正、余弦定理、面积公式及其应用(解三角形)
别妄想泡我
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2021年01月31日 12:41
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正、余弦定理、面积公式及其应用（解三角形）
一、正弦定理
a
b
c
1
、
2
R
（
R
为外接圆半径）
sin
A
sin
B
sin
C
2
、正弦定理公式变形
①
a
2
R
sin
A
,
b
2
R
sin
B
,
c
2
R
sin
C
；
b
c
a
c
a
b
；
；
；
①
if
a
b
三角形有一解
②
if
a
b
无
解
题型一：正弦定理
（适用条件：至少有一组对应的角和边）
< br>1
、在△
ABC
中，已知
a=3
，
c=3
3
，∠
A=30
°，
②
sin
A
sin
B< br>sin
B
sin
C
sin
A
sin
C
③
a
sin
A
b
sin
b
sinB
；
c
B
sin
C
；
a
s in
A
c
sin
C
④
a
:< br>b
:
c
sin
A
:sin
B
:s in
C
二、余弦定理
1
、
a
2
b
2
c
2
2
ab
cos
A
b
2
a
2
c
2
2
ac
cos
B
c
2
a2
c
2
2
ab
cos
C
2
、余弦定理变形
a
2
c
2
cos
A
b
2
c
2
a
2
cos
B
b
2
2
bc
2
ac
C
b
2
a
2
c
2
cos
2
ab
三、面积公式
s
1
2
ab
sin
C
1
2
ac
si n
B
1
2
bc
sin
A
四、常见结论
1
、
A
B
C
2
、
sin(
A
B
)
sin
C
★
3
、
sin
A
sin
B
A
B
a
< br>b
五、在
ABC
中已知
a
,
b
和
A
时解的情况
原理：
1
、大边对大角
2
、
sin
B
b
sin
A< br>a
当
A
为锐角时
①
if
b
sin
A
a
sin
b
1
三角形有一解
②
if
b
sin
A
a
b
sin
b
1
三角形有两解
③
if
a
b
三角形有一解
（大边对大角）
当
A
为钝角时
求∠
C
及
b
解
∵∠
A=30
°，
a
＜
c
，
c
·
sinA=
3
3
2
＜
a
，
3
3
1
∴此题有两解．
sinC=
csinA
×
a
=
2
3
3
=
2
，
∴∠
C=60
°，或∠
C=120
°．
∴当∠
C=60
°时，∠
B=9 0
°，
b=
a
2
+b
2
=6
．
当∠
C=12 0
°时，∠
B=30
°，
b=a=3
．
2
、在△
ABC
中，已知
c=6
，
b=6
3
,
∠
C=30
°，求
a
3
、在△
ABC
中，已知
a=6
，
b=2
3
,
∠
C=60
°，求
c
4
、在△
ABC
中，
c
＝
2
3
，
b
＝
2
2
，∠
B
＝
45
°，
则∠
A
等于（
）
A
．
3
0
°
B
．
60
°
C
．
3
0°或
120
°
D
．
3
0
°或
150< br>°
5
、在△
ABC
中，已知
a=
2
，
b=2
，
∠
B=45
°，
则∠
A
等于
（
）
A
．
30
°
B
．
60
°
C
．
60
°或
120
°
D
．
30
°或
150
°
6
、 △
ABC
中，已知
a
x
,
b
2
,
B
60
°，如果△
ABC
有两组解，则
x
的取值范围
(
)
A
．
x
2
B
．
x
2
C
．
2
x
4
3
3
D
．
2
x
4
3
3