有理数运算和整式运算重点、难点(供参考)
绝世美人儿
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2021年02月01日 07:29
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熟练应用有理数的运算法则进行有理数运算和整式运算
【问题精讲】
1.
要理解相反数、绝对值、倒数、平方、立方等概念的意义和它们之间的联系与区别，这样
才能正确解决有关这些概念的问题。
例
1
.
相反数等于本身的 数是
0
；绝对值等于本身的数是正数和零；倒数等于本身的数是
1
和
-1
；平方数等于本身的数是
0
和
1
；立方数等于本身的数是
-1
、
0
和
1
。
2.
数轴是一条规定 了原点、
正方向和单位长度的直线，
有了数轴就使得在数和表示形的最基
本元素——点 之间建立起了对应关系，为我们利用数形结合的思想解决数学问题奠定了基
础。
通过对数轴上的 点所在位置的观察和比较，
我们可以知道这些点所表示的数的符号性质
和大小关系，从而有利于 问题的解决。
例
2.
a
、
b
、
c三数在数轴上对应点如图所示，其中
|a|=|c|
，则化简
|b-c|-|a- b|-|a-c+2b|
的结果是什么？（
）
解：
由图可知：
化简绝对值的方法是看
绝对值符号内
b<0
，
c<0
，
a>0
，
|a|=|c|
，
|b|>|c|
的式子的符号
，而这一符号则又是
通过
< br>∴b
-c<0
，
a-b>0
，
a-c+2b=2a+2b<0
∴|b
-c|-|a-b|-|a-c+2b|
数轴判断
出来的。
=-(b-c)-(a-b)+(a-c+2b)
=-b+c-a+b+a-c+2b
=2b
3.
有理数的运算顺序：（
1
）在加、减、乘、除和乘方五种运算中，加、减是一级运算，乘、< br>除是二级运算，乘方是三级运算。在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第
二级运算，最后进行第一级运算。即先乘方，再乘、除，最后再算加、减。（
2
）如有括号 ，
先进行括号内的运算。（
3
）如果只有同一级运算，就从左到右依次运算。（
4
）根据运算律
可以改变上述的运算顺序。
例
3
，
计算：
(1)
(3)
解：
(1)
原式
(2)
(2)
：原式
×(
-
7)×(-
7)×7=49
(3)
：原式
分析：
有理数运算在掌握有理数运算法则的基础上要过两关：
一是符号关；
二是简便运算关。
在符号上要注意
-2
2
与
(-2)
2
的不同，
前 者是
2
的平方的相反数，
后者是
-2
的平方。
对于第
（
2
）
题要注意的是同级运算，
要按从左向右的顺序进行计算，
但 不可以先算前两项，
再算后两项，
最后再除，这种运算顺序是错误的，因为对于除法来说没有结 合律的。第（
3
）题不要急于
计算，要仔细观察题的特点，巧妙地运用乘法的分配律、 交换律和结合律进行简便运算。
例
4
：
计算：
(1).
已知：
a-b=5
，
ab=-1
求：
(2a+3b-2ab)-(a+4b+ab)-(3ab+2b-2a)
的值。
(2)
已知：
求：
的值
分析：
这类是由给定条件来求值的题。易出的错误是想从 已知条件求出
a
、
b
（或
x
、
y
）的值来，然后代入求值。但这种想法是难以实现的。我们不妨把给定的条件看成整体，把整体
代入求值 。这就需要我们化简、变形所求式子，构造出和给定条件一致的若干个整体，再代
入求值。
解：
(1) (2a+3b-2ab)-(a+4b+ab)-(3ab+2b-2a)
=2a+3b-2ab-a-4b-ab-3ab-2b+2a
=3a-3b-6ab
=3(a-b)-6ab
当
a-b=5
，
ab=-1
时
原式
=3(a-b)-6ab
=3×5
-
6×(
-1)=15+6=21
(2)∵xy≠0
当
.
即
时：
原式
解法
2
：
此类问题还可以把一个组合看成已知量，
把另一个组合看成未知量求出来，再代入所求式子计
算，以（
2
）为例。
得
xy=3(x+y)
，代入所求式：
[
强化练习
]
1.
有理数
a
、
b
、
c
在数轴上对应的点分别为
A
、
B
、
C
，其位置如图所示，试化简：
|c|-|c+b|+|a-c|+|b+a|
2.
计算：
(1)
(2)
3.
已知：
a=3b
，
c=4a
求：
的值。
1.
下列说法正确的是（
）
A.
一个数的倒数等于本身的只有零
B.
一个数的绝对值等于本身的只有正数
C.
一个数的相反数等于本身的只有零
D.
一个数的平方数等于本身的只有
1
2.a
、
b
在数轴上的位置如图所示：则在
a+b
，
b-2a
，
|a-b|< br>，
|b|-|a|
中负数的个数是（
）
个