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2021年1月31日发(作者：一本正经的意思)






今天我们研究双曲线焦点三角形的 面积。

PF
1
F
2
由两焦点和双曲线上一点形成，我们把
2
这种三角形叫焦点三角形
.
若

F
1
P F
2


，则焦点三角形的面积
S

F
1
PF
2

b
cot

2
。
x
2
y
2
例
:
设双曲线方程为
2
< br>2

1
,
F
1
,
F
2
分别 为它的左右焦点，
P
为双曲线上异于实轴端点的
a
b
任意一点，若

F
1
PF
2


则
S< br>
F
1
PF
2

b
cot
证明：记
|
PF
1
|

r
1
,
|
PF
2
|

r
2
，

2
2
由双曲线的第一定义得：
|
r
1

r
2
|

2
a
,

(
r
1

r
2
)

4
a
.

2

2
。
特别地，
当

F
1
PF
2

90
时，
有
S

F
1
PF
2
< br>b
。

2
在△
F
1
PF
2
中，由余弦定理得：

r
1

r
2

2< br>r
1
r
2
cos


(
2
c
)
2
.

2
2
配方得：
(
r< br>1

r
2
)

2
rr
1
2

2
rr
1
2
cos


4c
.

2
即
4
a
2

2rr
1
2
(1

cos

)

4
c
.

2
2
2(
a
2
c
2
)
2
b
2

r
1
r2


.

1

cos

1

cos

由任意三角形的面积公式得：

S
< br>F
1
PF
2
2sin
cos
1
sin

b
2
2
2
2
2
.

r1
r
2
sin


b


b




2
1

cos

2sin
2
tan
2
2
b
2
tan
< br>

S

F
1
PF
2


2

y
2
x
2
同理可证，在双曲线
2
2

1
（
a
＞
b
＞
0）中，公式仍然成立
.
a
b

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