小学思维数学讲义：圆柱与圆锥-带详解
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2021年02月01日 04:18
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圆柱与圆锥
例题精讲
圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式
立体图形
表面积
S
圆柱
侧面积
2
个 底面积
2
π
rh
2
π
r
2< br>
h
体积
V
圆柱
π
r
2
h
圆柱
r
h
r
圆锥
n
π
l
2
π
r
2
360
注：
l
是母线，即从顶点到底面圆上的线段长
S< br>圆锥
侧面积
底面积
1
V
圆锥 体
π
r
2
h
3
板块一
圆柱与圆锥
【例
1
】
如图，用高 都是
1
米，底面半径分别为
1.5
米、
1
米和
0. 5
米的
3
个圆柱组成一个物体．问这个物体
的表面积是多少平方米？
(
π
取
3.14
)
1
0.5
1
1
1
1.5
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
从
上
面
看
到
图形
是
右
上
图
，
所
以
上
下底
面
积
和
为
2
3.14
1.5
2
14.13
(
立
方
米
)
，
侧
面
积
为
2
3.14
( 0.5
1
1.5)
1
18.84
(
立方米
)
，所以该物体的表面积是
14.13
18.84
32.97
(
立方米
)
．
【答案】
32.97
【例
2
】
有 一个圆柱体的零件，高
10
厘米，底面直径是
6
厘米，零件的一端有一个圆柱 形的圆孔，圆孔的
直径是
4
厘米，孔深
5
厘米
(
见 右图
)
．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂
多少平方厘米？< br>
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
涂
漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为
1
6
6
π
10
π
(
)
2
2
4
π
5
60
π
18
π
20
π
< br>98
π
307.72
(
平方厘米
)
．
2
【答案】
307.72
【例
3
】
(
希望杯
2
试试题
)
圆柱体的侧面 展开，放平，是边长分别为
10
厘米和
12
厘米的长方形，那么这
个 圆柱体的体积是
________
立方厘米．
(
结果用
π
表 示
)
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
10
300
【解析】
当
圆柱的高是
1 2
厘米时体积为
π
(
)
2
12
(
立方厘米
)
2
π
π
12
360
300
当圆柱的高是
12
厘米时体积为
π
(
)
2
10
(
立方厘米
)
． 所以圆柱体的体积为
立方厘米
2
π
π
π
360
或< br>立方厘米．
π
300
360
【答案】
立方厘米或
立方厘米
π
π
【例
4
】
如右图，是一个长方 形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶
(
接头处忽略不计
)
，求
这个油桶的容积．
(
π
3.14
)
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
16.56
< br>1
3.14
4
(
米
)
，
【解析】
圆
的直径为：
而油桶的高为
2
个直 径长，
即为：
故体积为
100.48
4
2
8(m)
，
立方米．
【答案】
100.48
立方米
【巩固】如图，有一张长 方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成
1
个圆柱体，这个圆柱体
的底 面半径为
10
厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？
(
π
3.14
)
16.56m
10cm
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪
下的 长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：
2
π
10
< br>62.8
(
厘米
)
，
原来的长方形的面积为：（
10
4
62.8
）
（
10
2
）
2056
(
平方厘米
)< br>．
【答案】
2056
【例
5
】
把一个高是
8
厘米的圆柱体，沿水平方向锯去
2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体
表面积减少
12.56
平方厘米． 原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
沿
水平方向锯去
2
厘米后，剩下的圆 柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的
2
厘
米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为
12.56
2
6.28
厘米，
底面半径为
6.28
3.14
2
< br>1
厘米，所以原来的圆柱体的体积是
π
1
2
8
8
π
25.12
(
立方厘米
)
．
【答案】
25.12
【巩固】
一个圆柱体 底面周长和高相等．
如果高缩短
4
厘米，
表面积就减少
50.24< br>平方厘米．
求这个圆柱体的
表面积是多少？
2
4cm
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
圆
柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个 正方形．高缩短
4
厘米，表面积就减少
50.24
平方厘米．阴影部分的面积 为圆柱体表面积减少部分，值是
50.24
平方厘米，所以底面周长是
50.24
4
12.56
(
厘米
)
，侧面积是：12.56
12.56
157.7536
(
平方厘 米
)
，两个底面积是：
3.14
12.56
3.14
2
2
25.12
(
平方厘米
)
．所以表面积为：
157.7536
25 .12
182.8736
(
平方厘
2
米
)
．
【答案】
182.8736
【例
6
】
(
两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛
)
一 个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成
两部分．
已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表 面积大
2008cm
2
，
则这个圆柱体木棒的侧面积是
______ __
cm
2
．
(
π
取
3.14
)
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
第
2
题
【解析】
根
据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面．
设圆柱体底面 半径为
r
，高为
h
，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：
2
2
r
h
2008(cm
2
)
，所以
r
h
502(cm
2)
，所以，圆柱体侧面积为：
2
π
r< br>
h
2
3.14
502
< br>3152.56(cm
2
)
．
【答案】
3152.56
【巩固】
已知圆柱体的高是
1 0
厘米，
由底面圆心垂直切开，
把圆柱分成相等的两半，
表面积增加了
40
平方厘
米，求圆柱体的体积．
(
π
3
)
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面，
长方形的长等于圆柱体的高为
10
厘米，
宽为圆柱
底面的直径，设为
2
r
，则
2
r< br>
10
2
40
，
r
1
(
厘米
)
．圆柱体积为：
π
1
2
10
30
(
立方厘米
)
．
【答案】
30
【例
7
】
一个圆柱 体的体积是
50.24
立方厘米，底面半径是
2
厘米．将它的底面平均分成若 干个扇形后，再
截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？
(
π
3.14
)
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
从
图中可以看出，拼 成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积
与原来圆柱体的侧面面积相 等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积．
(
法
1
)
这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．
可知， 圆柱体的高为
50.24
3.14
2
2
4
(
厘米
)
，所以增加的表面积为
2
4
2
16
(
平方厘米
)
；
3
(
法
2
)
根据长方体的体积公式推导．
增加的两个面是长方体的侧面，
侧面面积与长方体的长的乘积就< br>是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为
50.24
立方厘米，而拼 成的长方体的长
等于圆柱体底面周长的一半，为
3.14
2
6.28
厘米，所以侧面长方形的面积为
50.24
6.28
8
平方
厘米，所以增加的表面积为
8
2
16
平方厘米．
【答案】
16
【例
8
】
右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为
40cm
的正方 体，上部是圆柱体的一半．求这个零件
的表面积和体积．
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
这是一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：
11768平方
厘米，
89120
立方厘米．
【答案】
89120
【例
9
】
输 液
100
毫升，每分钟输
2.5
毫升．如图，请你观察第
12
分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容
积是多少毫升？
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
100
毫升的吊瓶在正放时，液体在
100
毫升线下方，上方是空的，容积是多少不 好算．但倒过来后，
变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．
由于每分钟输2.5
毫升，
12
分钟已输液
2.5
12
30
(
毫升
)
，
因此开始输液时液面应与
50毫升的格线
平齐，上面空的部分是
50
毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是
100
50
150
(
毫升
)
．
【答案】
150
【例
10
】
(
”希望杯”五年级第
2
试
)
一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水
(
如图
)
，由图中的数据可推知瓶
子的容积是
______ _
立方厘米
．
(
π
取
3.14
)
6
10
8
4
(
单位：厘米
)
4
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水
构成 高为
6
厘米的圆柱，空气部分构成高为
10
8
2
厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所
4
以瓶子的容积为：
π
(
)
2
(6
2)
3. 14
32
100.48
(
立方厘米
)
．
2
【答案】
100.48
【巩固】一个酒精瓶，它 的瓶身呈圆柱形
(
不包括瓶颈
)
，如图．已知它的容积为
26.4< br>π
立方厘米．当瓶子正
放时，瓶内的酒精的液面高为
6
厘米；瓶子倒放 时，空余部分的高为
2
厘米．问：瓶内酒精的体积
是多少立方厘米？合多少升？
2
6
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
由
题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也 是不变的，因此可知液体体积是空余部分体
3
积的
6
2
3
倍．所以酒精的体积为
26.4
π
62.1 72
立方厘米，而
62.172
立方厘米
62.172
毫
3
1
升
0.062172
升．
【答案】
0.062172
【巩固】一个酒瓶里面深
3 0cm
，底面内直径是
10cm
，瓶里酒深
15cm
．把酒瓶塞紧后 使其瓶口向下倒立这时
酒深
25cm
．酒瓶的容积是多少？
(
π取
3
)
30
15
25
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
观
察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．
当酒瓶倒过来时酒 深
25cm
，
因为酒瓶深
30cm
，
这样所剩空间为高5cm
的圆柱，
再加上原来
15cm
高
的酒即为酒瓶的容积．< br>
10
10
酒的体积：
15
π
375
π
2
2
10
10
瓶中剩余空间 的体积
(30
25)
π
125< br>π
2
2
酒瓶容积：
375
π
1 25
π
500
π
1500(ml)
【答案】
1500
【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面 积为
10
平方厘米，
(
如下图所示
)
，请你根据图中标明< br>的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．
5
7cm
4cm
5cm
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
由
已知条件知，第二个图上部空白部分的高为
7
5
2cm
，从而水与空着的部分的比为
4:2
2:1
，
由图
1
知水的体积为
10
4
，所以总的容积为
40
2
2
< br>1
60
立方厘米．
【答案】
60
【巩固】
一个透明的封闭盛水容器，
由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是
12
厘米．
其
内有一些水，正放时水面离容器 顶
11
厘米，倒放时水面离顶部
5
厘米，那么这个容器的容积是多少
立方厘米？
(
π
3
)
11cm
5cm
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
设
圆锥的高为
x
厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：
1
5
π
6
2
1 1
x
π
6
2
π
6
2
x
，解得
x
9
，
3
1
所以容器的容积为：
V
π
6
2
12
π
6
2
9
540
π
1620
(
立方厘米
)
．
3
【答案】
1620
【例
11
】
(
希望杯
2
试 试题
)
如图，底面积为
50
平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一 块棱长为
5
厘米的正方体木块，
木块浮出水面的高度是
2
厘米．若将木块从容器中取出，
水面将下降
________
厘米．
2
厘米
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
在
水中的木块体积为
5
5
3
75
(
立方厘米
)
，拿出后水面下 降的高度为
75
50
1.5
(
厘米
)
【答案】
1.5
【例
12
】
< br>有两个棱长为
8
厘米的正方体盒子，
A
盒中放入直径为
8厘米、高为
8
厘米的圆柱体铁块一个，
B
盒中放入直径为
4厘米、高为
8
厘米的圆柱体铁块
4
个，现在
A
盒注满水 ，把
A
盒的水倒入
B
盒，
使
B
盒也注满水，问A
盒余下的水是多少立方厘米？
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
将
圆柱体分别放入< br>A
盒、
B
盒后，两个盒子的底面被圆柱体占据的部分面积相等，所以两个盒子的
底面剩余部分面积也相等，那么两个盒子的剩余空间的体积是相等的，也就是说
A
盒中 装的水恰好
可以注满
B
盒而无剩余，所以
A
盒余下的水是
0
立方厘米．
【答案】
A
盒余下的水是
0
立方厘米
6
【例
13
】
兰州来的马师傅 擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团
先搓成圆柱形面棍，长< br>1.6
米．然后对折，拉长到
1.6
米；再对折，拉长到
1.6
米……照此继续进行
1
下去，最后拉出的面条粗细
(
直径
)
仅有原先面棍的
．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长
64
有多少米？
(
假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费
)
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
1
1
【解析】
最
后
拉
出
的面
条
直
径
是
原
先
面
棍
的，
则
截
面
积
是
原
先
面
棍的
2
，
细
面
条
的
总
长
为：
64
64
2
(
米
)
．注意运用比例思想．< br>
1.6
64
6553.6
【答案】
6 553.6
【例
14
】
一个圆柱形容器内放有一个 长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．
3
分钟时水面恰好没过长方
体的顶面．再过
18
分钟水灌满容器．已知容器的高为
50
厘米，长方体的高为
20
厘米，求长方体
底面面积与容器底面面积之比．
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
因为
18
分钟水面升高：
50
20
30(
厘米
)
．所以圆柱中没有铁块的情形下水面升高
20
厘米需要
20
12
(
分钟
)
，实际上只用了
3< br>分钟，说明容器底面没被长方体底面盖住的部分
30
1
只占容器底面积的
3:12
，所以长方体底面面积与容器底面面积之比为
3:
4
．
4
的时间是：
18
【答案】
3:4
【例
15
】
一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是
80
平方厘米，高是
15
厘米，水深
8
厘米．现将一个底面积
是
16
平方厘米，高为
12
厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米 ？
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
根
据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．
(
法
1
)
：
80
8
(80
< br>16)
640
64
10
(
厘 米
)
；
(
法
2
)
：
设水面上升 了
x
厘米．
根据上升部分的体积
=
浸入水中铁块的体积列方程为：< br>80
x
16(8
x
)
，
解得：
x
2
，
8
2
10
(
厘米
)
．
(
提问”圆柱高是
15
厘米 ”
，和”高为
12
厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？
)
【答案】
10
【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是
8 0
平方厘米，高是
15
厘米，水深
10
厘米．现将一个底面积
是
16
平方厘米，高为
12
厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少 厘米？
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
，所以此时水已淹没过铁块，
80
10
(80
16)
12
32，
80
10
(80
16)
< br>12.5
，因为
12.5
12
32
80
0.4
，所以现在水深为
12
0.4
12.4
厘米
【答案】
12.4
【巩固】一只装有 水的圆柱形玻璃杯，底面积是
80
平方厘米，高是
15
厘米，水深
1 3
厘米．现将一个底面积
是
16
平方厘米，高为
12
厘米的 长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？
【考点】圆柱与圆锥
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
玻
璃杯剩余部分的体 积为
80
(15
13)
160
立方 厘米，铁块体积为
16
12
192
立方厘米，因为160
192
，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯的高度
15
厘米
【总结】
铁块放入玻璃杯会出现三种情况：①放入铁块后，水深不 及铁块高；②放入铁块后，水深比铁块高
但未溢出玻璃杯；③水有溢出玻璃杯．
【说明】
教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事．
一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠，不知道工匠有没有掺假，必须知道黄金头冠的体积是多少，
可是又 没有办法来测量．
(
如果知道体积，就可以称一下纯黄金相应体积的重量，再称一下黄金头冠< br>的重量，就能知道是否掺假的结果了
)
于是，国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣 阿基米
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