完全平方数及应用(
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 06:58
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大学生作文-玉宇琼楼
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5-4-4.
完全平方数及应用
（一）
教学目标
1.
学习完全平方数的性质；
2.
整理完全平方数的一些推论及推论过程
3.
掌握完全平方数的综合运用。
知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.
主要性质
1.
完全平方数的尾数只能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
。不可能是
2
，
3
，< br>7
，
8
。
2.
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.
完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.
若质数
p
整除完全平方数
a
2
，则
p能被
a
整除。
2.
性质
性质
1< br>：完全平方数的末位数字只可能是
0
，
1
，
4
，5
，
6
，
9
．
性质
2
：完 全平方数被
3
，
4
，
5
，
8
，
1 6
除的余数一定是完全平方数．
性质
3
：自然数
N
为完全平方数
自然数
N
约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解 中每个质因
数出现的次数都是偶数次，所以，如果
p
是质数，
n
是自 然数，
N
是完全平方数，且
p
2
n
1
|
N
，则
p
2
n
|
N
．
性质
4
：完全平方数的个位是
6
它的十位是奇数．
性质
5
：如果一个完全平方数的个位是
0
，则它后面连续的
0< br>的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个
位是
5
，则其十位一定是
2
，且其百位一定是
0
，
2
，
6
中的一个．
性质
6
：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
3.
一些重要的推论
1.
任何偶数的平方一定能被4
整除；任何奇数的平方被
4
（或
8
）除余
1.
即被
4
除余
2
或
3
的数一定
不是完全平方数。< br>
2.
一个完全平方数被
3
除的余数是
0
或
1.
即被
3
除余
2
的数一定不是完全平方数。
3 .
自然数的平方末两位只有：
00
，
01
，
21
，
41
，
61
，
81
，
04
，
24
，
44
，
64
，
84
，
25
，< br>09
，
29
，
49
，
69
，
89< br>，
16
，
36
，
56
，
76
，96
。
4.
完全平方数个位数字是奇数（
1
，
5
，
9
）时，其十位上的数字必为偶数。
5.
完全平方 数个位数字是偶数（
0
，
4
）时，其十位上的数字必为偶数。
6.
完全平方数的个位数字为
6
时，其十位数字必为奇数。
7.
凡个位数字是
5
但末两位数字不是
25
的自然数不是完全平方 数；
末尾只有奇数个
“0”
的自然数不是
完全平方数；个位数字为
1
，
4
，
9
而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
< br>3.
重点公式回顾：
平方差公式：
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
)
例题精讲
模块一、完全平方数计算及判断
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【例
1
】
已知：
21×
49
是一个完全平方数，求它是谁的平方
?
【考点】完全平方数计算及判断
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
我
们不易直接求解，
但是其数 字有明显的规律，
于是我们采用递推
(
找规律
)
的方法来求解：121
＝
11
2
；
12321
＝
111
2
；
1234321
＝
1111
2
……
，
于
是
，
我
们
归
纳
为
1234…
n
…4321=
(111
1)
2
，
所
以
，
n
个
1
21
：
11111112
；则，
2 1×
49=11111112×
72=77777772
．所以，题中原式乘积
为
7777777
的平方．
【答案】
7777777
【例
2
】
21
(1
2
3
4
5
6
7
6
5
4
3
2
1)
是
的平方．
【考点】完全平方数计算及判断
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】祖冲之杯
21
1111111
2
，
1
2
3
4
5
6
7
6
5
4
3
2
1
7
2
，
【
解
析
】
原式
(1111111
7)
2
7777777
2
．
【答案】
7777777
【例
3
】
已知自然数
n
满足：
12!
除以
n
得到一个完全平 方数，则
n
的最小值是
。
【考点】完全平方数计算及判断
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】学而思杯，
6
年级，第
9
题
【解析】
（
法
1
）先将
12
！分解质因 数：
12!
2
10
3
5
5
2
7
11
，由于
12!
除以
n
得到一个完全平方数，那么
这
个
完
全
平
方
数
是
12!
的
约
数
，
那
么
最< br>大
可
以
为
2
10
3
4
5
2
，
所
以
n
最
小
为
1 2!
2
10
3
4
5
2
3
7
11
231
。
（法
2
）
12!
除以
n
得到一个完全平方数，12!
的质因数分解式中
3
、
7
、
11
的幂次 是奇数，所以
n
的
最小值是
3
7
11
231
。
【答案】
231
【例
4
】
有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同 但不为
0
，试求满足上述条件的最小的正整数．
【考点】完全平方数计算及判断
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
平
方数的末尾只能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
，因为
111
，
444
，
555
，
666
，
999
都不是完全平方数，所以
所求的数最小是
4
位数．考察< br>1111
，
1444……
可以知道
1444
38< br>
38
，所以满足条件的最小正整数
是
1444
．
【答案】
1444
【例
5
】
A
是由
2002
个
“4”
组成的多位数，即
4442002
个
4
4
，
A
是不是某个自然数
B的平方？如果是，写出
B
；
如果不是，请说明理由．
【考点】完全平方数计算及判断
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
略
【答案】
A
444
4
2
2
111
1
．如果
A
是某个自然数的平方，则
111
1
也应是某个自然数的平 方，
2002
个
4
2002
个
1
200 2
个
1
并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以
4
的余数是
1
知，奇数的平方减
1
应是
4
的倍数，
而111
1
1
111
10
不是
4< br>的倍数，矛盾，所以
A
不是某个自然数的平方．
2002
个
1
2001
个
1
【
巩
固
】
A
是由
2008
个< br>“
4
”
组成的多位数，即
44
4
，
A
是不是某个自然数
B
的平方？如果是，写出
B
；如
2008
个
4
果不是，请说明理由．
【考点】完全平方数计算及判断
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
略
【答案】不是．
A
44
4
2
2
11
1
假设
A
是某个自然数的平方，则
11
1
也应是某个自然数的平方，并且
2008
个
4
2008
个< br>1
2008
个
1
是某个奇数的平方．由奇数的平方除以
4的余数是
1
知，奇数的平方减
1
应是
4
的倍数，而珍贵文档
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11
1
1
11
10
不是
4
的倍数，与假设矛盾．所以
A
不是 某个自然数的平方．
2008
个
1
2007
个
1
【例
6
】
计算
111
1
－< br>222
2004
个
1
1002
个
2
A
，求
A
．
2
=
A
×
【考点】完全平方数计算及判断
【难度】
4
星
【题型】解答
【
解
析
】
此
题的显著特征是式子都含有
111
1
，从而找出突破口
.
n
个
1
111
1
－
222
2004
个
1
1002
个
2
2
=
111
1
000
1002
个
1
1002
个
0
0
－
111
1
1002
个
1
=
111
1
×
（
1000
1002
个
1
1002
个
0
0
-1
）
9
）
=
111
1
×
（
999< br>1002
个
1
1002
个
9
=
111
1
×
（
111
1
×
3×
3
）
=
A
2
1002
个
1
1002
个
1
所以，
A＝
333
1002
个
3
3
.
【答案】
333
1002
个
3
3
【例
7
】
①
444
4888
89
A
2
，求
A
为多少
?
2003
个
8
2004
个
4
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为
2005
？
【考点】完全平方数计算及判断
【难度】
4
星
【题型】解答
【
解
析
】
①
本题直接求解有点难度， 但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推
(
找规律
)
的方法来求解：
注意到 有
444
4888
89
可以看成
444
2003
个
8
n
个
4
4888
89
，其中
n
＝
2004
；
n-1
个
8
2004
个
4
寻找规律：当
n
=1
时，有
49< br>
7
2
；
当
n< br>=2
时，有
4489
67
2
；
当
n
=3
时，有
444889
667
2
……
于是，类推 有
444
4888
89
=
666
2003
个
8
67
2
2004
个
4
2003
个
6
方法二：下面给出严格计算：
444
则
44 4
4888
89
=
444
2003
个
8
2 004
个
4
4000
2004
个
0
0
+< br>888
8
+1
；
0
+8
）
+1
9
+1
）
+8
］
+1
9
）
+12
］
+1
2004
个
4
2004
个
8
4000
2004
个
0
0
+
888
（
4×
1000
8
+1
＝
111
1
×
2004
个
1
2004
个
0
2004
个
4
2004
个
8
＝
111
1< br>×
［
4×
（
999
2004
个
1
2 004
个
9
＝
111
1
×
［
4×
（
999
2004
个
1
2004
个
9
＝< br>(111
1)
2
×
36+12×
111
1
+ 1
2004
个
1
2004
个
1
＝
(11 1
1)
2
×
36+2×
（
6×
111
1< br>）
+1
2004
个
1
2004
个
1
＝
(666
②
由
①
知
444
n
个
466
1)
2
(666
67)
2
2004
个
6
2003
个
6
4888
89
＝
666
n-1
个
8
67
2
，于是数字和 为
(4
n
+8
n
-8+9)=12
n
+1
；令
12
n
+1=2005
67
2
。所以存在这样的数，是
444
67
2
4888
89
166
个
8
n-1
个6
解得
n
=167
，所以
444
【答案】
（< br>1
）
666
4888
89
=
666
166< br>个
8
167
个
4
166
个
6
1 67
个
4
67
2
,
（
2
）
444
4888
89
=
666
166
个
8
200 3
个
6
167
个
4
166
个
6
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模块二、平方数特征
（
1
）
平方数的尾数特征
【例
8
】
下面是 一个算式：
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
，
这个算式的得数
能否是某个数的平方？
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】华杯赛
【
解
析
】
判
断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是
0
，< br>1
，
4
，
5
，
6
，
9
，而
2
，
3
，
7
，
8
不可能是平方数的个位数 ．
这个算式的前二项之和为
3
，中间二项之和
的个位数为
0
，后面二项中每项都有因子
2
和
5
，个位数 一定是
0
，因此，这个
0
算式得数的个位数
是
3
， 不可能是某个数的平方．
【答案】不是
【例
9
】
一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数 字的平方和等于
49
的四位
数共有
________
个．
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】学而思杯，
5
年级，第
10
题
49< br>
1
4
9
25
，
1 ,2,3,5
全排列共有
24
个。
【解析】
【答案】
24
【例
10
】
用
1
～
9
这
9
个数字各一次，组成一个两位完全平 方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方
数．那么，其中的四位完全平方数最小是
．
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征
【难度】
5
星
【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，复试，
11
题
【
解
析
】
四
位完全平方数
≥1234< br>＞
35
2
＝
1225
，所以至少是
36
2< br>＝
1296
．当四位完全平方数是
1296
时，另两个
平方数 的个位只能分别为
4,5
，
个位为
5
的平方数的十位只能是
2
，
但数字
2
在
1296
中已经使用．
当
四位完全平方数是
37
2
＝
1369
时，另两个平方数的个位只能分 别为
4,5
，个位为
5
的平方数的十位一
样只能是
2
，还剩下
7,8
，而
784
恰好为
28
2
．所以 ，其中的四位完全平方数最小是
1369
．
【答案】
1369
【例
11
】
称
能表示成
1+2+3+…+K
的形式的 自然数为三角数，有一个四位数
N
，它既是三角数，又是完全
平方数，
N=
。
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征
【难度】
5
星
【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第
14
题
【
解
析
】
N
=k
×
(1+k) /2=m^2
，
4
位数的话
2000<=k
×
(k+1)<20000,
45<=k<=140
，
k=2n
n*(2n+1)=N
。
n
与
2n+1
互质
，
所以要均为平方数。
平方数末尾
149650
。
满足要求 的是
4950
。
23<=n<=70
发现没有：
k=2n-1
，
n
×
(2n-1)=N
同上，满足要求是
1650
找到
25
所以
k=49
，
N=1225
，
m=35
。
【答案】
1225
（
2
）
奇数个约数
——
指数是偶数
【例
12
】
在
2
2
4
，
3
3
9
，
4
4
16
，
5
5
25
，
6
6
36
，
……
等这些算是中，
4
，
9
，
16
，
25
，
36
，
……
叫做完全平方数。那么，不超过
2007
的最大的完全平方数是
______ ___
。
【考点】平方数特征之奇数个约数
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第
4
题，
5
分
【解析】
4
5×
45=2025
；
44×
44=1936
，所以最大的是
1936.
【答案】
1936
【例
13
】
写
出从
360
到
630
的自然数中有奇数个约数的数．
【考点】平方数特征之奇数个约数
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
一
个合数的约数的个数是在严格分解质 因数之后
,
将每个质因数的指数
(
次数
)
加
1后所得的乘积
.
如
:1400
严格分解质因数后为
23×
52×
7,
所以它的约数有
(3+1)×
(2+1)×
(1+1) =4×
3×
2=24
个
.(
包括
1
和它
自 身
)
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