2
B
级
1
．
19
或
25
2
．
31
提示：
q
=
mn< br>，则
m
、
n
只能一个为
1
，另一个为
q．
3
3
．
133
23
4
．
2001
5
．
B < br>提示：唯有
a
=2
，
b
=2089
－
211
=2089
－
2048=41
是质数，符合题意．
6
．
A
提示：当
a
=3
时，符合题意；当
a
≠
3
时，
a
被
3
处余
1
，设
a
=3
n
＋
1
，则
7
a
＋
8=21
n
＋
15
，
8
a
＋
7=24< br>n
＋
15
，它们都不是质数，与条件矛盾．故
a
=3
．
2
2
2
2
7
．
a
－
a
，
b
－
b
，
c
－
c
，
d
－
d
都是偶数，即
M
=
a
b
c
d
2
2
2
2
2
2
2
2
－（
a
＋
b
＋
c
＋
d
）是偶数．因
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
为
a
b
=
c
d
，
所以
a
b
c
d
=2
（
a
< br>b
）
是偶数，
从而有
a
＋
b
＋
c< br>＋
d=
a
b
c
d
－
M
=2
（
a
b
）－
M
，它
一定是偶数，但
a
＋
b
＋
c< br>＋
d
＞
2
，于是
a
＋
b
＋
c
＋
d
是个合数．
8
．
取六个数
ai
＝
i
×
(1
×
2
×
3
×< br>4
×
5
×
6)
＋
1
(
i
＝
1
，
2
，…，
6)
，则其中任意两个数都是互 质的，事实
上，假设
a
2
与
a
5
不互质，设
d
是
a
2
与
a
5
的最大公约数，则
d< br>必是
(5
－
2)
×
1
×
2
×
3
×
4
×
5
×
6
，即
3
×1
×
2
×
3
×
4
×
5
×6
的一个因子，但从
a
2
＝
2
×
1
×
2
×
3
×
4
×
5
×
6
＋
1
知，
d
不整除
a
2
，这与假设
d
是
a
2
与
a
5
的最大公约数矛盾，故
a
2
与
a
5
互质．
9
．
由
pq< br>＋
11
＞
11
且
pq
＋
11
是质数 知，
pq
＋
11
必为正奇数，从而
p
＝
2
或
q
＝
2
．
(1)
若p
＝
2
，
此时
7
p
＋
q
及< br>2
q
＋
11
均为质数．
设
q
＝
3< br>k
＋
1
，
则
q
＋
14
＝
3 (
k
＋
5)
不是质数；
设
q
＝
3
k
＋
2
，
则
2
q
＋
11
＝
3(2
k
＋
5)
不是质数，因此
q
应为
3
k
型的质数，当然只能是
q
＝
3
．
(2)若
q
＝
2
，此时
7
p
＋
q
与
2
p
＋
11
均为质数，设
p
＝
3
k
＋
1
，则
7
p
＋
2
＝
3(7< br>k
＋
3)
不是质数；设
p
＝
3
k
＋
2
，
则
2
p
＋
11
＝
3(2k
＋
5)
不是质数，
因此，
p
应为
3
k
型的质数，
p
＝
3
．
综合
(1)
，
(2)
知
p
＝
3
，
q
＝
2
或
p
＝
2
，
q
＝
3
，所以
p
q
十
q
p
＝
17
．
10
．
(1)
能办到
提示：注意到
41
与
43
都是质数 ，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们只
能都是奇数，
因此，
在这排数中只 能一奇一偶相间排列：
不妨先将奇数排成一排：
1
，
3
，
5
，
7
，
…，
41
，
在每两数之间留空，然后将所有 的偶数依次反序插在各空白中，得
1
，
40
，
3
，
38
，
5
，
36
，
7
，
34
，… ，
8
，
35
，
6
，
37
，
4，
39
，
2
，
41.
这样任何相邻两数之和都是
41
或
43.
满足题目要求．
(2)
不能办到
提示：若把
1< br>，
2
，
3
，…，
40
，
41
排成一 圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都
是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶．但现有
20
个偶数，
21
个奇数，总共是
41
个号码，由此
引出 矛盾，故不能办到，
2
2
专题
02
数的整除性
阅读与思考
设
a，
b
是整数，
b
≠
0
，如果一个整数
q
使得等式
a
=
bq
成立，那么称
a
能被
b
整除，或称
b
整
除
a
，
记作
b
|
a
，
又称
b
为
a
的约数，
而
a
称为
b
的倍数．
解与整数的整除相关问题常用到以下知识：
1
．数的整除性常见特征：
①若整数
a
的个位数是偶数，则
2|
a
；
②若整数
a
的个位数是
0
或
5
，则
5|
a
；
③若整数
a
的各位数字之和是
3(
或
9)
的倍数，则
3|
a
(
或
9|
a
)< br>；
④若整数
a
的末二位数是
4(
或
25)
的倍数，则
4|
a
(
或
25|
a
)
；
⑤若整数
a
的末三位数是
8(
或
125)< br>的倍数，则
8|
a
(
或
125|
a
)
；
⑥若整数
a
的奇数位数字和与偶数位数字和的差是
11
的倍数，则
11|
a
．
2
．整除的基本性质
设
a
，
b
，
c
都是整数，有：
①若
a
|
b
，
b
|
c
，则
a|
c
；
②若
c
|
a
，
c< br>|
b
，则
c
|(
a
±
b
)
；
③若
b
|
a
，
c
|
a
，则
[
b
，
c
]|
a
；
④若
b
|
a
，
c
|
a
，且
b
与
c
互质，则
bc
|
a
；
⑤若
a
|
bc
，且
a
与
c
互质，则
a
|
b
．特别地，若质数
p
|
bc
，则必有
p
|
b
或
p
|
c
．
例题与求解
【例
1
】
在
1
，
2
，
3
，…，
2 000
这
2 000
个自然数中， 有
_______
个自然数能同时被
2
和
3
整除，而
且不能被
5
整除．
(
“五羊杯”竞赛试题
)
解题思想：
自然数
n
能同时被
2
和
3
整除，
则
n
能被
6
整除，
从中剔除能被
5
整除的数，
即为所求．
【例
2
】
已知
a
，
b
是正整数
(
a
＞
b
)
，对于以下两个结论：< br>
①在
a
＋
b
，
ab
，
a
－
b
这三个数中必有
2
的倍数；
②在
a
＋
b
，
ab
，
a
－
b
这三个数中必有3
的倍数．其中
(
)
A
．只有①正确
B
．只有②正确
C
．①，②都正确
D
．①，②都不正确
(
江苏省竞赛试题
)
解题思想：
举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例
3
】
已知整数
13
ab
456
能被
198
整除，求
a
，
b< br>的值．
(
江苏省竞赛试题
)
解题思想：
198=2
×
9
×
11
，
整数
13
ab
456
能被
9
，
11
整除，
运用整除的相关特性建立
a
，
b
的等式，
求出
a
，
b
的值．
【例
4
】
已知
a
，
b
，
c
都是整数，当代数式
7
a
＋
2
b
＋
3
c
的值能被
13
整除时，那么代数式
5
a
＋
7
b
－
22
c
的值是否一定能被
13
整除，为什么？
(
“华罗庚金杯”邀请赛试题
)
解题思想：
先把
5
a
＋
7
b
－
22c
构造成均能被
13
整除的两个代数式的和，再进行判断．
【例
5
】
如果将正整数
M
放在正整数
m
左侧，所得到的新数可被
7
整除，那么称
M
为
m
的“魔术
数”
(
例如 ：把
86
放在
415
左侧，得到
86 415
能被
7
整除，所以称
86
为
415
的魔术数
)
，求正整 数
n
的
最小值，使得存在互不相同的正整数
a
1
，
a
2
，…，
a
n
，满足对任意一个正整数
m
，在< br>a
1
，
a
2
，…，
a
n
中都至少有 一个为
m
的“魔术数”
．
(2013
年全国初中数学竞赛试题
)
解题思想：< br>不妨设
a
i
7
k
i
t
(
i
=1
，
2
，
3
，…，
n
；< br>t
=0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6)
至少有一个为
m
的
10
k
m
(
k
是
m
的位数
)
被< br>7
除所得余数，分析
i
的取值．
“魔术数”
．根据题中条件，利用
a
i
g
【 例
6
】
一只青蛙，位于数轴上的点
a
k
，跳动一次后到达< br>a
k
1
，已知
a
k
，
a
k
1
满足
|
a
k
1
－
a
k
|=1
，
我们把青蛙从
a
1
开始，经
n
－
1
次跳动的位置依次记作
A
n
：
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
n．
⑴
写出一个
A
5
，使其
a1
a
5
0
，且
a
1
＋< br>a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a< br>5
>0
；
⑵
若
a
1
=13
，
a
2000
=2 012
，求
a
1000
的值；
⑶
对于 整数
n
(
n
≥
2)
，如果存在一个
A
n< br>能同时满足如下两个条件：①
a
1
=0
；②
a
1＋
a
2
＋
a
3
＋…
＋
a
n< br>=0
．求整数
n
(
n
≥
2)
被
4< br>除的余数，并说理理由．
(2013
年“创新杯”邀请赛试题
)
解题思想：
⑴
a< br>1
a
5
0
．即从原点出发，经过
4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向
左．为保证
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
>0
．只需将“向右”安排在前即可．
⑵若
a
1
=13
，
a
2000
=2
012
，从
a
1
经过
1
999
步到a
2000
．不妨设向右跳了
x
步，向左跳了
y
步，则
x
y
1999
x
1999
，解得
可见，它一直向右跳，没有向左跳．
13
x
y
2012
y
0
⑶设
A
n
同时满足两个条件：①
a
1
=0
；②
a
1
＋
a
2
＋
a< br>3
＋…＋
a
n
=0
．由于
a
1
=0
，故从原点出发，经
过
(
k
－
1)
步到达
a
k
，假定这
(
k
－
1)
步中，向右跳了
x
k
步，向左跳了
y
k
步，于是
a
k
=< br>x
k
－
y
k
，
x
k
＋
y< br>k
=
k
－
1
，则
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
=0
＋(
x
2
y
2
)
＋
(
x3
y
3
)
＋…
(
x
n
< br>y
n
)=2(
x
1
＋
x
2
＋…＋< br>x
n
)
－
[(
x
2
y
2
)
＋
(
x
3
y
3
)
＋ …＋
(
x
n
y
n
)]=2(
x
2
＋
x
3
＋…＋
x
n
)
－
所以< br>n
(
n
－
1)=4(
x
2
＋
x3
＋…＋
x
n
)
．即
4|
n
(
n
－
1)
．
n
n
1
．
由于
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
=0
，
2< br>能力训练
A
级
1
．某班学生不到
50< br>人，在一次测验中，有
1
1
1
的学生得优，
的学生得良，的学生得及格，则
3
7
2
有
________
人不及格 ．
2
．从
1
到
10 000
这
1
万个自然数中，有
_______
个数能被
5
或能被
7
整 除．
(
上海市竞赛试题
)
3
．一个五位数
3
ab98
能被
11
与
9
整除，这个五位数是
_______ _
．
4
．在小于
1 997
的自然数中，是
3< br>的倍数而不是
5
的倍数的数的个数是
(
A
．
532
B
．
665
C
．
133
D
．
798
5
．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是
(
)
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
6
)
(
江苏省竞赛试题
)
6
．用数字
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
组成的没有重复数字的三位数中，是
9
的倍数的数有
(
A
．
12
个
B
．
18
个
C
．
20
个
D
．
30
个
)
(
“希望杯”邀请赛试题
)
7
．五位数
abc de
是
9
的倍数，其中
abcd
是
4
的倍数，那么
abcde
的最小值为多少？
(
黄冈市竞赛试题
)
8
．
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
每个使用一次组成一个六位数字
abc def
，
使得三位数
abc
，
bcd
，
cde，
def
能依次被
4
，
5
，
3
，11
整除，求这个六位数．
(
上海市竞赛试题
)
9
．
173
□是个四位数字，数学老师说：
“我在这个□中先后填入
3
个数字，所得到的
3
个四位数，
依次可被
9
，
11
，
6
整除．
”问：数学老师先后 填入的这
3
个数字的和是多少？
(
“华罗庚金杯”邀请赛试题
)
B
级
1
．
若 一个正整数
a
被
2
，
3
，
…，
9
这八个自然数除，
所得的余数都为
1
，
则
a
的最小值为_________
，
a
的一般表达式为
____________．
(
“希望杯”邀请赛试题
)
2
． 已知
m
，
n
都是正整数，若
1
≤
m
≤n
≤
30
，且
mn
能被
21
整除，则满足条件 的数对
(
m
，
n
)
共有
___________< br>个．
(
天津市竞赛试题
)
3
．一个六位数
x
1989
y
能被
33
整除，这样的六位数中最大是
__________．
1,3,5,7,
L
,1991,1993,1995, 1997,1999
4
．有以下两个数串
1,4,7,10,< br>L
,1987,1990,1993,1996,1999
同时出现在这两个数串中的数 的个
数共有
(
)
个．
A
．
333
B
．
334
C
．
335
D
．
336
)
个．
)
．
5
．一个六位数
a
1991
b能被
12
整除，这样的六位数共有
(
A
．
4
B
．
6
C
．
8
D
．
12
6
．若
1 059
，
1 417
，
2 312
分别被自然数
n
除时，所得的余数都是
m
，则
n
－
m
的值为
(
A
．
15
B
．
1
C
．
164
D
．
174
7
．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相 好一个三位数
abc
，然后，魔术师再要求他记下五个
数：
acb
，
bac
，
bca
，
cab
，
cba，并把这五个数加起来求出和
N
．只要讲出
N
的大小，魔术师就
能说出原数
abc
是什么．如果
N
=3 194
，请你确定
abc
．
(
美国数学邀请赛试题
)
8
．一个正整数
N
的各位数字不全相等，如果将
N
的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一
个最小数，若最大数与最小数的差正好等于 原来的数
N
，则称
N
为“拷贝数”
，试求所有的三位“拷贝
数”
．
(
武汉市竞赛试题
)
9
．
一个六位数，
如将它的前三位数字与后 三位数字整体互换位置，
则所得的新六位数恰为原数的
6
倍，求这个三位数．
(
“五羊杯”竞赛试题
)
10
．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为
1 999
，求这个四位数，并说明理由．
(
重庆市竞赛试题
)
11
．从
1
，
2
，…，
9
中任取
n
个数，其中一定可以找到若干个数
(
至少一个，也可以是全部
)
，它们
的和能被
10
整除，求< br>n
的最小值．
(2013
年全国初中数学竞赛试题
)
专题
02
数的整除性
例
1
267
提示：
333
－
66
＝
267
．
例
2
C
提示：关 于
②
的证明：对于
a
，
b
若至少有一个是
3
的倍数，则
ab
是
3
的倍数．若
a
，
b
都不是
3
的倍数，
则有：
(1)
当
a
＝
3
m
＋
1
，
b
＝
3
n
＋
1
时，
a
－
b
＝
3(
m
－
n
)
；
(2)
当
a
＝
3
m
＋
1< br>，
b
＝
3
n
＋
2
时，
a
＋
b
＝
3(
m
＋
n
＋
1)
；
(3)
当
a
＝
3
m
＋
2
，
b< br>＝
3
n
＋
1
时，
a
＋
b
＝
3(
m
＋
n
＋
1)
；
(4)
当< br>a
＝
3
m
＋
2
，
b
＝
3< br>n
＋
2
时，
a
－
b
＝
3(
m
－
n
).
例
3
a
＝
8
．
b
＝
0
提示：由
9
｜
( 19
＋
a
＋
b
)
得
a
＋
b
＝
8
或
17
；由
11|(3
＋
a
－b
)
得
a
－
b
＝
8
或－
3< br>．
例
4
设
x
，
y
，
z
，
t
是整数，并且假设
5
a
＋
7
b
－
22
c
＝
x
(7
a
＋< br>2
b
＋
3
c
)
＋
13(
ya＋
zb
＋
tc
).
比较上式
a
，
b< br>，
c
7
x
13
y
5
的系数，应当有
2
x
13
z
7
，取
x
＝－
3
，可以得到
y
＝2
，
z
＝
1
，
t
＝－
1
，< br>
3
x
13
t
2 2
则有
13 (2
a
＋
b
－
c
)
－
3(7
a
＋
2
b
＋
3
c)
＝
5
a
＋
7
b
－
22
c< br>．
既然
3(7
a
＋
2
b
＋
3
c
)
和
13(2
a
＋
b
－
c
)
都能被
13
整除，
则
5
a
＋
7
b
－
22
c
就能被
13
整除．
例
5
考虑到“魔术数”均为
7
的倍数，又
a< br>1
，
a
2
，…，
a
n
互不相等，不妨设a
1
＜
a
2
＜…＜
a
n
， 余数必
为
1
，
2
，
3
，
4
，5
，
6
，
0
，设
a
i
＝
k< br>i
＋
t
(
i
＝
1
，
2
，< br>3
，…，
n
；
t
＝
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6)
，至少有一个为
m
的“魔术数”
，因为
a
i
·
1 0
k
＋
m
(
k
是
m
的位数
)，是
7
的倍数，当
i
≤
b
时，而
a
i
·
t
除以
7
的余数都是
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
中 的
6
个；当
i
＝
7
时，而
a
i
·
10
k
除以
7
的余数都是
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
这
7
个数
字循环出现，当
i
＝
7
时，依抽屉原理，
a
i
·
10
k
与
m
二者余数的和至少有一 个是
7
，此时
a
i
·
10
k
＋
m
被
7
整除，即
n
＝
7
．
例
6
(1)A
5
：
0，
1
，
2
，
1
，
0.(
或
A
5
：
0
，
1
，
0
，
1
，
0)
(2)
a
1000
＝
13＋
999
＝
1 012
．
(3)
n
被
4
除余数
为
0
或
1
．
A
级
1
．
1
2
．
3 143
3
．
39 798
4
．
A
5
．
C
6
．
B
—
—
——
—
7
．
五位数
abcde
＝
10
×
abcd
＋
e
.
又
②
abcd
为
4
的倍数．故最值为
1
000
，又因为
abc de
为
9
的倍数．故
1
—
＋
0
＋
0
＋
0
＋
e
能被
9
整除，所以
e
只能取
8
．因此
abcde
最小值为
10 008.
8
．
324
561
提示：
d
＋
f
－
e
是
11
的倍数，但
6
≤
d
＋
f
≤
5
＋
6
＝
11
，
1
≤
e
≤
6
，故
0
≤
d
＋f
－
e
≤
10
，因此
d
＋
f
－
e
＝
0
，即
5
＋
f
＝
e
，又
e
≤
d
，
f
≥
1
，故
f< br>＝
l
，
e
＝
6
，
9
．
19
提示：
1
＋
7
＋< br>3
＋□的和能被
9
整除，故□里只能填
7
，同理，得到后两个 数为
8
，
4
．
B
级
＋
1
．
2 521
a
＝
2 520
n
＋
1(
n
②
N
)
2
．
57
3
．
719 895
提示：这 个数能被
33
整除，故也能被
3
整除．于是，各位数字之和
(
x
＋
1
＋
9
＋
8
＋
9
＋
y
)
也能
被
3
整除，故
x
＋
y
能被
3
整除．
4
．
B
5
．
B
6
．
A
提示：两两差能被
n
整除，
n
＝
179
，
m
＝
164．
—
—
—
—
—
—
—
7．
由题意得
acb
＋
bac
＋
bca
＋
cab
＋
cba
＝
3
194
，两边加上
abc
．得
222(
a
＋
b
＋
c
)
＝< br>3194
＋
abc
—
—
②222(
a
＋
b
＋
c
)
＝
222
×
14
＋
86
＋
abc
．则
abc
＋
86
是
222
的倍数．
— —
——
——
且
a
＋
b
＋
c
＞14
．设
abc
＋
86
＝
222
n
考 虑到
abc
是三位数，依次取
n
＝
1
，
2
，
3
，
4.
分别得出
abc
的可能
——
值 为
136
，
358
，
580
，
802
，又 因为
a
＋
b
＋
c
＞
14
．故
ab c
＝
358
．
8
．
设
N
为所求 的三位“拷贝数”
，它的各位数字分别为
a
，
b
，
c
(
a
，
b
，
c
不全相等
)
．将其数码重 新排列
——
——
——
——
后，设其中最大数为
abc
，则最小数为
cba
．故
N
＝
abc
－
cba
＝
(100
a
＋
10
b
＋
c)
－
(100
c
＋
10
b
＋
a
)
＝
99(
a
－
c
)
．
< br>可知
N
为
99
的倍数．这样的三位数可能是
198
，
297
，
396
，
495
，
594
，693
，
792
，
891
，
990
．而
这
9
个数中，只有
954
－
459
＝
495.
故
495
是唯一的三位“拷贝数”
．
——————
———
——
——
——
——
9
．
设原六位数为
abcdef
，则
6
×
abcdef
＝
defabc
，即
6
×
(1000
×
abc
＋< br>def
)
＝
1000
×
def
＋
abc，所
——
——
——
——
—
——
以
99 4
×
def
－
5 999
×
abc
，即
1 42
×
def
＝
857
×
abc
，
②(142
，
857)
＝
1
，
② 14 2|
abc
，
857|
def
，
——
——
—
——
———
而
abc
，
def
为三位数，
②
abc
＝
142
，
def
＝
857
， 故
abcdef
＝
142857
．
——
10
．
设这个数为
abcd
，
则
1 000
a
＋
100
b
＋
10
c
＋
d
＋
a
＋
b
＋
c
＋
d
＝
1 999
，
即
1 001
a
＋
101
b
＋
11
c
＋
2
d
＝
1 999
，
得
a
＝
1
，
进而
101
b
＋
11
c
＋
2
d
＝
998
，
101
b< br>≥
998
－
117
－
881
，
有
b
＝
9
，
则
11
c
＋
2
d
＝
89
，
而
0
≤
2
d
≤
18，
71
≤
11
c
≤
89
，推得
c＝
7
，
d
＝
6
，故这个四位数是
1 976
．
11
．
当
n
＝
4
时，
数
1
，
3
，
5
，
8
中没有若干个 数的和能被
10
整除．
当
n
＝
5
时，
设< br>a
1
a
2
，
…，
a
5
是
1
，
2
，
…，
9
中的
5
个不同的数，若其中 任意若干个数，它们的和都不能被
10
整除，则
a
1
,
a< br>2
,
L
,
a
5
中不可能同时
出现
1
和
9
，
2
和
8
，
3
和
7
，
4
和
6
，于是
a
1
,
a
2
,
L
,
a
5
中必定有一个为
5
，若< br>a
1
,
a
2
,
L
,
a
5< br>中含
1
，则不
含
9
，于是，不含
4
(4
5
1
10)
，故含
6
；不含
3
(3
6
1
1 0)
,
故含
7
；不含
2
(2
1
7
10)
,
故含
8
；但是
5+7+8=20
是
10
的倍数
,
矛盾
.
若< br>a
1
,
a
2
,
L
,
a
5< br>中含
9,
则不含
1,
于是不含
6
(6
9
5
20),
故
含
4;
不含
7
(7
4
9
20),
故含
3;
不含
8
(8
9
3
20),
故含
2;
但是
5
3
2
10
是
10
的倍数
,
矛盾
.
综上所述
,
n
的最小值为
5
专题
03
从算术到代数
阅读与思考
算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代 数是在算术中“数”和“运算”的基
础上发展起来的
.
用字母表示数是代数 的一个重要特征，
也是代数与算术的最显著的区别
.
在数学发展史上，
从确定 的
数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃
.
用字母 表示数有如下特点：
1.
任意性
即字母可以表示任意的数
.
2.
限制性
即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义
.
3.
确定性
即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定
.
4.
抽象性
即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义
.
例题与求解
【例
1
】
研究下列算式，你会发现什么规律：
1
×
3
＋
1
＝
4
＝
2
2
2
×
4
＋
1
＝
9
＝
3
2
3
×
5
＋
1
＝
16
＝
4
2
4
×
6
＋
1
＝
25
＝
5
2
…
请将你找到的规律用代数式表示 出来：
___________________________________
(
山东菏泽地区中考试题
)
解题思路
：观察给定的几个简单的、特 殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数
式表示
.
【例
2
】
下列四个数中可以写成
100
个连续自 然数之和的是（
）
A.1627384950
B. 2345678910
C. 3579111300
D. 4692581470
（江苏省竞赛试题）
解题思路
：设自然数从
a
＋
1
开始，这
100
个连续自然数的和为（
a
＋
1
）＋
(
a
＋
2)
＋
…＋
(a
＋
100)
＝
100
a
＋
5050
，从揭示和的特征入手
.
1
2
+
2
2
2
2
+
3
2
3
2
+
4
2
1003
2
+
1004
2
1004
2< br>+
1005
2
+
+
【例
3
】
设A
＝
＋…＋
＋
，
求
A
的整数部
3´
4
1
´
2
2
´
3
1003
´
1004
1004
´
1005
分
.
（北京市竞赛试题）
n
2
+
(
n
+1)
2
解题思路
：从分析
A
中第
n
项
的特征入手
.
n
?
(
n
1)
【例
4
】
现有
a
根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成
m
个正方形，按如图②摆放时可摆成
2
n
个正方形
.
(1)
用含
n
的代数式表示
m
；
(2)
当这
a
根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求
a
的最小值
.
（浙江省竞赛试题）
解题思路
：由图①中有m
个正方形、图②中有
2
n
个正方形，可设图③中有
3
p
个正方形，无论怎样
摆放，火柴棒的总数相同，可建立含
m
，
n< br>，
p
的等式
.
【例
5
】
化简
99
9
99
9
< br>199
9
.
n
个
n
个
n
个
（江苏省竞赛试题）
解题思路
：先考察
n
＝
1
，
2
，
3< br>时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确
.
【例
6
】
观察按下列规律排成的一列数：
1
1< br>2
1
2
3
1
2
3
4
1
2< br>3
4
5
1
，
，
，
，
，
，< br>，
，
，
，
，
，
，
，
，
，… ，
（
*
）
1
2
1
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
6
2
（
1
）在（
*
）中，从左起第
m
个数 记为
F
(
m
)
＝
时，求
m
的值和这
m
个数的积
.
200 1
（
2
）在（
*
）中，未经约分且分母为
2
的数记 为
c
，它后面的一个数记为
d
，是否存在这样的两个
数
c< br>和
d
，使
cd
＝
2001000
，如果存在，求出< br>c
和
d
；如果不存在，请说明理由
.
解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（
）
，
（
（
1
1
1
2
1
2
3
，
）
，
（
，
，
）
，
2
1
3
2
1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
，
，
，
）
，
（
，
，
，
，
）
，…
.
4
3
2
1
5
4
3
2
1
能力训练
A
级
22
3
3
4
4
a
a
1.
已知等式：2
＋
＝
2
2
×
，
3
＋
＝3
2
×
，
4
＋
＝
4
2
×，…，
，
10
＋
＝
10
2
×
（a
，
b
3
3
8
8
15
15
b
b
均为正整数）
，则
a
＋
b
＝
_____ ______________.
(
湖北省武汉市竞赛试题
)
2 .
下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，
它的每边
（包括顶点）
都 有
n
（
n
≥
2
）
个棋子，
每个图案棋子总 数为
s
，按此规律推断
s
与
n
之间的关系是
___ ___________.
n
＝
2
n
＝
3
n
＝
4
s
＝
4
s
＝
8
s
＝
12
(
山东省青岛市中考试题
)
3.
规定任意两个实数对（
a
，
b
）和（
c
，
d
）
，
当且仅当
a
＝
c
且
b
＝
d
时 ，
（
a
，
b
）＝（
c
，
d
）．定义
运算
“
⊗
”
：
（
a
，
b
）
⊗
（
c
，
d
）
＝
（
ac
－
bd
，
ad
＋
bc
）
．
若
（
1
，
2
）
⊗
（
p
，
q
）
＝
（
5
，
0
）
，
则
p
＋
q
＝
________
．
(
浙江省湖州市数学竞赛试题
)
4.
用同样规格的黑白两种颜色的 正方形瓷砖按下图方式铺地板，
则第
（
3
）
个图形中有黑色瓷砖______
块，第
n
个图形中需要黑色瓷砖
______
块（ 含
n
代数式表示）
．
（广东省中考试题）
-=
5.
如果
a
是一个三位数，现在把
1
放在它的右边得到一个 四位数是（
）
A.1000
a
＋
1
B. 100
a
＋
1
C. 10
a
＋
1
D.
a
＋
1
(
重庆市竞赛试题
)
6.
一组按规律排列的多项式：
a< br>＋
b
，
a
2
—
b
3
，
a< br>3
＋
b
5
，
a
4
—
b
7< br>，…，其中第十个式子是（
）
A.
a
10
＋
b
19
B.
a
10
-
b
19
C.
a
10
-
b
17
D.
a
10
-
b
21
(
四川省眉山市竞赛试题
)
7.
有三组数< br>x
1
，
x
2
，
x
3
；
y< br>1
，
y
2
，
y
3
；
z
1< br>，
z
2
，
z
3
，它们的平均数分别是
a，
b
，
c
，那么
x
1
＋
y
1
－
z
1
，
x
2
＋
y
2
－
z
2
，
x
3
＋
y
3
－
z
3
的平均数是（
）
A.
a
+
b
+
c
a
+
b
-
c
B.
C.
a
＋
b
－
c
D. 3(
a
＋
b
－
c
)
3
3
(
希望杯邀请赛试题
)
8.< br>为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相
同 ，那么它们的面积
S
1
、
S
2
的大小关系是（
）
（东方航空杯竞赛试题）
A
. S
1
＞
S
2
B
．
S
l
＜
S
2
C
．
S
1
＝
S
2
D
．
无
法
比
较
9.
一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为
4
个扇形面；第二次
将上次得到的一个扇形面再等分成
4
个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．
（
1
）请通过操作，猜想将第
3
、第
4
次，… ，第
n
次剪裁后扇形面的总个数填入下表；
剪裁次数
所得的总数
1
4
2
7
3
4
…
…
n
（
2
）请你推断，能否按上述 操作剪裁出
33
个扇形面？为什么？
（山东省济南市中考试题）
10.
某玩具工 厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原
a
（
a
＞
0
）个成品，且每个每天都生产
b
（
b
＞
0
）
个成品 ，
质检科派出若干名检验员星期一、
星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，
然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．
（
1
）这若干名检验员
1
天检验多少个成品（用含
a
、
b
的代数式表示）
；
（
2
）试求出用
b
表示
a
的关系式；
（
3
）若
1
名质检员< br>1
天能检验
4
b
个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？
5
（广东省广州市中考试题）
B
级
1.
你能很快算出
1995
2
吗？
为了解决这个问题，我们考 察个位上的数字为
5
的自然数的平方，任意一个个位数为
5
的自然数可写成< br>（
10
·
n
＋
5
）
（
n
为 自然数）
，即求（
10
·
n
＋
5
）
2的值（
n
为自然数）
，分析
n
＝
1
，
n
＝
2
，
n
＝
3
，…这些
简单情况，从中 探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）
.
（
1
）通过计算，探索规律
.
15
2
＝
225
可写成
100
×
1
×（
1＋
1
）＋
25
；
25
2
＝
625可写成
100
×
2
×（
2
＋
1
）＋< br>25
；
35
2
＝
1225
可写成
100×
3
×（
3
＋
1
）＋
25
；
4 5
2
＝
2025
可写成
100
×
4
×（< br>4
＋
1
）＋
25
；
...
75
2
＝
5625
可写成
______
；
85
2
＝
7225
可写成
______
；
（
2
）从第（
1
）题的 结果，归纳猜想得（
10
n
＋
5
）
2
＝
_ _____
；
（
3
） 根据上面的归纳猜想，请算出
1995
2
＝
______.
（福建省三明市中考试题）
2.
已知
1
2
＋2
2
＋
3
2
＋…＋
n
2
＝
1
n
(
n
＋
1)(2
n
＋
1)
，计 算：
6
（
1
）
11
2
＋
12< br>2
＋…＋
19
2
＝
___________________ __
；
(2)2
2
＋
4
2
＋…＋
50
2
＝
__________________.
3.
已知
n
是正整数，
a
n
＝
1
×
2
×
3
×
4
×…×
n
，则
a
a
a
1
a
2
＋
＋…＋
2010
＋
2011＝
_______________.
a
3
a
4a
2012
a
2013
(
“希望杯”邀请赛训练题
)
4.
已知
17
个连续整数的和是
306
，那么，紧接着这< br>17
个数后面的那
17
个整数的和为
__________.
（重庆市竞赛试题）
5.
A
，
B
两地相距
S
千米，甲、乙的速度分别为
a
千米
/
时、
b
千 米
/
时（
a
＞
b
）
，甲、乙都从
A
地到
B
地去开会，如果甲比乙先出发
1
小时，那么乙比甲晚到
B< br>地的小时数是（
）
A
．
s
s
s
s
s
s
s
s
-
(
+
1)
B
．
-
(
+
1)
C
．
-
(
-
1)
D
．
-
(
-
1)
a
b
b
a
a
b
b
a
6.
某商店经销一批衬衣，进价为每 件
m
元，零售价比高
a
%
，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的
b
%
出售，那么调价后的零售价是（
）
A
．
m
（
1
＋
a
%
）
（
1
－
b
%
）元
B
．
m
a
%
（
1
－
b
%
）元
C
．
m
（
1
＋
a
%
）
b
%
元
D
．
m
（
1
＋
a
%
b
%
）元
（山东省竞赛试题）
7.
如果用
a
名同学在
b
小时内共搬运
c
块砖，那么个以同样速度所需要的数是 （
）
c
2
c
2
a
2
b
ab
A
．
2
B
．
C
．
2
D
．
2
ab
a
b
c
c
(
“希望杯”邀请赛试题
)
8.
甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是 乙班
未参加人数的
1
1
，
乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数 的
．
问甲班未参加的人数是乙班未参加
3
5
人数的几分之几？
9.
将自然数
1
，
2
，
3
，…，
21
这
21
个数，任意地放在一个圆 周上，证明：一定有相邻的三个数，它
们的和不小于
33
.
（重庆市竞赛试题）
10< br>.
有四个互不相同的正整数，
从中任取两个数组成一组，
并在同一组中用较大的 数减去较小的数，
再将各组所得的数相加，其和恰好等于
18
.
若 这四个数的乘积是
23100
，求这四个数
.
（天津市竞赛试题）
专题
03
从算术到代数
例
1
n
(
n
2)
1
(
n
1)
2
例
2
A
1< br>1
1
1
1
1
1
1
1
例
3
原式
=
2
(1
)
2
(
)
2
(
)
L
2
(
)
2
(
)
2
2
3
3
4
1003
1004
1004
1005
1
)
故其整数部分为
2008
1005
例
4
设图③中含有
3
p
个正方形
.
=
2
1004
(1
(1)
由
3
m
1
5
n
2
,
得
m
5
n
1
3
3
m
2
5
n
1
,
因
m
,
n
,
p
均是正整数
,
所 以当
m
17,
n
10
7
7
(2)
由
a
3
m
1
5
n
2
7
p
3,
得< br>p
时
,
p
7,
此 时
a
3
17
1
52
例
5
解法
1:
n
1
时
,
9
9
19
81
19
100
10
2
;
n
2
时
,
99
99
199
(100
1)
99
199
9900
99
199
10000
10
4
,
L
39
99
L
3
9
199
L
3
9
10
2
n
个
,
计算过程类似于
n
2
猜想
:
991
2
1
2
1
2
n
个
n
个n
个
99
L
3
9
99
L
3
9
199
L
3
9
(10
n< br>
1)
99
L
3
9
199L
3
9
99
L
3
900
L
3
0
99
L
3
9
199
L< br>3
9
10
2
n
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
n
个
n
个
n
个
n
个
n
个
n
个
n
个
n
个
n
个
解法
2:
n
1
时,
9
9
19
9
9< br>
10
9
(9
9
9)
10
9
10
10
10
10
10
2
n
2
时
,
99
99
199
99
99
100
99
(99
99
99)
100
99
100
100
100
< br>100
10
4
猜想
:
原式
10
2
n
< br>L
3
9
99
L
3
9
1 99
L
3
9
99
L
3
9
99
L
3
9
100
L
3
0
99
L
3
9
99
L
3
9
99
L
3
9
99
L
3
9
10
n
验证如下
:
99
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
n
个
n
个
n
个
n
个
n
个
n
个
n
个
n
个
n
个
n
个
99
L
3
9
10
n
10
n< br>
10
n
10
2
n
1
2
n
个
反思结论必为一个数的平方形式
,
不妨 设
99
L
3
9
a
,
得另一种解法
1
2
n
个
解法
3:
原式
a
2
(
a
1)
a
a
2
2
a
1
(
a
1)
2
(10
n
)
2
1 0
2
n
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
例
6
(1)(
※
)
可
分
组
为< br>(
),(
,
),(
,
,
),(
,
,
,
),(
,
,
,
,
),
L
,可
知
各
组
数
的
个
数
依
次为
1
2
1
3
2
1
4
3
21
5
4
3
2
1
1,2,3,
L
.
按
其
规
律
2
1
2
3
2 002
应
在
第
2002
组
(
,
,
,
L
,
)
中
,
该
组
前
面
共
有
2001
2002
2001
2000
12
时
,
m
2003001
2
< br>2003003
.
又因各组的数
2001
1
2< br>
3
4
L
2001
2003001
个数
.
故当
F
(
m
)
1
2
1
2002
2001
2003001
(2)
依题意
,
c
为每组倒数第
2
个数
,
d
为每组最后一个数
,
积为
1,
故这
2003003
个数的积为
设它们在第
n
组
,
别
c
得
c
n
1
n
n
(
n
1)
,
d
,
2001000
.
即
n
(
n
1)
4002000
2001
2000
,
n
2001,
2
1
2< br>2001
1
2000
2001
,
d
2
2
1
A
级
a
a
10
2
中
,
根据规律可得
a
10,
b
10
2
1
99,
故
a
b
10
99
109
b
b
2.
s
4(
n
1)(
n
2)
1. 100
提示
:
10
3.
1
提示
:
根据题中定义的运算可列代数式
p
2
q
5,
q
2
p
0
,
可得
p
1
,
q
2,
故
p
q
1
4. 10
3
n
1
5. C
6. B
7. B
8. B
9.(1) 10
13
3
n
1
(2)
不能
, 33
不符合
3
n
1
10.
(1)
a
2
b
或
(2)
由
(3)
2(
a
5
b
)
或
3
b
2
3
2(
a
2
b
)
2(
a
5
b
)
,
得
a
4
b
2
3
2(
a
2
b
)4
b
7.5
8
2
5
B
级
1. (1)
100
7
(7
1)
25,
(2)
100
n
(
n
1 )
25
(3)
3980025
2. (1)
2085
(2)
22100
提示
:
原式
4
(1
2
2
2
L
25
2
)
3.
2011
提示
:
由
a
n
1
2
3
4
L
n
可得
,
4026
100
8
(8
1)
25
原式
1
1
1
1
1
L
2
3
3
4
4
5
2011
2012
2012
2013
1
1
1
1
1
1
1
12011
L
2
3
3
4
2012
2013
2
2013
4026
4. 595
提示
:
设
17
个连续整数为
m
,
m
1
,
L
,
m
16,
且
m
(m
1)
L
(
m
16 )
306
,
它后面紧接的
17
5. D
6. C
个连续自然数应为
m
17,
m
18,
m
19,
L
,
m
33
,
可得它们之和为
595
c
2
c
7. D
提示
:
每一名同学每小时所搬砖头为
块
,
c
名同学按此速度每小时所搬砖头为
块
.
ab
ab
8
．用
a
，
b
分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，
m
，
n
分别表示甲、乙两 班未参加天文小组的人
1
1
1
1
m
5
数，由
a
＋
m
＝
b
＋
n
得
m
－
b
＝
n
－
a
，又
a
＝
n
，b
＝
m
，故
m
－
m
＝
n
－< br>n
，
．
n
6
3
5
5< br>3
9
．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a
1
，
a
2
，
a
3
，
a4
，
a
5
，
21
1
< br>21
a
6
，
a
7
（均为自然数）
，且
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝
231
①．假设
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
2
a
5
，
a
6
，
a
7
中没一个数都小于
33
，则有
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＜
231
．与①矛盾，所以
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
，
a
6
，
a
7
中至少有一个不小于
33
，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于
33
．
10
． 设四个不同整数为
a
1
，
a
2
，
a
3，
a
4
（
a
1
＞
a
2
＞a
3
＞
a
4
）
，则（
a
1
－
a
2
）＋（
a
1
－
a
3
）＋（< br>a
1
－
a
4
）＋（
a
2
－
a
3
）＋（
a
2
－
a
4
）＋（
a
3
－
a
4
）＝
18
，即
3
（a
1
－
a
4
）＋（
a
2
－
a
3
）＝
18
．又因
3
（
a
1
－< br>a
4
）
，
18
均为
3
的倍数，故
a
2
－
a
3
也是
3
的倍数，
a
2< br>－
a
3
＜
a
1
－
a
4
，则
a
2
－
a
3
＝
3
，
a
1
－
a
4
＝
5
，
a
1
－
a
2
＝
1
，
a
3
－
a
4
＝
1
，又
a
1
a
2
a
3
a
4
＝
23100
＝
2×2×3×5×5×7×11
．从而可得
a
1
＝
15
，
a
2
＝
14
，< br>a
3
＝
11
，
a
4
＝
10
．
专题
4
初识非负数
阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、 相反数以及后续要学习的
算术根可以有进一步的理解；
绝对值又是初中代数中的一个基本概念，
在求代数式的值、
代数式的化简、
解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问 题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：
1
.
去绝对值符号法则
a
a
0
a
a
0
a
0
a
0
2
.
绝对值的几何意义
从数轴上看，< br>a
即表示数
a
的点到原点的距离，即
a
代表的是一个长度，故
a
表示一个非负数，
a
b
表示数轴上数
a
、数
b
的两点间的距离
.
3
.
绝对值常用的性质
①
a
0
②
a
2
a
a
2
③
ab
a
b
④
2a
a
b
0
bb
⑤
a
b
a
b
⑥
a
b
a
b
例题与求解
【例
1
】
已知
a
5
,
b
3
，且
a
b
b
a
，那么
a
b
.
（祖冲之杯邀请赛试题）
解题思路
：由已知求出
a
、
b
的值，但要注意条件
a
b
b
a
的制约，这是解本题的关键
.
【 例
2
】
已知
a
、
b
、
c
均为整数 ，且满足
a
b
10
a
c
1 0
1
，则
a
b
b
c
c
a
（
）
A
.
1
B
.
2
C
.
3
D
.
4
（全国初中数学联赛试题）
解题思路
：
a
b
1
.
【
例
3
】
已
知
x
1
1
＋
x
2
2
＋
x
3
3
＋
…
＋
x
2002
2002
＋
x
2003
2003
＝
0
，
求
代
数
式
10
≥
0
，
a
c
≥
0
，又根据题中条件可推出
a
b，
a
c
中一个为
0
，一个为
10
2
x
1
2
x
2
2
x
3
…－
2
x
2002
2
x
20 03
的值
.
解题思路：
运用绝对值、
非负数的概念与性质，
先求出
x
1
,
x
2
,
x
3
,< br>…，
x
2002
,
x
2003
的值，
注意< br>2
的化简规律
.
【例
4
】
设
a
、
b
、
c
是非零有理数 ，求
n
1
2
n
a
b
c
ab
ac
bc
abc
的值
.
a
b
c
ab
ac
bc
abc
解题思路
：根据
a
、
b
、
c
的符 号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键
.
（希望杯邀请赛试题）
< br>【例
5
】
设
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
,
x
6
是六个不同的正整数，取值于
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
.
记
S
|
x
1
x
2
|
|
x2
x
3
|
|
x
3
x
4
|
|
x
4
x
5|
|
x
5
x
6
|
|
x
6
x
1
|
，求
S
的最 小值
.
（四川省竞赛试题）
解题思路：
利用绝对值的几何意义建立数轴模型
.
【例
6
】
已知
(
a
b
)
b
5
b
5
，且
2
a
b
1
0
，求< br>ab
的值
.
（北京市迎春杯竞赛试题）
解
题思
路
：
由
2
a
b
1
0
知
2
a
b
1
0
，
即
b
2
a
1
，代
入
原
式
中
，
得
2
(
3a
1
)
2
2
a
4
2
a
4
，再对
3
a
1
的取值，分情况进行讨论
.
A
级
1
.
若
m
,
n
为 有理数，那么，下列判断中：
（
1
）若
m
n< br>，则一定有
m
n
；
（
2
）若< br>m
n
，则一定有
m
n
；
（
3
）若
m
n
，则一定有
m
n
；
（
4
）若
m
n
，则 一定有
m
(
n
)
；正确的是
.
（填序号）
2
.
若有理数
m
,
n,
p
满足
2
2
m
m
n
n< br>
p
p
1
，则
2
mnp
.
2
mnp
3
.
若
有
理
数
a
,
b
,
c
在
数
轴
上
的
对
应
的
位
置
如
下
图
所
示
，
则
c
1
a
c
a
b
化
简
后
的
结
果
是
.
4
.
已知正整数
a
,
b
满足
b
2
b
2
0
，
a
b
a
b
0
，且
a
b
，则ab
的值是
.
（四川省竞赛试题）
5
.
已知
a
1< br>,
b
2
,
c
3
,
且< br>a
b
c
，那么
a
b
c
.
2
6
.
如图，有理数
a
,
b
在数轴上的位置如图所示：
则在
a
b
,
b
2< br>a
,
b
a
,
a
b
,< br>a
2
,
b
4
中，负数共有（
）
A
．
3
个
B
．
1
个
C
．
4
个
D
．
2
个
（湖北省荆州市竞赛试题）
7
.
若
a
8
,
b
5
，且
a
b
0
，那么
a
< br>b
的值是（
）
A
．
3
或
13
B
．
13
或－
13
C
．
3
或－
3
D
．－
3
或－
13
8
.
若m
是有理数，则
m
m
一定是（
）
A
．零
B
．非负数
C
．正数
D
．负数
9
.
如果
x
2
x
2
0
，那么
x
的取值范围是 （
）
A
．
x
2
B
．
x
2
C
．
x
2
D
．
x
2
10
.
a
,
b
是有理数，如果
a
b
a
b
，那么对于结论（
1
）
a
一定不是负数；
（
2
）
b
可能是负数，其中
（
）
A
．只有（
1
）正确
B
．只有（
2
）正确
C
．
（
1
）
（
2
）都正确
D
．
（
1
）
（
2
）都不正确
（江苏省竞赛试题）
11
.
已知
a
,
b
,
c
是非零有理数，且
a
b
c
0
，求
a
b
ab
b
c
b
c
c
a
ca
的值
.
12
.
已知
a
,
b
,
c
,
d
是有理数，
a
b
9
,
c
d
16
，且
a
b
c
d
25
，求
b
a
d
c
的值
.
（希望杯邀请赛试题）
B
级
1
.
若
2
x
5
，则代数式
x
5
x
< br>5
x
2
2
x
x< br>x
ab
的值为
.
1
1
1
的
值
(
a
1
)(
b
1
)
(
a
2
)(
b
2
)
(
a
2002
) (
b
2002
)
2
2
.
已
知< br>a
1
ab
2
0
，
那
么
1
为
.
3
.
数
a
在数轴上的位置如图所示，且
a
1
2
，则
3
a
7
.
（重庆市竞赛试题）
4
.
若
ab
0
，则
a
a
b
b
ab
ab
的值等于
（五城市联赛试题）
< br>5
.
已知
(
x
5
)
y
y
6
0
，则
y
2
2
2
1
xy
x
2
x
3
.
5
（希望杯邀请赛试题）
6
.
如果
0
p
15
，那么代数式< br>x
p
x
15
x
p
15
在
p
≤
x
≤
15
的最小值（
）
A
.
30
B
.
0
C
.
15
D
.
一个与
p
有关的代数式
7
.
设
k
是自然数，且
ka
b
0
，则< br>a
a
1
2
等于（
）
b
b
A
.
3
B
.
2
C
.
3
3
2
D
.
2
k
k
（创新杯邀请赛试题）
8
.
已知
0
a
4
，那么
a
2
3
a
的最大值等于（
）
A
．
1
B
．
5
C
．
8
D
．
9
（希望杯邀请赛试题）
9< br>.
已知
a
,
b
,
c
都不等于零，且
x
a
b
c
abc
，根据
a
,
b
,
c
的不同取值，
x
有（
）
a
b
c
abc
A
．唯一确 定的值
B
．
3
种不同的值
C
．
4
种不同的值
D
．
8
种不同的值
10
.
满足
a
b
a
b
成立的条件是（
）
A
．
ab
0
B
．
ab
1
C
．
ab
0
D
．
ab
1
（湖北省黄冈市竞赛试题）
11
.
有
理
数
a
,
b
,
c
均
不
为
0
，
且
a
b
c
0
，
设
x
a
b
c
b
c
b
c
a
b
，
试
求
代
数
式
x
19
99
x
20 00
的值
.
（希望杯邀请赛训练题）
专题
04
初识非负数
例
1
－
2
或－
8
例
2
B
提示：｜
a
－
b
｜，｜
a
－
c
｜ 中必有一个为
0
，一个为
1
，不妨设｜
a
－
b｜＝
0
，｜
a
－
c
｜＝
1
，
则
a
＝
b
，｜
b
－
c
｜＝
1，原式＝
0
＋
1
＋
1
＝
2
．
例
3
6
提示：由题意得
x
1
＝
1
，
x
2
＝
1
，
…
，
x
2003
＝
2003
，原式＝
2
－
2
2
－
2
3
－
…
－
2
2002
－2
2003
＝
2
2003
－
2
2002
－
…
－
2
3
－
2
2
＋
2
＝
2
2002
（
2
－
1
）－
2
2001
－
…
－
2
2
＋
2
＝
2< br>2002
－
2
2001
－
…
－
2
2
＋
2
＝
…
＝
2
4
－
2
3
－
2
2
＋
2
＝
2
3
（
2
－
1
）－
2
2
＋
2
＝
2
3
－
2
2
＋
2
＝
6
．
例
4
－
1
或
7
提示：分下列四种情形讨论：
（
1
）若
a
，b
，
c
均为正数，则
ab
>0
，
ac
>0
，
bc
>0
，原式＝＝
7
；
（2
）若
a
，
b
，
c
中恰有两个正数，不失一般 性，可设
a
>0
，
b
>0
，
c
<0
，则
ab
>0
，
ac
<0
，
bc
<0< br>，
abc
<0
，
则原式＝－
1
；
（
3
）若
a
，
b
，
c
中只有一个正数，不 失一般性，可设
a
>0
，
b
<0
，
c
<0
，则
ab
<0
，
ac
<0
，
bc
>0
，
abc
>0
，
则原式＝－
1
；
< br>（
4
）若
a
，
b
，
c
均为负数，则
ab
>0
，
bc
>0
，
ac
>0
，
abc
<0
，原式＝－
1
．
例
5
根据绝对值的几何意义，题意可理解为
“
从数轴上点
1
出发，每次走一个整点，分别到达点
2
，点
3
，点
4
，点
5
，点
6
，最后回到点
1
，最少路程为多 少
?”
为避免重复，从左到右走到
6
，再从右到左
走到
1< br>为最短路线，取
x
1
＝
1
，
x
2
＝
2
，
x
3
＝
3
，
x
4
＝
4
，
x
5
＝
5
，
x
6
＝
6
，则
S
＝
1
＋
1
＋
1
＋
1
＋
1
＋
5
＝
10
，
（也可以 取
x
1
＝
1
，
x
2
＝
4
，
x
3
＝
6
，
x
4
＝
5
，
x
5
＝
3
，
x
3
＝
2
）
．
例
6
根据｜
2
a－
b
－
1
｜＝
0
知
2
a
－< br>b
－
1
＝
0
，即
b
＝
2
a
－
1
．代人原式中，得（
3
a
－
1
）2
＋｜
2
a
＋
4
｜＝
2
a
＋
4
．对
3
a
－
1
的取值分情况讨论为：
1
（
1
）
当
3
a
－
1
＞
0
，
即
a
＞
时，
∵
（
3
a
－
1
）
2
＞
0
，
｜
2
a
＋
4
｜＞
0
，
2
a
＋
4
＞
0
．
∴
（
3
a
－
1
）
2
＋｜
2
a
＋
4
｜
3
＞
2a
＋
4
，矛盾．
1
（
2
）当
3
a
－
1
＜
0
，即
a
＜
时，① 若
2
a
＋
4≤0
，而（
3
a
－
1
）
2
＋｜
2
a
＋
4
｜＞
0
，矛盾．②若
2
a
＋
4
＞
0
，
3
2
则（
3
a
－
1
）
＋｜
2
a< br>＋
4
｜＞
2
a
＋
4
，矛盾．
1
1
（
3
）当
3
a
－
1
＝< br>0
，即
a
时，
（
3
a
－
1
）
2
＋｜
2
a
＋
4
｜＝
2a
＋
4
成立，得
b
＝－
．
3
3
1
1
1
综上可知
a
＝
，
b
＝ －
，
ab
＝－
．
3
3
9
A
级
2
1
．
（
4
）
2
．－
3
3
．
1
－
2
c
＋
b
提示：－
1<
c
<0<
a
<
b
∴
c
－
1<0
，
a
－
c
>0
，< br>a
－
b
<0
．∴原式＝
1
－
c
＋< br>a
－
c
＋
b
－
a
＝
1
－< br>2
c
＋
b
．
4
．
2
< br>提示：原式变形为｜
b
－
2
｜＝
2
－
b，
｜
a
－
b
｜＝
b
－
a
．< br>
∴
b
－
2≤0
，
a
－
b
≤0
．又∵
a
≠
b
，∴
a
<
b
≤ 2
．又∵
a
，
b
为正整数，故
a
＝
1，
b
＝
2
．
5
．
4
6
．
A
7
．
A
8
．
B
9
．
D
10
．
A
11
．－
1
提示：
a
，
b
，
c
中不能全为正值，也不能全为负数，只能是一正 二负或二正一负，原式值都为
－
1
．
12
．∵｜
a
－
b
｜
<9
，
｜
c
－
d
｜
≤16
，故｜
a
－
b
｜＋｜
c
－d
｜
<25
．
又∵
25
＝｜
a－
b
－
c
＋
d
｜＝｜
(
a
－
b
)
＋
(
d
－
c
)
｜
≤
｜
a
－
b
｜＋｜
c
－
d
｜
<25
，
∴｜
a
－
b
｜＝
9
，
｜
c
－
d
｜
＝
16
，故原式＝
9
－
16
＝－
7
．
B
级
2
003
3
．
2
4
．
1
或－
3
5
．－
94
2
004
6
．
C
提示：利用绝对值的几何意义， 结合数轴进行分析，当
x
取
15
时，原式有最小值
15
．< br>
|
a
-
k
|
a
||+||
a|+2ka
|
7
．
A
提示：
b
＝－
ka
且
k
>0
．故｜
b
｜
＝< br>k
｜
a
｜
，
代人原式中，原式＝
．
k
|
a
|
|
(
k
1)
a|
+
|
(2
k
+1)
a
|
(
k
1)
a
+
(2
k
+1)
a
当
a
＞
0
时，原式＝
=
=
3
；
< br>ka
ka
|
(
k
1)
a
|
+
|
(2
k
1)
a
|
(< br>k
1)
a
(2
k
1)
a
当
a
＜
0
时，原式＝
=
=
3
．
ka
ka
故原式＝
3
．
8
．
B
提示：分
0≤
a
≤2
，
2<
a
≤3
，
3<
a
≤4
三种情况讨论．
9
．
B
10
．
C
1
．
1
2
．
11
．提示：
a
，
b
，< br>c
中不能全同号，必一正二负或二正一负，得
a
＝－
(
b＋
c
)
，
b
＝－
(
c
＋
a< br>)
，
c
＝－
(
a
＋
b
)
， 即
a
b
c
|
a
|
|
b
|
|
c
|
，
，
中必有两个同号，另一个符号
1
，
1
，
1
，∴< br>b
c
a
c
b
a
a< br>
c
b
a
b
c
与其相反，即其 值为两个＋
1
，一个－
1
或两个－
1
，一个＋
1< br>，
1
＝
1
，原式＝
1902
．
专题
5
数与形的第一次联姻
阅读与思考
数学是研究数和形的学科，
在数学里数和形是有密切联系的，< br>我们常用代数的方法来处理几何问题；
反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路 ，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，
是一种重要的数学思想．
运用数形结合思 想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要
体现在一下几个方面：
1
．利用数轴能形象地表示有理数；
2
．利用数轴能直观地解释相反数；
3
．利用数轴比较有理数的大小；
4
．利用数轴解决与绝对值相关的问题．
例题与求解
【例
1
】
已知数轴上有
A
，
B
两点，
A
，
B
之间的距离为
1
，点
A< br>与原点
O
的距离为
3
，那么所有满足
条件的点
B与原点
O
的距离之和等于
_____________
．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
解题思路：
确定
A
，B
在数轴上的位置，求出
A
，
B
两点所表示的有理数．
【例
2
】
在数轴上和有理数
a,
b
,
c
对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：
①
abc
0
，②
a
b
b
c
a
c
，③
(
a
b
)(
b
c
)(
c
a)
0
，④
a
1
bc
， 其中，正确的结论
有（
）个．
A
．
4
B
．
3
C
．
2
D
．
1
（
“希望杯”邀请赛试题）
解题思路
：从数轴上得到
a
1
0< br>
b
c
1
，再对代数式进行逐以一判断．
【例
3
】
如图所 示，已知数轴上点
A
,
B
,
C
所对应的数
a
,
b
,
c
都不为
0
，且
C
是
A B
的中点．如
果
a
b
a
2
c
b
2
c
a
b
2
c
0
，试确定原点
O
的大致位置．
解题思路
：从化简等式入手，而
c
【例
4
】
（
1
）阅读下面材料：
点
A
,
B
在数轴上分别表示实数
a
,
b
,
A
,
B
两点之间的距离表示为
AB
．
当
A
,
B
两点中有一 点在原点
时，
当
A
、
B
两点都不在原点时，
a
b
是解题的关键．
2
①如图
2，点
A
、
B
都在原点的右边
|
AB
|
＝
|
OB
|
－
|
OA
|
＝
|b
|
－
|
a
|
＝
b
－
a＝
|
a
－
b
|
；
②如图
3
，
点
A
、
B
都在原点的左边，
|
AB|
＝
|
OB
|
－
|
OA
|
＝
|
b
|
－
|
a
|
＝
b
－
a
＝
|
a
－
b
|
；
③如图
4
，
点
A
、
B
在原点的两边，
|
AB< br>|
＝
|
OB
|
－
|
OA
|
＝
|
b
|
－
|
a
|
＝－
b
－（－
a
）＝
|
a
－
b
|
；
综上，数轴上
A
、
B
两点之间的距离
|
AB
|
＝
|
a
－
b
|
．
（
2
）回答下列问题：
①数轴上表示
2
和
5
的两点之间的距离是
_________
，数轴上表示－
2
和－
5
的两点之间的距离是
______________
，数轴上表示
1
和－
3
的两点之间的距离是
________________
；
②数轴上表示
x
和－
1
的两点
A
和B
之间的距离是
______________
，
如果
|
AB
|
＝
2
，
那么
x
为
_______ __
；
③当代数式
|
x
＋
1
|
十
|
x
－
2
|
取最小值时
________
，相应的
x
的取值范围是
___________
．
④求
x
1
x
2
x
3
...
x
199 7
的最小值
．
（江苏省南京市中考试题）
解 题思路：
通过观察图形，阅读理解代数式
a
b
所表示的意义，来回 答所提出的具体问题．
【例
5
】
某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有 电脑
15
，
7
，
11
，
3
，
14
台，
现在为使各校电脑台数相等，
各调几台给邻校，
现规定一小给二小，二小给三小，
三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？
（湖北省荆州市竞赛试题）
解题思路
：通过设未知数，把调动的 电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问
题转化为求
y
x
a
1
x
a
2
•
•
•
x
a
n
的最小值．
【例
6
】
如图，
A是数轴上表示－
30
的点，
B
是数轴上表示
10
的点，
C
是数轴上表示
18
的点，
点
A
,
B,
C
在数轴上同时向正方向运动．
点
A
运动的速度是
6
个单位长度
/
秒，
点
B
和点
C
运动的速度 是
3
个单位长度
/
秒．设三个点运动的时间为
t
（秒）．
（
1
）当
t
为何值时，线段
AC
＝
6
（单位长度）？
（
2
）
t
≠
5
时，设线段
OA
的中点为
P
，线段
OB
的中点 为
M
，线段
OC
的中点为
N
，求
2
PM< br>－
PN
＝
2
时
t
的值．
（湖北省荆州市竞赛试题）
解题思路：
（
1
）
A
,
B
,
C
三点在数轴上同时向正方向运动，分 别当
A
点运动到
C
点左侧和右侧两种
情况来分析求解．
< br>（
2
）
先将
P
,
M
,
N
三 个点在数轴上表示的数分别写出来，
因点
M
始终在点
N
左侧，
则分为
“点
P
在
M
,
N
左边”
，
“点
P
在
M
,
N
之间”
，
“点
P
在
M
,
N
右边”三种情况来求解．
能力训练
A
级
1
．已知数轴上表示负数有理数
m
的点是点
M
，
那么在数轴上与点< br>M
相距
m
个单位的点中，
与原点距
离较远的点对应的数是______________
．
（江苏省竞赛试题）
< br>2
．
如果数轴上点
A
到原点的距离为
3
，
点
B
到原点的距离为
5
，
那么
A
,
B
两点的距离为
______________
．
3
．
点
A
,
B
分别是数
3
，
'
1
'
'
在数轴上对应的点，
使线段
AB
沿数 轴向右移动到
A
B
的中点对应数
3
，
2
则点
A
对应的数是
________________
，点
A
移动的距 离是
____________
．
（
“希望杯”邀请赛试题）
4
．
已知
a
0
，
那么有理数
a
,
b
,
a
,
b
的大小关系是
_________________________< br>．
（
用
b
0
且
a
b< br>
0
，
“＜”号连接）
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
5
．
在数轴上任取一条长度为1999
1
的线段，
则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是
（< br>
）
．
9
（重庆市竞赛试题）
A
．
1998
B
．
1999
C
．
2000
D
．
2001
6
．
如图 ，
a
,
b
为数轴上的两点表示的有理数，
在
a
< br>b
,
b
2
a
,
a
b< br>,
b
a
中，
负数的个数有
（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
（
“祖冲之”邀请赛试题）
7
．有理数
a
,
b
,
c
在数轴上的位置如图所示，式 子
a
b
a
b
b
c
化简结果为（
）
．
A
．
2
a
3
b
c
B
．
3
b
c
C
．
b
c
D
．
c
b
8
．如图所示， 在数轴上有六个，且
AB
BC
CD
DE
EF
，则与点
C
所表示的数最接近的整数
是（
）
．
A
．－
1
B
．
0
C
．
1
D
．
2
（
“希望杯”邀请赛试题）
9
．已知
a
,
b
,
c
,
d
为有理数，在数轴上的位置如图 所示：
且
6
a
6
b
3
c
4
d
6
，求
3
a< br>
2
d
3
b
2
a
< br>2
b
c
的值．
10
．电子跳蚤落在数轴上的某点
K
o
，第一步从
K
o
向左挑 一个单位到
K
1
，第二步由
K
1
向右跳
2
个单位
到
K
2
，第三步由
K
2
向左跳
3< br>个单位到
K
3
，第四步由
K
3
向右跳
4个单位到
K
4
，…，按以上规律跳了
100
步时，
电子 跳蚤落在数轴上的点
K
100
所表示的数恰是
19
.
94< br>．
则电子跳蚤的初始位置
K
o
点所表示的
数是
___ ______________
．
11
．如图，已知
A
,
B
分别为数轴上两点，
A
点对应的数为－
20
，
B
点对应的数为
100
．
（
1
）求过< br>A
,
B
中点
M
对应的数．
（
2< br>）
现有一只电子蚂蚁
P
从
B
点出发，
以
6< br>个单位
/
秒的速度向左运动，
同时另一只电子蚂蚁
Q
恰好从< br>A
点出发，以
4
个单位
/
秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁 在数轴上的
C
点相遇，求
C
点对应的数．
（
3< br>）
若当电子蚂蚁
P
从
B
点出发时，
以
6个单位
/
秒的速度向左运动，
同时另一只电子蚂蚁
Q
恰好从A
点出发，以
4
单位
/
秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在 数轴上的
D
点相遇，求
D
点对应的数．
B
级
1
．有理数
a
,
b< br>,
c
在数轴上的位置如图所示：
则化简
a
b
b
1
a
c
1
c
的结果为
_____________________
．
2
．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“
93
，构
站台
”的镜头（如示意图中
M
站台）
4
思奇妙，给观众留下深刻的印象．若
A
,
B
站台分别位于－
2
，－
1
处，
AN
2
NB
，则
N
站台用类似电
影里的方法称为“
_________________
站台”
（
《时代学习报》数学文化节试题）
3
．在数轴上 ，若
N
点与原点
O
的距离是
N
点与三〇若对应的点之间的距 离的
4
倍，则
N
点表示的数
是
_____________ ____
．
（河南省竞赛试题）
4
．若
a
0
,
b
0
，则使
x
a
x
b
a
b
成立的
x
的取值范围是
__________________
．
（武汉市选拔赛试题）
5
．如图，直线上有三个不同的点
A
,
B
,
C
，且
AB
BC
，那么，到< br>A
,
B
,
C
三点距离的和最小的点为（
）
．
A
．
B
点外
B
．线段
AC
的中点
C
．线段
AC
外一点
D
．
无穷多个
（
“希望杯”邀请赛试题）
6
．点
A
1
,
A
2
,
A
3
,
,
A
n
(
n
为正整数
)
都在数轴上，点 在原点
O
的左边，且
A
1
O
1
，点A
2
在点
A
1
的右
边，且
A
2
A
1
2
，点
A
3
在点
A
2< br>的左边，且
A
3
A
2
3
，点
A< br>4
在点
A
3
的右边，且
A
4
A
3< br>
4
，
•
•
•
，依
照上述规律，点
A
2008
,
A
2009
所表示的数分别为（
）
．
A
．
2008
，－
2009
B
．－
2008
，
2009
C
．
1004
，－
1005
D
．
1004
，－
1004
（福建省泉州市中考试题）
7
．设
y
x
1
x
1
，则下列四个结论中正确的是（
）
．
A
．
y
没有最小值
B
．只有一个
x
使
y
去最小值
C
．有限个
x
（不止一个）使
y
去最小值
D
．有无穷多个
x
使
y
取最小值
（全国初中数学联赛试题）
8
．
如图，
数轴上 标出若干个点，
每相邻两个点相距
1
个单位，
点
A
,
B
,
C
,
D
对应的数分别是整数
a
,
b
,
c
,
d
，
且
b
2
a
9
，那么数轴的原点对应点是（
）
．
A
．
A
点
B
．
B
点
C
．
C
点
D
．
D
点
（
“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）
9
．已知
x
2
1
x
9
y
5
1
y
，求
x
y< br>的最大值和最小值．
（江苏省竞赛试题）
10
．
如图，
在环形运输线路上有
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
六个仓库，
现 有某种货物的库存量分别是
50
吨、
84
吨、
80
吨、70
吨、
55
吨和
45
吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每 个仓库的存货量相等，但每个仓库只
能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的 调运量．