浅谈三角形面积计算方法 毕业论文
温柔似野鬼°
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2021年01月31日 12:15
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浅谈三角形面积计算方法
学生
（理学院数学与应用数学专业
2008
级
1
班
,
学号
:
）
指导教师
:
摘要：
系统的阐述了三角形面积公式的由来及演变，
结合中学知识加以应用，
并对公 式进行
拓展，寻求新的证明公式的方法．
关键词：三角形；
面积；公式
引言
众所周知，
数学作为一门科学，
它是凝结了人类几千年智慧的结晶。
与
其它
学科相比，
数学的积累性很强，
它的许多重大理论都是在原有理论的基础上继承
和发展起来的，
如果我们不去追溯古今 数学思想方法的演变与发展，
也就不可能
真正了解数学的真谛。法国著名数学家庞加莱曾说：< br>“如果我们想要预知数学的
未来，最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。
”
[1]
所以要正确研究
数学问题，首先要先了解其思想来源，这样才能正确的把握数 学发展方向。
在数学的平面几何学中，
所有的平面封闭图形的面积均可近似化成若干 个矩
形面积与若干个三角形面积的和或差，
所以研究三角形的面积计算方法就成为几
何 学中不可或缺的一部份。
三角形作为平面几何中最简单的基本图形，
在学习及
日常生活 中有广泛的应用。
许多人对三角形面积公式很熟悉，
但对于日常生活中
有关面积的测算 却时常会感到束手无策。
其原因之一是对三角形其中所含的数学
思想认识不足，
对三角 形面积公式的由来及演变不清楚，
因此了解三角形面积公
式的由来就显得举足轻重了。
一
.
三角形面积公式的由来
人们对事物的认识总是遵循着从特 殊到一般的规律。矩形是日常生活中常
见且应用广泛的图形，它的面积为底
高，而三 角形的面积公式则可由矩形的面
积公式推导，但推导三角形的面积公式首先要推导出直角三角形的面积公 式。
若一个直角三角形的两条直角边分别为
a
，
b
，则可将两个这样的三角形拼
成一个长和宽分别为
a
，
b
的矩形。 换句话说，一个矩形可以由一条对角线分解
为两个完全相同的直角三角形。所以直角三角形的面积公式< br>
1
1
S
=
a
b
2
对于任意三角形，
可以通过任意一边上的高把它变成两个直角三角形的和或
差。如图
1-1
，由直角三角形的面积公式，可得出任意三角形的面积为
1
底
高。
2
记
ABC
的三角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
，
三条边上的高分别为
h
a
，
h
b
，< br>h
c
，
即
1
1
S
A
B
=
C
a
h
a
2
2
A
A
b
h
b
1
c
h
(1)
c
2
C
H
B
H
B
C
图
1-1
S
ABC
S
Rt
AHB
S
Rt
AHC
S
A BC
S
Rt
AHC
S
Rt
AHB
以上就是对三角形面积公式的由来进行了简单的介绍。
（参见文献
[2]
）
二．
三角形面积公式的演变
三角形面积的计算不仅是中学平面几何中的重要内容，
而且在日常生活和科
学技术中也有着广 泛的应用，现将几种常见的三角形面积公式归类总结如下：
1.
已知三角形底为< br>a
，高为
h
，则
S
1
ah
.
2
在了解三角形面积公式的由来中，
我们已经基本了解了求三角形面积最基本< br>的公式，即
S
公式。
方法一：
“割补”法（参见文献
[3]
）
如图
2 -1
，选取两个完全相同的三角形，将其中一个三角形作高并沿着高将
其剪成两个小三角形，< br>然后将剪得的两个小三角形和另一个大三角形拼成一个长
方形。
经过观察可发现，
原三角形的底相当于长方形的长，
原三角形的高相当于
长方形的宽，
即长方形的面积 是三角形面积的
2
倍，
所以三角形的面积
=
1
底
高．
2
1
，下面我们将从不同的角度来推导该
ah
（其中底为
a
，高为
h
）
2
2
图
2-1
方法二：“折叠”法（参见文献
[3]
）
如图
2-2
，将一个三角形折叠成一个长方形。
图
2-2
整理可得
长方形的面积
=
（ 底
2
）
（高
2
）
三角形的面积
=
（底
2
）
（高
< br>2
）
2
=
底
高
2< br>
方法三：
“倍拼”法（参见文献
[3]
）
如图< br>2-3
，沿三角形的中位线，将其剪成一个小三角形和一个梯形，把剪得
的小三角形和梯 形拼成平行四边形。
经观察发现，
所得的平行四边形的高是原三
角形高的一半。因为平 行四边形的面积
=
底
（高
2
）
，所以 ，三角形的面积
=
底
高
2
．
图
2-3
而在三角形面积公式的推导中，
我们常将其转化成数学 语言来表示，
下面是
由平行四边形的面积推出任意三角形的面积公式。
< br>在平行四边形
ABCD
中，作
AE
CD
，
BF
CD
，则
AED
BFC，故
S
平行四边形
ABCD
=
S
矩形
AEFB
AB
BF
.
3
A
D
B
F
E
图
2-4
C
连结
AC
，则
ABC
ADC
，
故
S
ABC
1
1< br>
S
平行四边形
ABCD
底
高
．
2
2
2.
根据三角函数求面积
已 知
ABC
的三个角分别为
A
,
B< br>,
C
，其对边分别为
a
,
b
,
c
,
根据三角形高与边角之间 的函数关系
h
a
c
sin
B
b
sin
C
，代入（
1
）
，便得
S
ABC
3.
海伦公式
在
ABC
中，
S
ABC
p
(
p
a
)(
p
< br>b
)(
p
c
)
a
b
c
．
2
1
(
a
b
c
)(
a
b
c
)(
a
c
b
)(
b
c
a
)
4
1
1
1
ab
s
i
n< br>C
bc
s
A
i
n
ca
2
2
2
B
s
i
n
（
2
）
其中
p
海伦公式是利用三角形 的三条边求三角形的面积，
据说是希腊的数学家海伦
提出，
而据阿拉伯数学家比鲁尼称 该公式最初是源于阿基米德，
虽然这个考证也
得到了公认，但人们还是习惯称该公式为海伦公式 。
由于任意
n
边的多边形都可以分割成
n
< br>2
个三角形，
所以可以利用海伦公式
求多边形面积。
4.
秦九韶三斜求积公式
已知
ABC
三边
a
,
b
,
c
则
S
ABC
宋秦九韶）。< br>
在我国数学历史上，
南宋著名的数学家秦九韶在所著
《数书九章》
中 给出了
另一个用三角形三边来求三角形面积的公式——三斜求积术，
秦九韶的三斜求积
术比海伦公式约早
600
年。
1
2
2
a
2
b
2
c
2
2
a
b
(
)
（
“
三斜求积
”
，
南
2
2
4
秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，
“术”即方法，三斜
求积术就是：以小斜 幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜
幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平 方得积。
[4]
证明：由（
2
）式两边平方，得
S
2
1
2
2
2
1
a
b
sin
C
a
2
b
2
(1
cos
2C
)
4
4
(
a
2
b2
c
2
)
由余弦定理知，
cos
C
，代入上式，得
2
ab
S
ABC
称为秦九韶三斜求积公式。
若将
S
2
弦定理，得
1
2
2
a
2
b
2
c
2
2
a
b
(
)
（
3
）
2
2
1
2
2
1
a
b
(1
cos2
C
)
变形为
S
2
a
2
b
2
(1
cos
C
)(1
cos
C
)
，再应用余
4
4
1
1
(2
ab
a
2
b
2
c
2
)(2
ab
a
2
b
2
c
2
)
[(
a
b
)
2
c
2
][
c
2
(
a
b)
2
]
16
16
a
b
c
应用平方差公式，再令
p
，即得著名的海伦公式
2
S
2
S
p
(
p
a
)(
p
b
)(
p
c
)
.
因此我国宋代的数学家秦久韶提出的
“三斜求积术”
，
它与海伦公式基本一
样。
5.
三角形面积公式的内切圆半径表示形式
设
ABC
三边分 别为
a
,
b
,
c
,
内切圆半径为
r
,
则
S
ABC
r
(
a
b
c
)< br>a
b
c
）
rp
（其中
p
2
2
A
证明：
如图
，
O
为内切圆的圆心，
D
、
E、
F
为各边与圆
O
的
切点，则
S
S
ABO
S
ACO
+
S< br>
BCO
E
c
O
r
F
b
D
1
1
1
c
r
b
r
a
r
2
2
2
rp
B
a
C
图
2-5
5