培养的英语-基督教圣诞节歌曲

2021年2月1日发(作者：节后综合征)
数论综合（二）

教学目标：


1
、

掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；

2
、

重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想


例题精讲：

板块一


质数合数


【例
1
】

有三张卡片，它们上面各写着数字
1
，
2
，
3
，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，
可以 得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来
．

【解析】

抽
一张卡片，可写出一位数
1
，
2，
3
；抽两张卡片，可写出两位数
12
，
13
，
21
，
23
，
31
，
32
；抽三
张卡片 ，可写出三位数
123
，
132
，
213
，
231
，
312
，
321
，其中三位数的数字和均为
6
， 都能被
3
整
除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：
2
，
3
，
13
，
23
，
31
．


【例
2
】

三个质数的乘积恰好等于它们和的
11
倍，求这三个质数
．

【
解
析
】

设
这三个质数分别是
a
、
b
、
c
，满足
abc

11
(
a

b

c
)
，则可知
a
、
b
、
c
中必有一个为
11
，不妨
记为
a
，< br>那么
bc

11

b

c
，
整理得
(
b

1
)(
c

1
)

12
，
又
12

1

12
2

6

3

4
，
对应的
b

2
、
c

13
或
b

3
、
c

7
或
b

4
、
c

5

(
舍去
)
，所以这三个质数可 能是
2
，
11
，
13
或
3
，
7< br>，
11
．


【例
3
】

用
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
这
9
个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，
那么这
9
个数字最多能组 成多少个质数？

【解析】

要
使质数个数最多，我们尽量组成一位 的质数，有
2
、
3
、
5
、
7
均为一位质数 ，这样还剩下
1
、
4
、
6
、
8
、
9
这
5
个不是质数的数字未用．有
1
、
4
、
8
、
9
可以组成质数
41
、
89
，而
6
可以与
7
组合成质数
67
．所以这
9
个数字最多可 以组成
6
个质数．


【例
4
】
有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位
数．
求这两个整数分别是多少？

【
解
析
】
< br>两
位数中，数字相同的两位数有
11
、
22
、
33< br>、
44
、
55
、
66
、
77
、88
、
99
共九个，它们中的每个数都
可以表示成两个整数相加的形式， 例如
33

1

32

2

31

3

30

L
L

16

17
，共有
16
种形式，
如果把每个数都这样分解，
再 相乘，
看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，
显然太繁琐了．
可
以从乘 积入手，因为三个数字相同的三位数有
111
、
222
、
333、
444
、
555
、
666
、
777
、
888
、
999
，
每个数都是
111
的倍数，而
111

37

3
，因此把这九个数表示成一个两位数与一 个一位数或两个两
位数相乘时，必有一个因数是
37
或
37
的倍数， 但只能是
37
的
2
倍
(
想想为什么？
)3
倍就不是两位
数了．

把
九
个
三
位
数分
解
：
111

37

3
、
222

37

6

74

3
、
333

37

9
、
444

3 7

12

74

6
、
555

37

15
、
666

37

1 8

74

9
、
777

37

21
、
888

37

24

7 4

12
、
999

37

27
．

把两个因数相加，
只有
(
74

3
)

77
和
(
37

18
)
55
的两位数字相同．
所以满足题意的答案是
74
和
3
，
37
和
18
．


板块二


余数问题


【例
5
】

(
2 003
年全国小学数学奥林匹克试题
)
有两个自然数相除，商是
17
，余数是
13
，已知被除数、除数、
商与余数之和为
2113
，则被 除数是多少？

【解析】

被
除数

除数

商

余数

被除数

除数
+17+13 =2113
，所以被除数

除数
=2083
，由于被除数是除
数的
17
倍还多
13
，
则由
“和倍问题”
可得：
除数
=(2083-13)
÷
(17+1)=115
，
所以 被除数
=2083-115=1968
．


【例
6
】

已知
2008
被一些自然数去除，所得的余数都是
1 0
，那么这样的自然数共有多少个？

【解析】

本
题为一 道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是
2008-10
即1998
的约数，同时还要满足大于
10
这个条件．这样题目就转化为
1 998
有多少个大于
10
的约数，
1998

2

3
3

37
，共有
(1+1)
×
(3+1 )
×
(1+1)=16
个约数，其中
1
，
2
，3
，
6
，
9
是比
10
小的约数，
所以 符合题目条件的自然数共有
11
个．


【例
7
】

有一个整数，除
39
，
51
，
14 7
所得的余数都是
3
，求这个数
．

【解析】

(
法
1)
39

3

36
，< br>147

3

144
，
(36,144)

12
，
12
的约数是
1
,2,3,4,6,12
， 因为余数为
3
要小于除
数，这个数是
4,6,12
；
(
法
2)
由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 ，也就是说它是任意
两数差的公约数．
51

39

12< br>，
147

39

108
，
(12,108 )

12
，所以这个数是
4,6,12
．


【例
8
】

(
2005
年全国小学数学奥林匹克 试题
)
有一个整数，用它去除
70
，
110
，
16 0
所得到的
3
个余数之和
是
50
，那么这个整数是
______
．

【解析】

(70

110
160)

50

290
，
50

3

16......2
，除数应当是
290
的大于
17
小于
70
的约数，只可能是
29
和
58
，< br>110

58

1......52
，
52

50
，所以除数不是
58
．

70

2 9

2......12
，
110

29

3......23
，
160

29

5......1 5
，
12

23

15

50
， 所以除数是
29


【
巩
固
】


(
2002
年全国小学数学奥林匹克试题
)
用自然数
n去除
63
，
91
，
129
得到的三个余数之和为
25
，那
么
n=________
．

【解析】


n
能整除
63

91

129

25

258
．因为
25

3

8...1
，所以
n
是
258
大于
8
的约数．显 然，
n
不
能大于
63
．符合条件的只有
43
．

【例
9
】

一个大于
10
的自 然数去除
90
、
164
后所得的两个余数的和等于这个自然数去除
2 20
后所得的余数，
则这个自然数是多少？

【解析】

这
个自然数去除
90
、
164
后所得的两个余数的和等于这个自然数去 除
90

164

254
后所得的余数，
所以254
和
220
除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是
2 54

220

34
的约数，又大
于
10
，这个自然数只能是
17
或者是
34
．

如果这个数是34
，那么它去除
90
、
164
、
220
后所 得的余数分别是
22
、
28
、
16
，不符合题目条件；如果这个数是
17
，那么他去除
90
、
164
、
220
后所得的余数分别是
5
、
11
、
16
，符 合题目条件，所以
这个自然数是
17
．


【例
10
】

甲、乙、丙三数分别为
603
，
939
，
393
．某数
A
除甲数所得余数是
A
除乙数所得余数的2
倍，
A
除
乙数所得余数是
A
除丙数所得余数的
2
倍．求
A
等于多少？

【解析】

根
据题意，这三个数除以
A
都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：
603

A

K
1
L
L
r
1

939

A

K
2
L
L
r
2

393

A

K
3
L< br>L
r
3

由于
r
1

2
r
2
，
r
2

2
r
3
，要消去余数
r
1
，

r
2
，

r
3
，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．

这样我们先 把第二个式子乘以
2
，使得被除数和余数都扩大
2
倍，同理，第三个式子乘以
4
．

于是我们可以得到下面的式子：

603

A

K
1
L
L
r
1


939

2


A

2
K
2
L
L
2
r
2


393
< br>4


A

2
K
3
L
L< br>4
r
3

这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被
A
整除．
< br>939

2

603

1275
，
393

4

603

969
，

1275,969


51

3

17
．

51
的约数有
1
、
3
、
17
、
51
，其中
1
、
3
显然不满足，检验
17
和
51
可知
17
满足，所以
A
等于
17
．


【例
11
】

(
2003
年南京市少年数学智力冬令营试题
)

2
2003
与
2003
2
的和除以
7
的余数是
__ ______
．

【解析】

找
规律．用
7
除
2
，
2
2
，
2
3
，
2
4
，
2
5
，
2
6
，
…
的余数分 别是
2
，
4
，
1
，
2
，
4
，
1
，
2
，
4
，
1
，
…
，
2
的个数是
3
的倍数时，用
7
除的余数为
1< br>；
2
的个数是
3
的倍数多
1
时，用
7
除的余数为
2
；
2
的个
数是
3
的倍数多
2
时，用
7
除的余数为
4
．因为
2
2003

2
3

667

2
，所以
2
2003
除以
7
余
4
．又两个数的积
除以
7
的余数，与两个数分别除以
7
所得余数的积相同．而
2003
除以
7
余
1
，所以
2003
2
除以
7
余
1
．故
2
2003
与
2003
2
的和除以
7
的余数是
4

1

5
．


2
2008

2008
2
除以
7
的余数是 多少？

【
巩
固
】

【解析】

2
3

8
除以
7
的余数为
1
，
2 008

3

669

1
，所以
2
2008

2
3

669
＋
1

(2
3
)
669

2
，其除以
7
的余数 为：
1
669

2

2
；
2008
除以
7
的余数为
6
，则
2008
2
除以
7
的余数等于
6
2
除以
7
的余数，为
1
； 所以
2
2008

2008
2
除以
7
的余 数为：
2

1

3
．


【例
12
】

(2009
年走美初赛六年级
)< br>有一串数：
1
，
1
，
2
，
3
，5
，
8
，
……
，从第三个数起，每个数都是前两个
数之 和，在这串数的前
2009
个数中，有几个是
5
的倍数？

【解析】

由
于两个数的和除以
5
的余数等于这两个数除以
5
的余数之和再除以
5
的余数．

所以这串数除以
5
的余数分别为：
1
，
1
，
2
，
3
，
0
，
3
，
3
，
1
，
4
，
0
，
4
，
4
，
3
，
2
，
0
，
2
，
2
，
4
，
1
，
0
，
1
，
1
，
2
，
3
，
0
，
……

可以发现这串余数中，每
20
个数 为一个循环，且一个循环中，每
5
个数中第五个数是
5
的倍数．
< br>由于
2009

5

401
L
4
， 所以前
2009
个数中，有
401
个是
5
的倍数．


【巩固】着名的裴波那契数列是这样的：
1
、
1
、
2
、
3
、
5
、
8
、
13
、21
……这串数列当中第
2008
个数除以
3
所得的余数为多少 ？

【解析】

斐
波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都 等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定
理将裴波那契数列转换为被
3
除所得余数 的数列：

1
、
1
、
2
、
0
、< br>2
、
2
、
1
、
0
、
1
、< br>1
、
2
、
0
……

第九项和第十项连续两个 是
1
，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被
3
除的余数每
8
个一个周期循环出现，由于
2008
除以
8
的余数为
0
，所以第
2008
项被
3
除所得的余数
为第
8
项被
3
除所得的余数，为
0
．


【例
13
】

(
1997
年全国小学数学奥林匹 克试题
)
将
111213......
依次写到第
1997
个数字，组成一个
1997
位数，那么此数除以
9
的余数是

________
．

【解析】

本
题第一步是要求出第
1997
个数字是什么，再对数字求和．
< br>1
～
9
共有
9
个数字，
10
～
99
共有
90
个两位数，共有数字：
90

2

180

(
个
)
，

100
～
999
共
900
个
三位数，共有数字：
900

3

2700

(
个
)
，所以数连续写，不会写到< br>999
，从
100
开始是
3
位数，每
三个数字表示一 个数，
(1997

9

180)

3

602......2
，
即有
602
个三位数，
第
603
个三位数只写了它
的百位和十位．从
100
开始的第
602< br>个三位数是
701
，第
603
个三位数是
9
，其中< br>2
未写出来．因为
连续
9
个自然数之和能被
9
整除， 所以排列起来的
9
个自然数也能被
9
整除，
702
个数能分 成的组
数是：
依次排列后，
它仍然能被
9
整除，
但
702
中
2
未写出来，
所以余数为
9-2

7
．

702

9

78

(
组
)
，

【例
14
】
有
2
个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是
1031
，第一个数 各个位的数字之和是
10
，第
二个数的各个位数字之和是
8
，求两个 三位数的和
．

【解析】

本
题条件仅给出了两个乘数的数 字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之
和已经给出，我们可以采用弃九法原理 的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，
所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数 除以
9
的余数分别为
1
和
8
，所以等式一边除以
9
的
余数为
8
，
那么□
1031
除以
9的余数也必须为
8
，
□只能是
3
．
将
3103 1
分解质因数发现仅有一种情
况可以满足是两个三位数的乘积，

即
31031

31

1001

143

217

所以两个三位数是
143
和
217
，那么两个三位 数的和是
360


【例
15
】

设< br>2009
2009
的各位数字之和为
A
，
A
的各位数 字之和为
B
，
B
的各位数字之和为
C
，
C
的各位数字
之和为
D
，那么
D

？

【解析】

由
于一个数除以
9
的余数与它的各位数字之和除 以
9
的余数相同，
所以
2009
2009
与
A、
B
、
C
、
D

除
以
9都同余，
而
2009
除以
9
的余数为
2
，则
2009
2009
除以
9
的余数与
2
200 9
除以
9
的余数相同，
而
2
6

64除以
9
的余数为
1
，所以
2
2009

2
6

334

5


2
6< br>
334

2
5
除以
9
的余数为
2
5
除以
9
的余数，即为
5
．

另一方面， 由于
2009
2009

10000
2009

1 0
8036
，所以
2009
2009
的位数不超过
8036
位，那么它的各位数字
之和不超过
9

8036

72324
，即
A

72324
；那么
A
的各位数 字之和
B

9

5

45
，
B< br>的各位数字之
和
C

9

2

18
，
那么
C
为
5
或
14
，
即
D

5
．

C
小于
18
且除以
9
的余数为
5
，
C
的各位数字之和为
5
，

板块三


完全平方数


【例
16
】

从
1
到
2008
的所有自然数中，乘以< br>72
后是完全平方数的数共有多少个？

【解析】

完
全平方数，其所有质因数必定成对出现．

而
72
2
3

3
2

2

6
6
，所以满足条件的数必为某个完全平方数的
2
倍，

由于2

31

31

1922

200 8

2

32

32

2048
，所以
2

1
2
、
2

2
2、……、
2

31
2
都满足题意，即
所求的满足条件的 数共有
31
个．

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