最大公因数和最小公倍数典型例题和专项练习
巡山小妖精
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2021年02月01日 07:34
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最大公因数和最小公倍数
典
型例题和专项练习
[
典型例题
]
例
1
、
有三根铁丝，一根长
18
米，一根长
24
米，一根长
30
米。现在要把它们截成同样长 的小段。每段最长可
以有几米？一共可以截成多少段？
分析与解：
截成的小段一定是
18
、
24
、30
的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。
解答：
（
18
、
24
、
30
）＝
6
（
18+24+30
）
÷
6
＝
12
段
答：
每段最长可以有
6
米，一共可以截成
12
段。
例
2
、一张长方形纸，长
60< br>厘米，宽
36
厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截
完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？
分析与解：
要使截成的正方形面积尽可能大，
也就是说，
正方形的 边长要尽可能大，
截完后又正好没有剩余，
这样正方形
边
长一定是
60
和
36
的最大公因数。
解答：
（
36
、
60
）＝
12
（
60÷
12
）
×
（
36÷
12
）＝
15
个
答：
正方形的边长可以是
12
厘米，能截
15
个正方 形。
例
3
、
用
96
朵红玫瑰花和
72
朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵 数相同，白玫瑰花的朵数也相
同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？
分析与解：
要把
96
朵红玫瑰花和
72
朵白玫瑰 花做成花束，
每束花里的红白花朵数同样多，
那么做成花束的个数一定是
96
和
72
的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是
96
和72
的最大公因数。
解答：
（
1
）最多可 以做多少个花束（
96
、
72
）＝
24
（
2）每个花束里有几朵红玫瑰花
96÷
24
＝
4
朵
（
3
）每个花束里有几朵白玫瑰花
72÷
24
＝
3朵
（
4
）每个花束里最少有几朵花
4+3
＝
7
朵
例
4
、
公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。
第一路车每隔
5
分钟发车一次，
第二 路车每隔
10
分钟发车一次，
第三路车每隔
6
分钟发车一次。三路汽 车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？
分析与解：
这个时 间一定是
5
的倍数、
10
的倍数、
6
的倍数，也就是说是< br>5
、
10
和
6
的公倍数，
“
最少多少时间< br>”
，那么，
一定是
5
、
10
、
6
的 最小公倍数。
解答：
［
5
、
10
、
6
］＝
30
答：
最少过
30
分钟再同时发车。
例
5
、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工 序每个工人每小时可完成
3
个；第二道工序每个工人每小
时可完成
12
个；第三道工序每个工人每小时可完成
5
个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安 排
几个工人最合理？
分析与解：
安排每道工序人力时，应使每道 工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每
人每小时完成零件个数的公 倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。
解答：
（
1
）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少 是多少？［
3
、
12
、
5
］＝
60
（< br>2
）第一道工序应安排多少人
60÷
3
＝
20
人
（
3
）第二道工序应安排多少人
60÷
12
＝
5
人
（
4
）第三道工序应安排多少人
60÷
5
＝
12
人
例
6
、有一批机器零件。每
12
个放一盒，就多出
11
个；每
18
个放一盒，就少
1
个；每
15
个放一盒，就有
7
盒各多
2
个。这些零件总数在
300
至
400
之间。这批 零件共有多少个？
分析与解：
每
12
个放一盒，
就多出
11
个，
就是说，
这批零件的个数被
12
除少1
个；
每
18
个放一盒，
就少
1
个，
就是说，
这批零件的个数被
18
除少
1
；
每
15< br>个放一盒，
就有
7
盒各多
2
个，
多了
2×< br>7
＝
14
个，
应是少
1
个。
也就是说，这批零件的个数被
15
除也少
1
个。
解答：
如果这批零件的个数增加
1
，恰好是
12
、
18
和
15
的公倍数。
1
、刚好能
12
个、
1 8
个或
15
个放一盒的零件最少是多少个［
12
、
18、
15
］＝
180
2
、在
300
至
400
之间的
180
的倍数是多少
180×
2
＝
3 60
3
、这批零件共有多少个
360-1
＝
359
个
例
7
、
公路上一排电线杆，共< br>25
根。每相邻两根间的距离原来都是
45
米，现在要改成
60
米，可以有几根不需
要移动？
分析与解：
不需要移动的电线杆 ，一定既是
45
的倍数又是
60
的倍数。要先求
45
和60
的最小公倍数和这条公路的全长，
再求可以有几根不需要移动。
解答：
1
、从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？［
45
、
60
］＝
180
（米）
2
、公路 全长多少米？
45×
（
25-1
）＝
1080
（米）
3
、可以有几根不需要移动？
1080÷
180+1
＝
7
（根）
例
8、
两个数的最大公因数是
4
，最小公倍数是
252
，其中一个数 是
28
，另一个数是多少？
分析与解：
根据
“
两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
”
先求出
4
与
252
的乘积，再用积去
除以
28
即可。
4×
252÷
28=1008÷
28=36
专题练习
1.
有
24
个 苹果，
32
个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？
2.
数学兴趣小组有
24
个男同学，
20
个女同学，现要分成小组，每个小组男、 女同学人数分别相同，最多可以
分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？
3.
有
38
支铅笔和
41
本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出
3
支，练习本还缺
1
本。得奖的好少年
有多少人？
4.
有一包糖，不论分给
8
个人，还是分给
10
个人，都能正好分完。这 包糖至少有多少块？
5.
市场是
20
路和
21
路汽车的起点站。20
路汽车每
3
分钟发车一次，
21
路汽车每
5
分钟发车一次。这两路汽
车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？
6.
中心小学五年级学生，分为
6
人一组，
8
人一组或
9
人一组 排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生
多少人？
7.
五年级学生参加植树活动，人数在
30~50
之间。如果分成
3
人一 组，
4
人一组，
6
人一组或者
8
人一组，都
恰好分 完。五年级参加植树活动的学生有多少人？
8.
有一个数，用
4
、
5
、
6
去除，都能整除，这个数最小是多少？
9
、一些小朋友做游戏，第一次分组每 组
4
人余下
2
人，第二次每组
5
人也余下
2
人，第三次分组每组
6
人还是
余下
2
人。问最少多少名小朋友做游 戏？
10、一间浴室长
1.8
米，
宽
1.44
米。
现在要给浴室 地面铺满整块的正方形瓷砖，正方形瓷砖的边长最长是多少
厘米？
11
、有一袋水果糖，
8
块
8块数多
5
块
;6
块
6
块数多
3
块；< br>4
块
4
块数多
1
块。这代水果糖最少有多少块？
一个数被
3
除余
1
，被
6
除余
4
，被
8
除余
6
。这个数最小是几？
12
、王老师买回一些练习本，如果平均分给5
个班则多出
3
本，如果平均分给
6
个班则多出
4本。已知这些练
习本在
80
——
100本之间，你知道王老师买了多少本练习本？
13
、工人师傅买了一块长方体木块，体积是
693
立方分米，只知道它的长 、宽、高分别相差
2
分米，你能求出
长、宽、高各是多少分米吗？