高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式
余年寄山水
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2021年01月31日 12:39
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解斜三角形
正弦定理、余弦定理与三角形面积公式
【提纲挈领】
主干知识归纳
ABC
的
6
个基本元素：
a
,
b
,c
,
A
,
B
,
C
.
其中三内角
A
,
B
,
C
所对边边长分别为
a
,
b< br>,
c
.
1
．正弦定理
a
b
c< br>
2
R
（其中
R
是
ABC
的外接圆的半径）
sin
A
sin
B
si n
C
变式：
a
2
R
sin
A
,
b
2
R
sin
B
,
c
2
R
sin
C
2
．余弦定理
a2
b
2
c
2
2
bc< br>cos
A
，
b
2
c
2
a
2
2
ca
cos
B
，
c
2< br>
a
2
b
2
2
ab
c os
C
.
b
2
c
2
a2
c
2
a
2
b
2
b2
a
2
c
2
,
cos
B
,
cos
C
变式：
cos
A
2
bc
2
ac
2
ab
3.
三角形面积公 式
（
1
）
S
ABC
.
11
1
ab
sin
C
bc
sin
A< br>
ac
sin
B
2
R
2
sin< br>A
sin
B
sin
C
.
2
2
2
（
2
）秦九韶
—
海伦公式：
S
ABC
方法规律总结
p
(
p
a
)(
p
b
)(
p< br>
c
)
,
其中
p
a
b
c
.
2
1.
基本量观念：
ABC< br>的
6
个基本元素：
a
,
b
,
c
,< br>A
,
B
,
C
．已知三个基本量（至少一个为边）确定一个三角形，正余弦定理是“量化”依据，是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换
.
2.
方程观念：
正余弦定理和面积公式是方程的粗坯，
是解三角形的依据，
从 三角形
6
个基本元素来说是
“知
三求三”
.
有两条主线：一 是统一为边（消角）的关系，归结为边为元的代数方程；二是统一为角（消边）
的关系，归结为三角方程
.
解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
3.
转化思想：利用正余弦定理实现边角间的相互转化
.
4.
利用 正弦定理解三角形主要是以下两类：
（
1
）已知两边和一对角；
（
2
）已知两角和一边
.
利用余弦定理解三角形主要是以下两类：
（
1
）已知三边；
（
2
）已知两边及其夹角
.
对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化
.
【指点迷津】
【类型一】定理的推导与证明
【例
1】
（
2011
陕西理
18
）叙述并证明余弦定理
.
【解析】
:
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这 两边与他们夹角的余弦之积
的两倍
.
或：在
ABC
中，< br>a,b,c
为
A,B,C
的对边，有
a
2
b
2
c
2
2
bc
cos< br>A
b
2
a
2
c
2< br>
2
ac
cos
B
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
证法一
如图
uu
u
v
u
u
u
v
a
2
BC
•
BC
u
u
u
v
u
u
u
v
u
u
u
v
u
u
u
v
(
AC
AB
)
•
(
AC
AB
)
u
u
u
v
2< br>u
u
u
v
u
u
u
v
u
u< br>u
v
2
AC
2
AC
•
AB
AB
u
u
u
v
2
uu
u
v
u
u
u
v
u
u
uv
2
AC
2
AC
•
AB
COSA
AB
b
2
2
bc
cos
A
c2
即
a
2
b
2
c2
2
bc
cos
A
2
同理可证< br>b
a
2
c
2
2
ac
cos
B
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
证法二
已知
ABC
中
A,B,C
所对 边分别为
a,b,c,
以
A
为原点，
AB
所在直线为
x
轴，建立直角坐标
系，则
C
(
b
cos
A,
b
sin
A
),
B
(
c
,0),
a
2
BC
2
(
b
cos
A
c
)
2
(
b
sin
A
)
2
b
2
co s
2
A
2
bc
cos
A
c< br>2
b
2
sin
2
A
b
2
a
2
c
2
2
ac
cos
B
同理可证
b
2
c
2
a
2
2
cacos
B
,
c
a
b
2
ab
cos
C
.
2
2
2
【类型二】解三角形
【例
1
】
【
2015
湖南，文
17
】设
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,
a
b
tan
A
.
（
I
）证 明：
sin
B
cos
A
；
3
，且
B
为钝角，求
A
,
B
,
C
.
4
sin
A
sin
A
【解析】
:
（
I< br>）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得
，所以
sin
B
cos
A
；
(II)
cos
A
sin
B
(II)
若
sin
C
sin
A
cos
B
根据两角和公式化简所给条件可得
sin
C
sin
A< br>cos
B
cos
A
sin
B
3
3
2
，可得
sin
B
，结合
4
4
所给角
B
的范围可得角
B,
进而可得角
A,
由三 角形内角和可得角
C.
【答案】
（
I
）略；
(II)
o
A
< br>30
o
,
B
120
o
,
C
30.
→
→
【例
2
】
[2014·
辽宁卷
] < br>在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的 对边分别为
a
，
b
，
c
，且
a
>
c
.
已知
BA
·
BC
＝
2
，
co s
B
1
＝
，
b
＝
3.
求：
3
(1)
a
和
c
的值；
(2)cos(
B
－
C
)
的值．
→→
1
[
解析
]
：
(1)
由
BA
·
BC
＝
2
得
c
·
a
·
cos
B
＝
2
，又
cos
B
＝
，所以
ac
＝
6.
3
2
2
2
由余弦定理，得
a
＋
c
＝
b
＋
2
ac
cos
B
，又
b
＝
3
，所以a
2
＋
c
2
＝
9
＋
2
×2
＝
13.
ac
＝
6
，
a
＝
2
，
a
＝
3
，
解
2
2
得
或
a
＋
c
＝
13
，
c
＝
3
c
＝
2.
因为
a
＞
c
，所以
a
＝
3
，
c
＝
2.
2
1
2
2< br>(2)
在△
ABC
中，
sin
B
＝
1－
cos
2
B
＝
1
－
3
＝
.
3
(
)
c
2
2
2
4
2
由正弦定理，得
sin
C
＝
sin
B
＝
·
＝
.
b
3
3
9
因为
a
＝
b
＞
c
，所以
C
为锐角，
2
4
2
7
2
因此
cos
C
＝< br>1
－
sin
C
＝
1
－
9
＝
9
.
1
7
2
2
4
2< br>23
所以
cos(
B
－
C
)
＝
co s
B
cos
C
＋
sin
B
sin
C
＝
×
＋
×
＝
.
3
9
3
9
27
[
答案
]
（
1
）
a＝
3
，
c
＝
2.
（
2
）
23
.
27
A
【例
3
【
】
201 5
安徽，
理
16
】
在
ABC
中，
求
3
,
AB
6,
AC
3
2
,
点
D
在
BC
边上，
AD
< br>BD
，
4
AD
的长
.
【答案】
10
【类型三】三角形的面积
【例
1
】
（
2013
年课标
Ⅱ
卷（文）
）
△ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c,
已知
b=2,B=
,C=
,
则△
ABC
的面积为
（
）
A
．
2
+2
B
．
+1
C
．
2
-
2
D
．
-1
【解析】
：
由正弦定理有
2< br>sin
6
c
sin
4
c
2
2
，
又
sin
A
s in[
(
6
4
)]< br>
2
6
4
，
所以
S
ABC
答案：
B
1
1
2
6
bc
sin
A
2
2
2
3
1.
2
2
4
【例
2
】
【
20 15
天津，理
13
】在
ABC
中，内角
积为
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
，已知
ABC
的面
1
3
15
，
b
c
2,cos
A
,
则
a
的值为
.
4
【答案】
8
【例
3
】
[2014·
新课标全国卷Ⅰ
]
已知< br>a
，
b
，
c
分别为△
ABC
三个内角
A
，
B
，
C
的对边，
a
＝
2
，
且
(2
＋
b
)·
(sin
A
－
sin
B
)
＝
(
c
－
b
)sin
C< br>，则△
ABC
面积的最大值为
________
．
[
解析
]:
根据正弦定理和
a
＝
2
可得
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
＝
(
c
－
b
)
c
，故得
b
2＋
c
2
－
a
2
＝
bc
，根据余弦定理 得
cos
A
＝
b
2
＋
c
2
－< br>a
2
1
π
＝
，
所以
A
＝
.
根据
b
2
＋
c
2
－
a
2
＝
bc
及基本不等式得
bc
≥
2
bc
－
a
2
，
即
bc
≤
4
，
所以△
ABC
面积
2
bc
2
3
1
3
的最大值为
×
4
×
＝
3.
2
2
答案：
3
【同步训练】
【一级目标】基础巩固组
一、选择题
< br>1
设
C
的内角
，
，C
的对边分别为
a
，
b
，
c
．若
a< br>
2
，
c
2
3
，
cos
3
，且
2
b
c
，则
b
（
）
A
．
3
B
．
2
C
．
2
2
D
．
3
2
【解析】由余弦定理得：
a
b
c
2
bc
cos
，所以
2
b
2
3< br>2
2
2
2
2
2
< br>b
2
3
3
，
2
即
b< br>2
6
b
8
0
，解得：
b
2
或
b
4
，因为
b
< br>c
，所以
b
2
，故选
B
．
【答案】
B
π
2.[2014·
江西卷
]
在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别 是
a
，
b
，
c
.
若
c
2
＝
(
a
－
b
)
2
＋
6
，
C
＝
，则△
ABC
3
的面积是
(
)
9
3
3
3
A
．
3
B.
C.
D
．
3
3
2
2
a
2
＋
b
2
－
c
2
2
ab
－6
1
1
3
3
【解析】
：由余弦定理得，
cos
C
＝
＝＝
，所以
ab
＝
6
，所以
S
△
ABC
＝
ab
sin
C
＝
.
2
ab
2
ab
2
2
2
答案：
C
3.
在
△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
所对应的边为
a
,
b
,
c
， 若
cos
A
1
,
b
3
c，则
sin
C
的值为（
）
3