美丽心灵电影-新年伊始是什么意思

2021年2月1日发(作者：天亮了我还是不是你的女人)
八年级数学

乘法公式的综合应用与拓展

一、基本公式

1.
平方差公式：
(a+b)(a-b)=a
2
-b
2


例：计算
1999
2
-2000
×
1998

2.
完全平方公式
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2


例
:
运用公式简便计算

（
1
）
1032
（
2
）
1982


3.
完全平方公式

(1)
完全平方公式变用
1
：利用已知的两项求第三项


a+b(
或
a-b)
、
ab
、
a
2
+b< br>2
这三者任意知道两项就可以求出第三项


（
a+b )
2
、
(a-b)
2
、
ab
这三者任意知道两项就 可以求出第三项


①
a
2

b
2
=
(
a

b
)
2

2
ab
a
2

b
2
=
（
a -b)
2
+2ab


②
（
a-b)
2
=(a+b)
2
-4ab
（
a+b)
2
=(a-b)
2
+4ab
(2)
完全平方公式变用
2
：两个完全平方公式之和的整合



（
a+b)
2
+ (a-b)
2
=2
（
a
2
+b
2
) 例
1
．已知
a

b

2
，
a b

1
，求
a
2

b
2
的值。< br>


例
2
．已知
a

b

8
，
ab

2
，求
(
a
b
)
2
的值。



例
3.
已知
a

b

4
，
ab

5，求
a
2

b
2
的值。



例
4 .
已知
m
+
n
=7
，
mn
=
－
18
，求
m
2
－
mn
+
n
2
的值．



例
5
(3)
已知：
x
+2
y
=7
，
xy
= 6
，求
(
x
-2
y
)
2
的值．



例
6.
已知
a
+
1
2
1
1
2
a
=5
，求（
1
）
a
+
a
2
，
（
2
）
（
a
－
a
）
的值．



例
7.
已知
x< br>
1
x

3
，求
x
4

1
x
4
的值。














1
例
8
．解下列各式

2
2
2
2
（
1
）已知
a

b

13
，
ab< br>
6
，求

a

b

，

a

b

的值。

2
2
2
2
（
2
）已知

a

b

< br>7
，

a

b


4
，求
a

b
，
ab
的值。

a
2
b
2
（
3
）已知
a

a

1

a

b

2
，求
< br>ab
的值。

2
2





(3)
完全平方公式变用
3:
几个数的和的平方推广


几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的
2
倍。


a

b

c


a

b

c

2
ab

2
bc
2
ac

公式的证明：


a

b

c



a

b

c



a

b


2

a

b

c

c

2
2
2
22
2

a

2
ab

b
< br>2
ac

2
bc

c

a

b

c

2
ab

2< br>bc

2
ac

2
2
2
例．计算

（
1
）

x

x

1


（2
）

3
m

n

p

4.
立方和与立方差公式

2
2
3
3
3
3
(a+b)(a
-ab+b
)
＝
a
+b
(a-b)(a2+ab+b2)
＝
a
-b

3
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
3
＝
a
+a
b-a
b-ab
+ab
+b

＝
a
-a
b+a
b-ab
+ab
-b

3
3
3
3
＝
a
+b

＝
a
-b


二、公式的灵活运用

1.
对公式的基本变用

2
2
(1
） 位置变化
，

x

y

y

x

x

y

2
2
2
2
(2
）符号变化，
x

y

x

y

x

y

x

y

2.
整体思想的应用

2
2
2
2
2
2
2
2

(1
）应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”
．

例
1
计算
(-
a
+4
b
)
< br>分析：运用公式
(
a
+
b
)
=
a
+ 2
ab
+
b
时，
____
就是公式中的
a
，
____
就是公式中的
b
；
若将题目变形为
(4
b
-
a
)
时，则
____
是公式中的
a
， 而
____
就是公式中的
b
．（解略）

练习
1.

计算：
5
x
2

3< br>y
2
5
x
2

3
y
2


练习
2.
计算：

x

y

z

x

y

z


练习
3.
计算：



xy

z

m

xy

z

m


练习
4.
计算：

x

y

2
z

x

y

6
z

(2
）应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号

2
2




例
计算：
(-2
x
-5)(2
x
-5)
分析：
本题两个因式中
“
-5
”
相同，
“
2x
”
符号相反，
因而
____
是公式
(
a+
b
)(
a
-
b
)=
a
-
b
中的
a
，而
____
则是公式中的
b
．

解：原式
=



(3
）应用整体思想，要善于分组加括号

根
据原式各项负号的异同
（看前面括号和后面括号
哪些项符号相同，
哪些项
2
2
2< br>2
2
2
2
2
2
2



2

符号相反，
般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体，
据此分组
）采用
添括号合
理分组
的方法，再应用整体思想


例
1.
计算：
(
a

b

c< br>
d
)(

a

b

c

d
)






例
2
计算
(2
x
+
y
-
z+5)(2
x
-
y
+
z
+5)
．






例
3
．计算（
1< br>）

a

4
b

3
c

a

4
b

3
c

（
2
）

3
x

y

2
3
x

y

2




例
4.
计算：

a

b
< br>c

d

2


b

c< br>
d

a

2



例
5.

计算：

3
x

2y

5
z

1


3
x< br>
2
y

5
z

1





例
6
计算
(
a
+
b
+
c
)
2
+(
a
+
b
-c
)
2
+(
a
-
b
+
c
)< br>2
+(
b
-
a
+
c
)
2
．





例
7
．四个连续自 然数的乘积加上
1
，一定是平方数吗？为什么？




3.
公式的逆用


例
1.

计算：

5
a

7
b

8
c
2


5
a

7
b
8
c

2











例
2
计算
(2< br>a
+3
b
)
2
-2(2
a
+3
b< br>)(5
b
-4
a
)+(4
a
-5
b
)
2







3
4.
公式的连用

例
1.
计算：

x

y

x

y

x
y




例
2.
计算：

1

a

a

1
a
2

1
a
4

1



例
3.
计算：
(a-1/2)
(a
+1/4)
(a+1/2)




例
4.
计算：

1


5.
创造条件后用公式

(1)
通过变形，创造条件后用公式

1)
改变顺序：
调整各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显
.
例
1
、

运用乘法公式计算：

1
11
a
2
（
1
）
(
a-
b )(-
b -
);
（
2
）
(x-1/2)(x
+1/4)(x+1/2)
3
4
4
3




2)提出负号：
对于含负号较多的因式，
通常先提出负号，以避免负号多带
来的麻烦。

如（－
2
m
－
7
n
）
（
2
m
－
7
n
）变为（
2
m
+7
n
）
（
7
n
－
2
m
）后就可用平方差公式 求解了

练习：
（
1
）
(-1+3x)(-1-3x)
；

（
2
）
(-2m-1)


3)
先提公因数（式）
，再用公式


例
2. 求：
(1)

8
x



4
x


(2)
（
4
m
+
）
（
2
m
－
）
变为
2
（
2
m
+
）
（
2
m
－
）

2
4
4
4

4)
项数变化

将某一项（某个数）变形：一分为二，通过创造条件分组。

例
3
计 算：
(2x
－
3y
－
1)(
－
2x
－3y
＋
5)
分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数 不符．于是可
创造条件─“拆”数：－
1=2
－
3
，
5=2
＋
3
，使用公式巧解

2
2
2
2
2

2
2





1


1


1


1

1

1

…
1









2
2


3
2


4
2


10
2


y


2


y
4

n
n
n
n
4


例
4.
计算：

2
x

3
y< br>
2

2
x

3
y

6


又如：
（
x
+3
y
+2
z< br>）
（
x
－
3
y
+6
z
）变为（x
+3
y
+4
z
－
2
z
）
（
x
－
3
y
+4
z
+2
z
）后再适 当分组
就可以用乘法公式来解了．



5).
先整体展开，再用公式


例
5.
计算：< br>(
a

2
b
)(
a

2
b

1
)


简析：乍看两个多项式无联系，但把第二 个整式分成两部分，即

(
a

2
b
)

1

，再
将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。


解：原式
=


6)
其它变形技巧

2
2
例
6
：已知
x- y=2
，
y-z=2
，
x+z=14
。求
x
-z< br>的值。

2
2
因为
x-y=2
，
y-z=2
，将两式相加得
x-z=4
，所以
x
-z
=
（x+z
）
(x-z)=14
×
4=56
。

常见的变形技巧


(2)
通过草船借箭后创造条件用公式

例
1 (3)
计算
(2+1)(2
+1)(2
+1)(2< br>+1)
．



分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁， 但若添上一项（
2-1
），则可运用公
式，使问题化繁为简．



解：原式
=(2-1)(2+1)(2
+1)(2
+1)(2
+1)


=(2
-1)(2
+1)(2
+1)(2
+1)


=(2
-1)(2
+1)(2
+1)


=
（
2
-1
）（
2
+1
）



=2
-1
例
2.
计算：
3

(
3

1
)(
3

1
)(
3

1
)(
3

1
)





2
4
2048
例
3
：判断（
2+1
）
（
2
+1
）
（2
+1
）……（
2
+1
）
+1
的个位数字是几 ？







(3)
乘法公式交替用

2
2
3

例试证：
(
x

z
)(
x

2
x z

z
)(
x

z
)(
x
2
xz

z
)

(
x

z< br>)

2
2
2
2
8
4
2
16
8
8
4
4
8
2
2
4
8
2
4
8
2
4
8




5

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