(完整版)三角形面积的向量方法
温柔似野鬼°
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2021年01月31日 12:49
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三角形面积的向量方法
向量是一个有力 的工具
,
具有代数形式和几何形式的
”
双重身份
”
,
向量在几何中以得到广泛应
用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形．向量的模与数量积运算具 有鲜明的几何背景．
u
u
u
r
r
u
u< br>u
r
r
1
公式
ABC
中，若向量
CB
a
，
CA
b
，则< br>S
ABC
2
证明
S
ABC
r
2
r
2
r
r
2
a
b< br>
(
a
b
)
．
r
2< br>r
2
r
r
2
a
b
(
a< br>
b
)
．
r
r
1
1
r< br>r
a
b
sin
a
,
b
2
2
r
2
r
2
r
r
1
2
a
b
(1
cos
a
,< br>b
)
2
１．利用公式求三角形的面积．
例
1
．
已知
ABC
，点
A
(1,1)
，
B
(4,
2)
，
C
(3,5)
，求
ABC
的面积．
u
u
u
r2
u
u
u
r
2
u
u
u
ru
u
u
r
u
u
u
r
u
uu
r
解：∵
AB
(3,1)
，
AC
(2,
4)
，∴
AB
10
，
AC
20
，
AB
AC
10
，
∴
S
ABC
1
2
u
u< br>u
r
2
u
u
u
r
2
u
u< br>u
r
u
u
u
r
2
1
AB
A C
(
AB
AC
)
10
< br>20
100
5
．
2
u
u
u
r
u
u
u
r
0
0
0
0
例
2
．
已知
ABC
中，向量
BA< br>
(cos
23
,cos
67
)
，
BC
(2cos
68
,
2cos
22
)
，求
ABC
的
面积．
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
0
0
0
0
解：由已知，得
BA
< br>(cos
23
,sin
23
)
，
BC
(2sin
22
,
2cos
22
)
，∴
BA< br>
1
，
BC
2
，
u
u
u
r
u
u
u
r
0
0
0
0
0
∴
BC
BA
2(sin
22
cos
23
cos
22
sin
23
)
2sin
45
2
．
∴
S
ABC
1
2
u
u
u
r
2
u
u
u
r
2
u
u
u
r
u
u
u
r
2
BC
BA
(
BC
BA
)
2
．
2
２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值．
例
3
．
平面直角坐标系内有点
P
(sin
x
,cos
x
)
，
Q
(cos
x
,sin
x
)
，x
[
求
OPQ
面积的最值．
,
]
，
O
为坐标原点，
24
12
解：
S
OPQ
1
2
u
u
u
r
2
u
u
u
r
2
u
u
u
r
u
u
u
r
2
1
1
1
OP
OQ
(
OP
OQ
)
< br>1
(2sin
x
cos
x
)
2
1
sin
2
2
x
cos
2< br>x
．
2
2
2