蜕变作文-大学生入党自传

2021年2月1日发(作者：心藏)

初一实数所有知识点总结和常考题

知识点：

一、实数的概念及分类





1
、实数的分类




















正有理数










有理数




零











有限小数和无限循环小数

实数















负有理数




















正无理数










无理数

















无限不循环小数




















负无理数





整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。


2
、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（
1
）开方开不尽的数，如
7
,
3
2
等；

π
（
2
）有特定意义的数，如圆周率
π
，或化简后含有
π的数，如
+8
等；

3
（
3
）有特定结构的数 ，如
0.1010010001
„等；

二、实数的倒数、相反数和绝对值





1
、相反数

实数与它的相反数时一对数
（只有符号不同的两个数叫 做互为相反数，
零的
相反数是零）
，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于 原点对称，如
果
a
与
b
互为相反数，则有
a+b=0
，
a=
—
b
，反之亦成立。

2
、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，
| a|
≥
0
。零的绝对值时
它本身，也可看成它的相反数，若
|a|= a
，则
a
≥
0
；若
|a|=-a
，则
a< br>≤
0
。正数大于
零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反 而小。

3
、倒数

如果
a
与
b
互为倒数，
则有
ab=1
，
反之亦成立。
倒数等于本身的数是
1
和
-1
。
零没有倒数。

4.
实数与数轴上点的关系：

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，

数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，

实数与数轴上的点就是一一对应的，
即每一个实数都可以用数轴上的一个点
来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。

三、平方根、算数平方根和立方根




1
、平方根

（
1
）
平方根的定义：
如果
一个数
x
的
平方
等于
a
，
那么这个数x
就叫做
a
的
平方根．
即：
2
如果
x

a
，
那么
x
叫做
a
的
平方根．

第
1
页（共
19
页）


< br>（
2
）开平方的定义：求一个数的
平方根
的运算
，
叫 做
开平方．开平方
运算的
被开方数
必须是
非负数
才
有意义。

（
3
）平方与
开平方互为逆运算
：
< br>3
的平方等于
9
，
9
的平方根是

3


（
4
）
一个
正数
有
两个平方根，< br>即
正数
进行
开平方
运算有
两个
结果
；

一个
负数没有平方根，
即
负数不能
进行
开平方
运算

（
5
）符号：
正数
a
的
正
的
平方根
可用
a
表示，
a
也是
a
的
算术平方根；

正数
a
的
负
的
平方根
可 用
-
a
表示
．

（
6
）
x
2

a




<
—
>


x


a

a
是
x
的平方















x
的平方是
a
x
是
a
的平方根













a
的平方根是
x
2
、算术平方根

2
（
1
）算术平方根的定义
：

一般地，如果一个正数
x
的
平方
等于
a
，
即
x
a
，那么这
个
正数
x
叫做
a
的算术 平方根．
a
的算术平方根记为
a
，
读作
“
根号a”
，
a
叫做
被开方数．

规定：
0
的算术平方根是
0.



















也就是，在等式
x
2

a

(x≥0)
中，规定
x

a
。

（
2
）
a
的结果有
两种情况：
当
a
是
完全 平方数
时
，
a
是一个
有限数；

当
a不是一个完全平方数
时，
a
是一个
无限不循环小数。

（
3
）当
被开方数扩大
时，它的
算术平方根
也
扩大 ；

当
被开方数缩小
时与它的算术平方根也
缩小
。

（
4
）
夹值法
及估计一个（无理）数的大小

2
（
5
）
x

a

(x≥0)



<—
>



x

a

a
是
x
的平方

















x
的平方是
a
x
是
a
的算术平方根











a
的算术平方根是
x
（
6
）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

















a
（
a

0
）




























a

0

a
2

a

















；注意
a
的双重非负性：

-
a
（
a
<0
）





























a

0
（
7
）
平方根
和
算术平方根
两者既有区别又有联系：

区别在于
正数的平方根有两个
，而它的
算术平方根只有一个
；
< br>联系在于
正数
的
正平方根
就是它的
算术平方根
，而< br>正数的负平方根
是它的
算术平方根
的
相反数。

3
、立方根

（
1
）立方根的定义：如果
一个数< br>x
的
立方
等于
a
，
这个数叫做
a
的
立方根
（也叫做
三
3
次方根
）
，即如果
x

a
，
那么
x
叫做
a
的
立方根< br>
第
2
页（共
19
页）


（
2
）一个数
a
的
立方根，
记作
3
a
，
读作：
“
三次根号
a
”
，

其 中
a
叫
被开方数，
3
叫
根指数，
不能省略
，若省略表示平方
。

（
3
）

一个
正数
有一个
正
的
立方根；

0
有一个立方根，是它本身；

一个
负数
有一个
负
的
立方根
；

任何数
都有
唯一
的
立方根
。

（
4
）利用
开立方
和
立方互为逆运算
关系，求一个数的立方根，就可以 利用这种互逆关
系，检验其正确性，
求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根， 再取其相反
数，即
3

a


3
a

a

0

。

（
5
）
x
3

a



<
—
>


x

3
a

a
是
x
的立方















x
的立方是
a
x
是
a
的立方根













a
的立方根是
x
（
6
）
3

a


3
a
，这说明三次根号内的负号可以移到 根号外面。

四、科学记数法和近似数





1
、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，
就说它精确到哪一位 ，
这时，
从左边第一个不是零的数
字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数 的有效数字。

2
、科学记数法

把一个数写做

a

10
的形式，其中
1

a

10，
n
是整数，这种记数法叫做科学记数
法。

五、实数大小的比较





1
、数轴

规定了原点、
正方向和单位长度的直线叫做数轴
（画数轴时，
要注意三要素缺一不可）
。

解题时要真正掌握数形结合的思想 ，
理解实数与数轴的点是一一对应的，
并能灵活运用。

2
、实数大小比较的几种常用方法

（
1
）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（
2
）求差比较：设
a
、
b
是实数，
< br>n
a

b

0

a

b< br>,

a

b

0

a
< br>b
,

a

b

0

a

b

（
3
）
求商比较法：
设
a
、
b
是 两正实数，

1

a

b
;
a
b
a
a

1

a

b
;

1

a

b
;

b
b
（
4
）绝对值比较法：设
a
、
b
是两负实数，则
a< br>
b

a

b
。

（
5< br>）平方法：设
a
、
b
是两负实数，则
a

b

a

b
。

六、实数的运算





第
3
页（共
19
页）


2
2

1
、加法交换律









a

b

b

a

2
、加法结合律









(
a

b
)

c

a

(
b

c
)

3
、乘法交换律









ab

ba

4
、乘法结合律









(
ab
)
c

a
(
bc
)

5
、乘法对加法的分配律

a
(
b

c
)

ab

ac

6
、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？

实数混合运算时，将运 算分为三级，
加减为一级运算，乘除为二能为运算，
乘方为三
级运算。同级运算时，从 左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，
而后才算加减；运算中如有括号时，先做 括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺
序进行。


7
、有理数除法运算法则就什么？

两有理数除法运算法则可用两种方式来 表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以
这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除。零除以任何一个
不为零的数，商都是零。

8
、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？

相同因数相乘积的运算叫乘 方，
乘方的结果叫幂，
相同因数的个数叫指数，
这个因数叫
n
底数。 记作
: a

9
、有理数乘方运算的法则是什么？

负 数的奇次幂是负数，
负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数。
零的任何正整数 幂
都是零。

10
、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？

去（加）括号时 如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式
子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去
（加）
括号后式子各项的符号与原括号内式
子相应各项的符 号相反。

常考题：

一．选择题（共
13
小题）

1
．
9
的平方根为（


）

A
．
3
B
．﹣
3
C
．±
3
D
．

2
．
的算术平方根是（


）

A
．
2
B
．±
2
C
．

D
．±

3
．下列各组数中，互为相反数的一组是（


）

A
．﹣
2
与

B
．﹣
2
与

C
．﹣
2
与﹣

D
．
|
﹣
2
|
与
2

4
．如图，数轴上
A
，
B
两点分别对应实数
a
，b
，则下列结论正确的是（


）


A
．
a
+
b
＞
0
B
．
ab
＞
0
C
．
a
﹣
b
＞
0 D
．
|
a
|
﹣
|
b
|
＞
0

5
．估算
﹣
2
的值（


）

A
．在
1
到
2
之间

B
．在
2
到
3
之间

C
．在
3
到
4
之间

D
．在
4
到
5
之间

6
．估计
的值（


）

A
．在
3
到
4
之间

B
．在
4
到
5
之间

C
．在
5
到
6
之间

D
．在
6
到
7
之间

第
4
页（共
19
页）



7
．估计
+
3
的值（


）

A
．在
5
和
6
之间

B
．在
6
和
7
之间

C
．在
7
和
8
之间

D
．在
8
和
9
之间

8
．一个正方形的面积是
15
，估计它的边长大小在（


）

A
．
2
与
3
之间

B
．
3
与
4
之间

C
．
4
与
5
之间

D
．
5
与
6
之间

9
．如图，在数轴上表示实数
的点可能是（


）


A
．点
P B
．点
Q
C
．点
M
D
．点
N

10
．数 轴上表示
1
，
的对应点分别为
A
，
B
，点
B
关于点
A
的对称点为
C
，则
点
C
所表示 的数是（


）


A
．
﹣
1
B
．
1
﹣

C
．
2
﹣

D
．
﹣
2

11
．下列说法不正确的是（


）

A
．
1
的平方根是±
1
B
．﹣
1
的立方根是﹣
1

C
．
是
2
的平方根

D
．﹣
3
是
的平方根

12
．下列各数中 ，
3.14159
，
次加
1
个）
，﹣
π
，
，
，
0.131131113…
（相邻两个
3
之间
1
的个数逐
，无理数的个数有（


）

A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

13．实数
a
，
b
，
c
在数轴上对应的点如图所示，则下列 式子中正确的是（


）


A
．
ac
＞
bc
B
．
|
a﹣
b
|
=a
﹣
b
C
．﹣
a
＜﹣
b
＜
c
D
．﹣< br>a
﹣
c
＞﹣
b
﹣
c



二．填空题（共
13
小题）

14
．
的平方根是





．

15
．﹣
8
的立方根是





．

16
．
的算术平方根是





．

17
．﹣（
）
2
=





．

18
．已知
a
、
b
为两个 连续的整数，且
，则
a
+
b=





．

19
．已知一个正数的平方根是
3x
﹣2
和
5x
+
6
，则这个数是





．

20
．若实数
a
、
b< br>满足
|
a
+
2
|
21
．比较大小：﹣
3
22
．
23
．
5
﹣
=





．

的小数部分是





．






（填
“
＞
”“
＜
”“=”
）
．

，则（
x
+
y
）
2010
的值为





．

第
5
页（共
19
页）


，则
．

=





．






﹣
2
2 4
．比较大小：
25
．若
x
，
y
为实数，且

26
．若将三个数
表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖

的数是





．


三．解答题（共
14
小题）

27
．计算：
（﹣< br>2
）
2
+
（﹣
3
）×
2
﹣
28
．计算：
（﹣
2
）
2
+|
29
．求值 ：
﹣
1
|
﹣
．

．

+
（
）
2
+
（﹣
1
）
2015
．

30
．阅读下面的文字，解答问题：

大家知道
是无理数，而无理数 是无限不循环小数，因此
的小数部分我们不
可能全部地写出来，于是小明用
来表示的小数部分，你同意小明的表示
方法吗？

事实上，
小明的表示方法是有 道理，
因为
的整数部分是
1
，
将这个数减去其整
数部分，差 就是小数部分．

又例如：∵
，即
，

∴
的整数部分为
2
，小数部分为
．

请解答：（
1
）如果
的小数部分为
a
，
的整数部分为
b
，求
的值；

（
2
）已知：
，其中
x是整数，且
0
＜
y
＜
1
，求
x
﹣y
的相反数．

31
．已知：
x
﹣
2
的平方根是±
2
，
2x
+
y
+
7
的立方根 是
3
，求
x
2
+
y
2
的算术平方根．
32
．已知，
a
、
b
互为倒数，
c
、
d
互为相反数，求
的值．

33
．设
2
+
的整数部分和小数部分分别是
x
、
y
，试求
x
、
y
的值与
x
﹣
1
的算术
平方根．

34
．计算：
（﹣
2
）
2
﹣（
3
﹣5
）﹣
+
2
×（﹣
3
）

35
．
（
1
）有这样一个问题：
与下列哪些数相乘，结果是有理数？

A
、
；
B
、
；
C
、
；
D
、
；
E
、
0
，
问题的答案是
（只需填字母 ）
：





；

（
2
）如果一个数与
相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代
数式表示）
．

36
．求值：已知
y=x
2
﹣
5，且
y
的算术平方根是
2
，求
x
的值．
37
．画一条数轴，把﹣
1
，
，
2
各数和它们的相反数 在数轴上表示出来，并
比较它们的大小，用
“
＜
”
号连接．

38
．求
x
的值：

（
1
）
4x
2
=25
；

（2
）
（
x
﹣
0.7
）
3
=0.027
．

39
．已知
2a
﹣
1
的平方根是±< br>3
，
3a
+
b
﹣
1
的算术平方根是
4
，求
12a
+
2b
的立方
根．

40< br>．已知
M=
是
m
+
3
的算术平方根，
N=< br>第
6
页（共
19
页）


是
n
﹣
2
的立方根，试

求
M
﹣
N
的值．



第
7
页（共
19
页）



< br>初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习
(
含答案解析
)

参考答案与试题解析



一．选择题（共
13
小题）

1
．
（
20 17•
武汉模拟）
9
的平方根为（


）

A
．
3
B
．﹣
3
C
．±
3
D
．

【分析】
根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．

【解 答】
解：
9
的平方根有：
=
±
3
．

故选
C
．

【点评】
此题考查了平方根的知识，
属 于基础题，
解答本题关键是掌握一个正数
的平方根有两个，且互为相反数．



2
．
（
2015•
日照）
的算术平方根是（


）

A
．
2
B
．±
2
C
．

D
．±

【分析】
先求得
的值，再继续求所求数的算术平方根即可．

【解答】
解：∵
=2
，

而
2
的算术平方根是
，

∴
的算术平方根是
，

故选：
C
．
【点评】
此题主要考查了算术平方根的定义，
解题时应先明确是求哪个数的算术
平 方根，否则容易出现选
A
的错误．



3
．（
2002•
杭州）下列各组数中，互为相反数的一组是（


）

A
．﹣
2
与

B
．﹣
2
与

C
．﹣
2
与﹣

D
．
|
﹣
2
|
与
2

【分析】
根据相反数的概念、性质及根式的性质化简即可判定选择项．

【解 答】
解：
A
、
B
、
=2
，﹣
2
与
2
互为相反数，故选项正确；

=
﹣
2
，﹣
2
与﹣
2
不互为相反数，故选项错误；

不互为相反数，故选项错误；

C
、﹣
2
与
D、
|
﹣
2
|
=2
，
2
与
2< br>不互为相反数，故选项错误．

故选
A
．

【点评】
本题考查的是相反数的概念，
只有符号不同的两个数叫互为相反数．
如
果两数 互为相反数，它们的和为
0
．



4
．
（
2009•
江苏）如图，数轴上
A
，
B
两点分别对应实数
a
，
b
，则下列结论正确
的是（


）

第
8
页（共
19
页）




A
．
a
+
b
＞
0
B
．
ab
＞
0
C
．
a
﹣
b
＞
0 D
．
|
a
|
﹣
|
b
|
＞
0

【分析】
本题要先观察
a
，
b
在数轴上的位置，得
b
＜﹣< br>1
＜
0
＜
a
＜
1
，然后对四
个选项 逐一分析．

【解答】
解：
A
、∵
b
＜﹣
1
＜
0
＜
a
＜
1
，∴
|
b
|
＞
|
a
|
，∴
a
+
b
＜0
，故选项
A
错误；

B
、∵
b
＜﹣
1
＜
0
＜
a
＜
1
，∴
ab
＜
0
，故选项
B
错误；

C
、∵
b＜﹣
1
＜
0
＜
a
＜
1
，∴
a
﹣
b
＞
0
，故选项
C
正确；

D
、∵
b
＜﹣
1
＜
0
＜
a
＜
1
，∴
|
a
|
﹣
|
b
|
＜0
，故选项
D
错误．

故选：
C
．

【点评】
本题考查了实数与数轴的对应关系，
数轴上右边的数总是大于左边的数．


5
．
（
2015•
新疆）估算
﹣
2
的值（


）

A
．在
1
到
2
之间

B
．在
2
到
3
之间

C
．在
3
到
4
之间

D
．在
4
到
5
之间

【分析】
先 估计
的整数部分，然后即可判断
﹣
2
的近似值．

【解答】
解：∵
5
＜
＜
6
，

∴
3
＜
﹣
2
＜
4
．

故选
C
．

【点评】
此题主要考查了无理数的估算能力，< br>现实生活中经常需要估算，
估算应
是我们具备的数学能力，
“
夹逼法< br>”
是估算的一般方法，也是常用方法．



6
．
（
2014•
营口）估计
的值（


）

A
．在
3
到
4
之间

B
．在
4
到
5
之间

C
．在
5
到
6
之间

D
．在
6
到
7
之间

【分析】
应 先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，
然后判断出所求
的无理数的范围．

【解答】
解：∵
5
＜
＜
6
，

∴
在
5
到
6
之间．

故选：
C
．

【点评】
此题主要考查了估算无理数的那就，
“
夹逼法
”
是估算的一般方法，也是
常用方法．



7
．
（
2006•
沈阳）估计
+
3的值（


）

A
．在
5
和
6
之间

B
．在
6
和
7
之间

C
．在
7
和
8
之间

D
．在
8
和
9
之间

【分析】
先 估计
的整数部分，然后即可判断
+
3
的近似值．

【解答】
解：∵
4
2
=16
，
5
2
=25
，

所以
，

所以
+
3
在
7
到
8
之间．

故选：
C
．

【点评】
此题主要考查了估算无理数的大小的 能力，
理解无理数性质，
估算其数
值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的 数学能力，
“
夹逼法
”
是估算
的一般方法，也是常用方法．



8
．
（
2012•
义乌市）一个正方形的面积 是
15
，估计它的边长大小在（


）

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9
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页）

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