不定式方程
玛丽莲梦兔
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2021年02月01日 00:02
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不定式方程
一：不定方程
知识精讲
一．不定方程的定义
1
．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的
解不唯一，所以 也叫做二元一次不定方程．
2
．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一．
二．不定方程的解法及步骤
1
．常规方法：观察法、试验法、枚举法．
2
．多元不定方程解法 ：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知
数，
这样就把三元一次方程变成二元一 次不定方程，
按照二元一次不定方程解即
可．
3
．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．
三．解不定方程的步骤
1
．列方程．
2
．消元．
3
．写出表达式．
4
．确定范围．
5
．确定特征．
6
．确定答案．
四．技巧总结
1
．写出表达式 的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考
虑用范围小的未知数表示范围大的未知数 ．
2
．消元技巧：消掉范围大的未知数．
三点剖析
题模精讲
题模一
不定方程的计算
（
1
）
；（
2
）
．
；（
3
）
；（
4
）
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）无整数解
（
1
）
，
，所以
，即
得
，
（
2
）
（
3
）
，
，
，所以
， 所以
，
，
．
．
（
4
）
整数解．
，
，
所以
．
无
已知△和☆分别表示两个自然数，并且
，则△
+
☆
=__________
．
5
依题意得
11
△
+5
☆
= 37
，易知其自然数解为△
=2
，☆
=3
．所以△
+
☆
=5
．
有三个分子相同的最简假分数，化成带分 数后为
．已知
a
，
b
，
c
都小
于
10
，
a
，
b
，
c
依次为
_______ ___
，
__________
，
__________
．
7
，
3
，
2
由题意有
．解这个不定方程，得
．
已知
代表两位整数，求方程
的解．
题模二
不定方程的应用
有
150
个乒乓球分装在大、
小两种盒子里，
大盒每盒装
12
个，
小盒每盒装
7
个．问：
需要大盒子
__________
个、小盒子
__________
个，才能恰好把这些球装完．
大盒
9
个，小盒
6
个或者大盒
2
个，小盒
18
个
设需 要
x
个大盒子，
y
个小盒子，依题意得：
，解得
，
．所以需要大盒
9
个，小盒
6
个或者大盒
2
个，小盒
18
个．
某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女 职工，并且有
的职工各带一
个孩子参加．
男职工每人种
13
棵树，< br>女职工每人种
10
棵树，
每个孩子种
6
棵树，
他们一 共种了
216
棵树．请问：其中有
__________
名男职工．
12
名
设有
x
名男职工，
y
名女职工，则孩子有
名，依题意得：
，整理得：
，化简得
，解得
，
，
，其中只有
时
才是整数，所以有
12
名 男职工．
有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲
1
件 、乙
5
件、丙
1
件、丁
3
件共需
195
元 ；若购买甲
2
件、乙
1
件、丙
4
件、丁
2
件共需
183
元；若购买甲
2
件、乙
6
件、丙
6< br>件、丁
5
件共需
375
元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元
81
元
设购买甲一件要
x
元，乙一件要
y
元，丙一件要
z
元，丁一件要
w
元，依题
意得：
注意到题目要求的是
想办法整体求出．
观察发现要直接凑出
可以求出
，
，
所以完全可 以不求
x
、
y
、
z
、
w
分别是多少，或它的倍数并不容易，一个比较明显的是
可以用来调整
x
和
z
的 系数．接着
，
得
，所以
可以让
y
和
w< br>的系数变的一样，得
．故现在购买甲、乙、
得到
丙、丁各一件共需< br>81
元．（当然本题可以直接看出
）
将一根长 为
380
厘米的合金铝管截成若干根长为
36
厘米和
24
厘 米两种型号的短
管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米
8
厘米
设已经截出了
根长
36
厘米的 管子和
根长
24
厘米的管子，那么被截出的
管子一共长
厘米．
由
，
得：
一定是
12
的倍数．
而
380
不是
12
的倍数，
所以
被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢
由于
是没有自然数解的！
管子不可能刚好
一定是
12
的倍数，小于
380
且能被
12
整除的最大自然数是
372
，< br>而
的自然数解是存在的，
如
，
也就是截出
1
根长36
厘米
的管子和
14
根长
24
厘米的管子，
能够使得截出的管子总长度达到最大值
372
厘米．所以剩余部分最少是
厘米．
有纸币
60
张，其中
1
分、< br>1
角、
1
元和
10
元各有若干张．请你判断：这些纸币
的总面值能否恰好是
100
元
不能
设
1
分的有
x
张，
1
角的有
y
张，< br>1
元的有
z
张，
10
元的有
w
张，依题意得
，
得
，
很明显等号
左边是
9
的倍数，而 等号右边不是
9
的倍数，所以无自然数解，故这些纸币
的总面值不能恰好是
1 00
元．
现有一架天平和很多个
13
克和< br>17
克的砝码，
用这些砝码，
不能称出的最大整数
克重量是多少（砝码 只能放在天平的一边）
191
设用了
x< br>个
13
克的砝码，
y
个
17
克的砝码，要称的重量为
c
克，依题意，
就是求使
结论，
c
最大取
出的最大 整数克重量是
191
克．
无自然数解的
c
的最 大值．
利用拓展
14
解法二中提到的
时，
无自然数解，所以不能称< br>
现有升和
4
升的两个空桶和一个大桶里的
100
升汽油，用 这两个空桶要倒出
1
升汽油，至少需要倒多少次
26
次
依题意，
模拟的倒几次后会发现，
本题 和不定方程：
的解有关系．先解出这两个不定方程：
的解为：
和
的解为：
其中，
这个解明显要小，下面解释一下它的含义．
先看它对应的过程：
6
、升倒入
4
升中，还剩 升；
7
、
4
升的倒入大桶里；
8
、升倒入
4
升；
9
、倒满升；
10
、升倒入
4
升；
11
、倒满升；
12
、升倒入
4
升，还剩升；
13
、
4
升的倒入大桶里；
14
、升倒入
4
升；< br>
15
、倒满升；
16
、升倒入
4
升；
17
、倒满升；
18
、升倒入
4
升；
19
、 倒满升；
20
、倒入
4
升，还剩升．
21
、
4升的倒入大桶里；
22
、升倒入
4
升；
23
、倒满升；
24
、倒入
4
升；
25
、倒满升；
26
、倒入
4
升，还剩
1
升．
可以看出，每次从大桶 中倒入两个小桶的都是升，每次从两个小桶中倒回大
桶的都是
4
升，所以两个小桶中量 出的
1
升可以看做是，倒进的减去倒出的
4y
的差．
那么就得到了上 面的不定方程．
另一个不定方程同理也很容易想明
白．
某校开学时，七年级新生人数在
500
～
1000
范围内，男、女生的比例 为
八年级时，由于收
40
名转学生，男、女生的比例变为
时，男、女生各有多 少人
．到
．请问，该年级入学
男生
320
人， 女生
280
人
设开始时共
人，后来变为
人，则
，
，
，方程化简为
．易知
a
为
，且
8的倍数，
b
为
5
的倍数，故可设
．解得
女生
2 80
人．
，
，入学时总人数为
人，男生
320
人，
在新年 联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，
分别对应
17
分、
11
分和
4
分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子
就可以得到相应的分数．
试问：
如果比赛规定恰好投中
100
分才能获奖，< br>要想获
奖至少需要投中几个飞镖如果规定恰好投中
120
分才能获奖，
要想获奖至少需要
投中几个飞镖
随堂练习
下列方程的自然数解：
（
1
）
，则
；
（
2
）
，则
；
（
3
）
，
则
；（
4
）
，则
．
（
1
）
（
2
）
（
3
）无解（
4
）
枚举法．
小高有若干张
8
分的邮票，墨莫有 若干张
15
分的邮票，两人的邮票总面值是
99
分，那么小高的
8< br>分邮票有
__________
张．
3
张
设小高有
8
分邮票
x
张 ，
15
分邮票
y
张，
依题意得：
所以小高有
3张
8
分邮票．
，
解得
，
将
426
个乒乓球装在三种盒子里，
大盒每盒装
25
个，
中盒每盒装
20
个，
小盒每
盒装
16
个．现共装了
24
盒，则用了
__________
个大盒．
新发行 的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：
20
分、
40
分和
50< br>分，
其中面
值
20
分的邮票售价
5
元，面值
40
分的邮票售价
8
元，面值
50
分的邮票售价
9
元．小明花了
156
元买回了总面值为元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了
___ _________________
张．
20
分的邮票
3
张，
40
分的邮票
3
张，
50
分的邮票
13
张
设买了
x
张
20
分的邮票，
y
张
40
分的邮票，
z
张
50
分的邮票， 依题意得：
，消
y
得
，解得
，
，……，同时还
要满 足
y
为整数，
经验证当
时，
符合题意，
所以买了
2 0
分的邮票
3
张，
40
分的邮票
3
张，
5 0
分的邮票
13
张．
课后作业
方程
有
________
组自然数解．
11
易知
y
可为
0
至
的所有自然数，即方程有
11
组自然数解．
求
的所有整数解．
为任意整数）
先找出一组基本的解，然后写出所有解即可．
求不定方程
2x+3y+5z=15
的正整数解．
先确定
z
的值，把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程，再进行计< br>算．正整数解如下：
．
设
A
和
B
都是自然数，并且满足
．那么
__________
．
3
，又因为
A
、
B
为自然数得
，
．
有两种不同规格的油桶若干个，
大油桶能装
8
千克油，
小油桶能装
5
千克油，
44
千克油恰好装满这 些油桶．问：大油桶
__________
个，小油桶
__________
个．
大油桶
3
个，小油桶
4
个
设有
x
个大油桶，
y
个小邮桶，依题意得
个大油 桶，
4
个小邮桶．
，解得
，所以有
3