数学概论
玛丽莲梦兔
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2021年02月01日 02:46
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数学概论
学数学首先要知道，
什么是数学，
数学的历史以及数学今后如何
发展。我们中国人上学学数学，主要是做题和应付考 试。当然做题对
数学来说是必不可少的，
能够应付各种考试，
说明数学水平也达到了< br>一定的层次。
但对数学本身的了解以及对数学历史的研究，
都会提高
我们的思想 层次，同时提高我们学数学的兴趣，有了兴趣加上努力，
数学是肯定能够学得好的。
如果你还有 一点天分，
你就可以对人类做
出一些贡献，要知道，数学是最需要人才，也可以说是出来最多人 才
的学科。
数学是什么？这个问题既简单又复杂，大家也没必要去纠缠。数
学就是研究数的科学，那么数是什么呢，数是一种抽象，是描述世界
的一种方式，
目前来看是最 好而且是研究最深的一种方式。
最早人类
只认识自然数（也就是
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，。。。），而后来由于计算的发展，人类又逐渐认识了负数，分数，有理数，无理数，虚数，还
有一些特殊性质的数，比如说， 超越数，三元，四元数等，这些大家
都在课本上学习过了。
今天先对这个数学发展做一个概述。数学的第一个发展可以
说是希腊数学，在希腊数 学之前，数学的发展可以说是没有记录的，
或者说记录是不成体系的，
成不了科学。
是 希腊人把数学变成了科学，
并传承下去。
希腊数学可以说 是人类的第一个科学体系，
怎么表扬它的重要
性都不过分。
从毕达哥拉斯到阿几里德再 到阿基米德，
可以说我们高
中学的所有数学知识基本都涵盖了，也就是说，我们大部分人到18
岁，也许终身，也就是达到希腊数学家那个水平，可能还没有，注意
希腊数学家可是两 千多年前的人士啊，
我们平常用的数学，
希腊人在
两千多年前就为我们准备好了，这既是希腊人的骄傲，
也是我们人类
的悲哀，两千多年前的东西我们还是原封不动，没有发 扬光大的用，
怎么说也说不过去。
好在文艺复兴后的欧洲，
数学又有了一个跳跃式发展，人类才不在希腊人墓前只能默默无语。
希腊人不光是完 善了初等数学，对高等数学也有了预见式发
展，这就是著名的芝诺悖论。龟兔比赛，只要乌龟在兔子前面 一点，
兔子就永远追不上乌龟，
这个假设既大胆又有巨大的远见性，
如果没
有 极限的思想甚至微积分的构思，这个问题，谁还回答不了。要知道
直到差不多两千年后这个问题才由牛顿 和莱布尼斯提出的微积分得
到解决，而理论上的完善就是法国数学家柯西的功劳了。
希腊数学有机会以后专门开题讲。
希腊数学之后，
人类经历了
很 长时间的黑暗时期，
科学发展几乎停滞不前，
这就是罗马时期和中
世纪，虽然在这段时 间也出现了很多数学家，也有一些突破，但直到
出现了牛顿，
数学才可以说打开了一个新的篇章 ，
这就是数学史上伟
大的发明，微积分！
从表面看，
微积分没什么特别，
它引进了一个无穷小的除法。
大家知道
0/0
（零除以零），在数学上没有意义的。微积分引进了一
个无穷小变量
∆
X
，
∆
X
趋向于零又不等于零，这就引进了一个无穷趋
向某一点的 变量，
把要计算的量除以它，
可以算出本来无法算出一直
在变化的量，
比如说 弯曲面的面积
（用三角形逼近）
，
奇迹就发生了！
可以说连续变化的量，没有 微积分，几乎都没法计算！微积分可以说
是现代数学乃至现代自然科学的基础，
没有它，
现代自然科学大多就
无法发展！
后续有机会我们也开个专题讲解微积分，今天只是提一下！
微积分过后，
数学上重大的突破就是群论了。
那么群论解决了什
么问题呢？这得从解方程谈起。
方程来源于实践，
我们中国的九章算
术就有很 多解方程的例子。
只可惜，
中国的统治者只关心皇朝的千秋
万代，对科学没有一点兴趣 ，所以中国数学对数学的发展贡献不大。
一元二次方程是我们中学学习的重点，
解的公式希腊人 就给出了，
但
到了
3
次，
4
次乃至更高次方程如何解，对人类提出了一个大的挑战。
上千年过去了，文艺复兴时期，举行了很多解方程大赛，终于三次方< br>程有一般解了，
四次方程通过降次也被意大利人解出来，
到了
5
次方< br>程，挑战就非常的大了，几百年的探索，人类没法找到任何方法，终
于有人怀疑不可能有解的公式 。
第一个发现问题的应该是法国数学家
拉格朗日，
是他发现方程到了五次，
根 和系数的关系突然发生了变化，
也就是说，
他给出了一个置换公式，
这个公式对五次方 程来说突然变
得非常复杂，
这样五次方程的解就无法得出，
是不是五次方程就没有一般解呢？
答案是肯定的，但是 证明却异常的困难。想想就知道，要证明
一个方程没有办法用它的系数表达出来，
是多难的命题 ！
好在人类总
有天才，在危难之中，一个天才诞生了，那就是挪威的阿贝尔，一个
只活 了
26
岁，一生都在贫病中挣扎的数学天才！所以说，贫穷不可
怕，
疾病也不 可怕，
甚至活的短都不可怕，
关键是你要发挥你的天分，
同样可以名垂青史！这是题外 话了。阿贝尔通过严密的推理，证明了
五次方程没有一般解，不过证明过程太过复杂，这为另一个年轻， 同
样是早逝的天才伽罗华留下了成名的空间。
顺便提一下 ，阿贝尔还是椭圆函数的开创者，现在最出名的就是
证明费尔马大定理的查尔斯，
他的证明方法 就是利用椭圆函数，
但椭
圆函数怎么跟
Xn+Yn=Zn
这样的方程无解有关 ，这可不是一般的人
可
以
理
解
的
，
现
代< br>的
数
学
家
好
像
也
很
少
人< br>可
以
理
解
。
伽罗瓦，一个只活了
21
岁的数学天才，生前还没有得到承认！
他的一生正好 应验了一句诗：
“
有些人活着，却如行尸走肉；有些人
死了，却名垂青史！
”
，想想我们
21
岁，还在大学里天天游荡，无所
事事，
伽罗瓦已经证 明五次方程没有一般解！
他不仅证明了这个不可
思议的命题，
还给出了五次方程在什么 条件下有根式解，
什么条件下
没有，
也就是说五次方程通过它的系数在什么条件下能够 有公式，
什
么条件下没有公式是伽罗瓦第一次得出了完美的解决，
而且更奇妙的
是他第一次用群的概念，
加上一些群的变化，
简洁完美的解决了这个
困扰人类两千年 ，
人类埋头苦干几百年都没有解决的难题，
你能说他
不伟大吗？
只可惜，有点像我们中国人常说的，红颜薄命，天妒英 才，由于
政治上的原因，
加上一时的冲动，
伽罗瓦竟死于于人争风吃醋的决斗
中，年龄还只有
21
岁！难道老天没眼，要这样考验人类的智慧！
对我们学工科的硕士生来说，数学好像没有讲到伽罗瓦的精妙
证明，我们的高等代数 以矩阵为主。我自己后来看了一下一些书，写
的都比较简单，
很难看出群论究竟对以前的数学是 怎样突破的，
高等
代数的书上，
一般是从群的引入开始，
然后再证明一些群的 置换等定
理，然后引入方程，证明伽罗瓦定理，叫人心里很没底，你说，证明
不对吧，又找不出 理由，你说理解了证明的精髓吧，又好像看不到证
明的精妙之处，不像微积分，我们基本还能看出突破在 哪里，群论突
破在哪里，我到现在还没有头绪，这也是我以后学习的一个方向！
群论过后，集合论和无穷大又是数学上的一大突破，而且也越来
越远离普通人的理 解。
同时计算机的发展又给数学提供了一个大的舞
台和发展机会，
硬件的发展把数学家 从计算的泥坑中解救出来但同时
又使数学家掉入更大的计算陷阱，这就是所谓的大数据！
讲数学
还是要紧紧
以集合论为中心为妙。
整个近代数学都是以
集合论为基础的。在集合论基础上
再把实数
的概念讨论清楚为妙。
如果连实数的概念都
搞不清楚还搞什么数学？再拓展到二维
以及
多维的
欧氏空间
集合论和信息 论，
你可以说它们是数学，
还可以说它们是哲学，
大家知道的康托尔和罗素都是大哲学 家，
同时又都是集合论研究的鼻
祖和大神，康托尔还最后因为研究无穷大，把自己绕进去了，进 了精
神病院，变成了疯子！也是少数因研究科学变得不正常的专家之一。
集合论和信息论把世界 万物都变成了集合中的一元或一个信息单元，
然后进行数学演练，
通过数学推断和证明，
得到一些世界万物的规律，
而研究世界万物的规律正是哲学家的使命，
所以说哲学家变成了数 学
家，
哲学家又非常爱思考，
康托尔还选择了集合论中最难也是现在都
没有定 论的课题，研究无穷大！
按照常人的思维，无穷大是最难理解的，当然 无穷小也很难理
解，
但人类有了微积分和量子力学，
对无穷小的世界有了一定的科学< br>理解。无穷大的世界，有黑洞和宇宙，黑洞体积的无穷小包含着能量
的无穷大，能量的无穷大怎么 理解？难！
宇宙呢？首先一个问题就很难回答：
宇宙有没有边？如果有 边，
那边外面是什么？如果无边，
那我们假设一个宇宙飞船可以有无限能
源或能够无限 再生，它朝一个方向飞去，由于宇宙无边，这个飞船会
最终飞到哪里？谁能回答？这个难题的主要原因也 是因为宇宙太大，
以至到无穷大，超出了人的想象空间。但就有人不信邪，非要研究无
穷大，这 个人就是德国的康托尔，他不但要研究无穷大，他还要比较
无穷大的大小，不但要比较，他还证明了（或 者宣称证明了）有的无
穷大比另外的无穷大要更大！这不可思议吧。
无穷大之间还有谁大谁小，你开玩笑吧？我们知道一般要比
较两个数
A和
B
谁大谁小，
我们用
A-B
（
A
减去
B
）
,
如果得数大于零，
则
A
大，反之则
B大。到了集合阶段，我们比较两个集合的大小，