高思导引六年级第21讲 数论综合三完整版
别妄想泡我
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2021年02月01日 06:59
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小学生3年级作文-春天的花园
第
21
讲
数论综合
兴趣篇
1
．
（
1
）
求所有满足条件的三 位数：
在它左边写上
40
后所得的五位数是完全
平方数．
(2)
求满足条件的最小自然数：在它左边写上
80
后所得的数是完全平方数．
答案：
(1) 401
、
804
(2) 656
解析：
（
1
）枚举得，
40
开头的五位完全平方数是
201
2
=40401
和
202
2
=40804
，故这个三位数为
401
或者
804.
(2 )
口算就可以知道
80
□
肯定不是完全平方数；因为
89
2
=7921
，
90
2
=8100
，
所以
8 0
□□肯定不是完全平方数；因为
283
2
=80089
，
284
2=
80656
，所以三位数
656
是符合题意的最小的三位 数．
2
．已知
n!+3
是一个完全平方数，试确定自然 数行的值．
（
n!=1
×
2
×
3
×…
×< br>n
）
答案：
0
、
1
或
3
解析：枚举验证
n
为
0
、
1
、
2
、3
、
4
、…，得到
n
为
0
、
1
或
3
时满足，因
为当
n
≥
4
时，
n！
+3
除以
4
余
3
，根据完全平方数除以
4< br>只能余
0
或余
1
，可知
当
n
≥
4< br>时，
n
！
+3
不可能是完全平方数．
3
．一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于
7
．如果把组成它的
每个数字都加上
3
，便得到另外一个完全平方数．求原 来的四位数．
答案：
1156
解析：设变化前后的两个数为
a< br>2
和
b
2
（
a
、
b
均为两位数）< br>，根据题目有
b
2
-a
2
=3333
，
利用 平方差公式得
(b+a)(b-a)=3333=3
×
11
×
101
，
因为
a
、
b
均为两
，
b
a
101
位数，所以
b+a<199
，
b -a< 100
，所以只能是
得
a=34, b= 67
，故原< br>b
-
a
33
，
来的四位数是
3 4
2
=1156.
4
．请写出所有各位数 字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位
上的数字整除，
答案：
135
、
315
、
175
、
735
解析：依题意，组成这个三位奇数的数字是
1
、
3
、
5、
7
、
9
中的三个木同
的数字．因为除
9
以外 的任意
2
个奇数之和都不是
9
的倍数，所以
9
不能在这个
3
位数中出现，那么，只有可能是
135
、
137
、
157
、
357
这
4
种数字组合，
分别尝试得到四 个满足题意的数为
135
、
315
、
175
、
73 5
．
5
．在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0
，得到一个三位数
（例如
21
变成了
201
）
，结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：所
有满足条件的两位数之和是多少？
答案：
528
解析：设满足条件的两位数为
ab
，则按题意插入一 个数字
0
后的三位数是
a
0
b
.
依题意有
ab
|
a
0
b
，按位值原理展开得
10a+b| 100a+b
，整理得
10a+b|
90a+(10a+b)
，
推 出
10a+b|90a;
或者整理得
10a+b|10(10a+b)-9b
，
推出
10a+b|9b.
因为
9b
比
90a
相对 较小，所以考虑
10a+b| 9b
，但发现也不好分析，所以变为
ab
|9b.
若
b
取
0
时，
ab
取
10
，
20
，…，
90
均可；
若
b
取
1
时，
ab
没有符合的情况；
……
依次讨论得到
ab
可以为
10
，
2 0
，
30
，…，
90
，
15
，
45
，
18
，和为
528.
6
．用
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
六 个数字组成两个三位数．要使这两个三位数与
540
的最大公约数尽可能的大，请问：这两个三 位数应该分别是多少？
答案：
324
，
756
或
432
，
756
解析：先将
540
分解质因数
5 40=2
2
×
3
3
×
5
．
很明显这两数的个位数字最多只有一个为
5
，
所以这两个三位数不可能同时
是
5
的倍数，那么这两个三位数的最大公约数最大可能 是
2
2
×
3
3
=4
×
27
或
2
×
3
3
=2
×
27
或
2
2
×
3
2
= 4
×
9
等．可以看出为使得最大公约数尽可能大，肯定要让这两
个数有公约数
9.
因为
2+3+4+5+6+7=27
，
所以要想有 公约数
9
，
这两个三位数的数字和只能
分别是
9
和
18
，那么只能是一个数由
2
、
3
、
4
组成，一个 数由
5
、
6
、
7
组成．
接着考虑到肯定 要有公约数
2
，那么
2
、
3
、
4
的组合只 能是
234=2
×
3
2
×
13
，
324= 2
2
×
3
4
，
342=2
×
3
2
×
19
，
432=2
4
×
3
3
，
5
、
6
、
7
的组合只能是
576=2
6< br>×
3
2
和
756=2
2
×
3
3×
7
，比较后发现有两组的最大公约数最大，一组是
324
和
7 56
，另一
组是
432
和
756
．
< br>7
．
一个自然数，
它与
99
的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小自
然数．
答案：
2312
解析：积是
99
的倍数，所以积的数字和是
9
的倍数，且注意到积的数字和
是偶数，奇位和是偶数，偶位和也是偶数，那么积的数字和最小是
36
，奇位和
与偶位和都是
18.
为使乘积小，乘积的位数应该尽可能少，所 以要尽可能多的用
8
，
18=2+8+8
，所以乘积最小是
2288 88
，那么所以乘数的最小值为
228888
÷
99=2312.
8
．有
3
个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意
两个数的乘积都能被第三个数整除．< br>请问：
满足上述条件的
3
个自然数之和最小
是多少？
答案：
31
解析：先证明这
3
个数每个都至少含有
2
种质因数．
证法一：假设这三个数为
A
、
B
、
C
，其中
A
只有一种质因数
p
，那么
B
不
可 能只有质因数
p
，否则
B
和
A
必定是倍数关系，同理，C
也不可能只有质因
数
p
．
根据
C|AB< br>，假设
C
有除
p
外其他质因数
q
，可以得到
q|B
，同理，
C
所有
除了
p
以外的质因数都是
B
的质因数；再根据
B|CA
，同理得，
B
所有除了
p
以
外的质因数也是
C
的质因数，那么
B_C
必定是倍数关系，与题 意矛盾，所以这
3
个数中不可能出现只含
1
种质因数的数，即每个都至少含有
2
种质因数．
证法二：假设这 三个数为
A
、
B
、
C
，其中
A
只有一种质 因数
p
，设
A=p
a
.
因为
A|BC
，所 以乘积
BC
中一定含有质因数
p
；但
A
不能整除
B
，也不能整除
C
，
说明
B
、
C
中都含有< br>p
，
且次数都低于
a
；
又
B
不能整除
A
，
C
也不能整除
A
，
所以
B
、
C
中都含有除了
p
以外的质因数，设
B=
□
b
×
p
b
，
C=
□
c
×
p
c
，其中□
b
表示
B
分解质因数后不包含
p
的部分，□
c
同理
.
因为
B|AC
，所以□
b
|
□
c
；同理，因为
C|AB
，所以□
c
|
□
b
，说明□
c=
□
b
，那么
B
和
C是倍数关系，与题意矛盾．所以这
3
个数中不可能出现只含
1
种质因数的
数，即每个都至少含有
2
种质因数，
若这三个数里一共恰有
2
种质因数，
最小为
2
和
3
，
最小符合题意的情 况是
2
2
×
3
2
、
2
×
3
3
、
2
3
×
3
，和为
36+54+24=114
；
若这三个数里一共恰有
3
种质因数，最小为
2
、
3
、
5
，最小符合题意的情况
是
2
×
3
、
2
×
5
、
3
×
5
，和为
6+10+15=31
；
若这三个数里一共恰有
4
种质因数，最 小为
2
、
3
、
5
、
7
，在不考虑题意的< br>情况下，
3
个不同的各含两种质因数的数最小是
2
×
3
、
2
×
5
、
2
×
7
，和为
30
，但
这组不符合题意，很明显如果要符合题意，和肯定大于
31
；
若这三个数里一共恰有
5
种质因数，最小为
2
、
3
、
5
、
7
、
11
，在不考虑题
意的情况下，
3
个不同的各含两种质因数的数最小是
2
×
7
、
2
×
11
、
3
×
5
，
和为
51
，
大于
31
；
很明显，当含有的质因数种类再增多时，三个数的和肯定都大于
31
．
综上，满足上述条件的
3
个自然数之和最小是
31
．
9
．小明与小华玩游戏，规则如下：开 始每人都是
1
分，每局获胜的小朋友
都可以把自己的分数乘以
3
，输 的小朋友保持分数不变．最后小明获胜，他比小
华多的分数是
99
的倍数，那么他们至 少玩了多少局？
答案：
9
局
解析：
设小明和小
华
最后的
分数分
别为
3
a
和
3< br>b
，其
中
a>b
，所以
99|3
a
-36
=3
b
[3
(a-b)
-1].
因为
[3< br>(a-b)
-1]
和
3
互质，所以
6
最小为
2
且有
11|3
(a-b)
-1
，经
尝试，
a-b
最小为
5
的时候符合，
所以小华最少玩了
2
局，
小 明
7
局，
一共
9
局．
< br>10.
对于一个自然数
N
，如果具有这样的性质就称为“破坏数”
：把 它添加到
任何一个自然数的右端，
形成的新数都不能被
N+l
整除，
那么在
l
至
9
这
9
个自
然数中有多少个“破坏数” ？
答案：
6
个
解析：很明显奇数一定是“破坏数”，
4
也是“破坏数”
．
0
、
2
、
6< br>、
8
都不是“破
坏数”
，
其中
0
添加到任何 一个自然数的右端都能被
1
整除，
2
添加到自然数
1
的右端能被
3
整除，
6
添加到自然数
5
的右端能被
7
整除，
8
添加到自然数
1
的右
端能被
9
整除．所以所求“破坏数”只有
1
、
3
、
4
、
5
、
7
、
9
这
6
个。
拓展篇
1
．
(1)
求满足条件的最小自然数，使得它的平 方的前两位是
20
；
(2)
求满足条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是
04
；
(3)
求满足条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是
20
，后两位是< br>04.
答案：
(1)45
(2) 48
(3) 448
解析：
(1)
平方是两位数的肯定不对，因为
14
×
14=196
，
15
×
15=225
，所以平方也不可能是三位数，因为
44
×
44=1936
，
45×
45=2025
，所以所求最小的数
为
45.
(2)
设符合题意的自然数为
a
，依题意得
100|a
2
-4
， 即
4
×
25|(a-2)(a+2)
，很
明显
(a-2)< br>和
(a+2)
不能同时是
25
的倍数，所以
25|a-2或
25|a+2
，
a
可能为
23
、
27
、
48
、
52
、
…，
同时考虑
4|(a+2)( a-2)
，
a
的最小可能值是
48
，
因为
482
=2304
，
所以符合题意的自然数最小是
48.
(3)
利用
(2)
中的结论，这个数可能是
48
、
52
、
98
、
102
、
1 48
、
152
、…，估
算前两位是否是
20
，再计算出结果 验证，枚举得符合题意的自然数最小是
448.
2
．已知
n
！
+4
等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然 数
n
的值．
（
n
！
=1
×
2
×< br>3
×…×
n).
答案：
2
解析：
注意到两个相邻自然数的乘积除以
3
只能余
0 < br>或余
2
．
因为当
n
≥
3
时，
n！
+4
除以
3
余
1
，所以
n<3
，尝 试
n
取
0
、
1
、
2
后得
n
为
2
．
3
．
找出三个小于
20
的自然数，
它们的最大公约数是
1
，
但是两两均不互质，
请写出所有可能的情况．
答案：
6
、
10
、
15;12
、
10
、
15;18
、
10
、
15
解析：显然不可能有数是
1
，否则与两两不互质矛盾．
不可能有数只含
1
种质因数，
否则根据两两均不互质可知这三个数都有这种质因数，< br>与最大公约数
是
1
矛盾．不可能有数含大于等于
3
种质因数， 不然最小也是
2
×
3
×
5=30
，超过
20.所以每个数恰好含
2
种质因数，因为两两均不互质且最大公约数是
1
，所 以
每一种质因数都恰好在
2
个数中，不在另
1
个数中，那么一共需要
3
×
2
÷
2=3
种
质因数．
（其中
3
表示
3
个数，第一个
2
表示每个数恰好含
2
种 质因数，第二个
2
表示每种质因数恰好在
2
个数中）
如果有
7
，
那么含
7
的
2< br>个数最小是
2
×
7 =14
和
3
×
7=21
，
21> 20
与题意不
符，排除，同理，其余比
7
大的质因数都不可能出现．
所以这
3
种质因数只能为
2、
3
、
5
．先考虑
5
，只能是
2
×< br>5=10
和
3
×
515
，
那么第三个数可以是
2
×
3=6
或
2
2
×
3=12
或
2
×
3
2
=18.
所以共
3
种情况：
6
、
10
、
15;12
、
10
、
15; 18
、
10
、
15.
4
．三个两位奇数，它们的最大公约数是
1
，但是两两均不互质，且三个数
的最小公倍数 共有
18
个约数．求所有满足要求的情况．
答案：
35
、
63
、
75
；
55
、
75
、
99
解析：假设
3
个数为
a
、
b
、
c
，根据题目设
(a
，
6)=
x< br>，
(b
．
c) =
y
，
（
c
，a
）
=
z
．显然
(
x
，
y
) |(a
，
b
，
c)
，所以
x
、
y
、
z
两两互质．显然
x
|a
，
z
|a
，又
(
x
，
z
)=1
，所。以
a=m
x
z
，
b=n
x
y
，
c=p
y
z
.
而
18=2
×
3
×
3
，容易知道
3个数只
有
3
个质因式，
a
只含有因数
x
、z
.
而最小
5
个质数为
2
、
3
、5
、
7
、
11
，而这
3
个数为奇数，所以不能 有
2
为约教，考虑
3
、
5
、
7
、
11
．不可能有因数
13,
如
果有
13
，那么含有
13
的两个数只可能是
13
×
3
，
13
×
5
或
13
×
7
，而
15
2
>100
，
所以第三个数大于
100
不可能，其他大于
11
的质数同样不可 能成为因子．因此
分组因子，得到只有
35
、
63
、
75< br>或者
55
、
75
、
99.
5
．
1
×
4
×
7
×
10
×…×
200 8
的末尾有多少个连续的零？
答案：
167
个
解析：注意到
1
，
4
，
7
，
10
．…，< br>2008
形成一个公差为
3
的等差数列，每
个数都除以
3余
1
．很明显
1
×
4
×
7
×
10
×…×
2008
的乘积中质因数
2
的个数比质
因数5
的个数多，所以末尾有多少个连续的零由质因数
5
的个数决定，下面求
乘积中质因数
5
的个数，
解法一
:1
，
4
，
7
，
10
，…，
2008
中含有质因数
5的数是
10
，
25
，
40
，…，
2005，形成一个首项是
10
，公差为
15
的等差数列，共
134项，把每个数中都
先拿出
1
个因数
5
，共拿出
134< br>个
5
，该数列变为
2
，
5
，
8
，… ，
401.
新形成的数列中含有质因数
5
的数是
5
，20
，
35
，…，
395
，形成一个首项
是
5
，公差为
15
的等差数列，共
27
项，把每个数中都先拿出
1
个因数
5
，共拿
出
27
个
5
，该数列变 为
1
，
4
，
7
，…，
79.
新形成的数 列中含有质因数
5
的数是
10
、
25
、
40
、
55
、
70
，直接呵以看出
含
6
个因数
5
．
综上，
乘积中共含
134+27+6
=
1 67
个质因数
5
，
所以乘积的末尾有
167
个连
续 的零．
解法二：
3
1
，
(1)
先求
1
，
4
，
7
，… ，
2008
中
5
的倍数的个数，即符合
的数，
5
0
利用物不知数知相当于符合÷
15……
10
的数．因为
2008
÷
15=133
……13
，所以
有
134
个除以
15
余
10
的数，即
134
个
5
的倍数．
3
1
，
(2)
求
1
，
4
，
7
，…，
2008
中
25
的倍数的个数，即符合
的数，
25
0
利用物不知数 知相当于符合÷
75
……
25
的数．因为
2008
÷
75=26
……
58
，即
27
个
25
的倍数．< br>
3
1
，
(3)
求
1
，
4
，
7
，…，
2008
中
125
的倍数的个数，即符合
的数，
125
0
利用物不知数知相当于符合÷
375
……
250的数，因为
2008
÷
375=5
……
133
，即5
个
125
的倍数．
3
1
，
(4)
求
1
，
4
，
7
，…，
2008
中
625
的倍数的个数，即符合
的数，
625
0
利用物不知数知相当于符 合÷
1875
……
625
的数，
因为
2008
÷
1875=1
……
133
，
即
1
个
625
的倍数．
综上，乘积中共含
134+27+5+1=1 67
个质因数
5
，所以乘积的末尾有
167
个连续的零．
6
．一个四位数除以它后两位数字组成 的两位数，余数恰好是它前两位数字
组成的两位数．
如果它后两位数字组成的两位数是质数，< br>那么原来的四位数是多
少？
答案：
1011
解析：根据题 目假设四位数为
abcd
，有
cd
|
abcd
-
a b
=99
ab
+
cd
，另外
cd
>
ab
，
cd
为质数，所以
cd
|99
ab
，
c d
|99
，所以
cd
为
11
，因此原来四位数最
小 为
1011.
7
．由数字< br>a
、
b
、
c
各一个可以组成六个不同的三位数，其中五个三位 数的
和是
2075
，那么
a+b+c
是多少？
答案：
10
解析：这六个数分别为
abc
、
bac
、
acb
、
bca
、
cab
、
cba
， 这六个数的和
是
222(a+b+c)
，所以
2075
加上另外那个 三位数后应该是
222
的倍数，可能的
222
的倍数有
222
×
10=2220
、
222
×
11=2442
、
222
×
12=2664
、
222
×
13=2886
，
对应的另外那个三位数是
145
、
367
、
589、
811
．因为
1+4+5 =10
，符合；
3+6
+7
≠
11
，排除；
5+8+9
≠
12
，排除；< br>8+1+1
≠
13
，排除．所以
a+b+c
是
10.
8
．任意一些末两位数是
25
的数相乘，它 们的乘积末两位数仍是
25
，我们
就称
25
是“变不掉的两位数尾巴 ”
．显然
000
是“变不掉的三位数尾巴”
，请写
出所有的“变不掉 的三位数尾巴”
．
答案：
000
、
001
、
376
、
625
解析：
abc
乘以
abc
后的末三位为
abc
，所 以
c
只能为
0
、
1
、
5
、
6．列竖式
变成数字迷即可，
当
c=0
时，容易得到
a
、
b
都为
0
时
000
满足
;
当
c=1
时，容易得到
b=0
，
a=0;