费马平方和定理 拉格朗日四平方和定理
别妄想泡我
862次浏览
2021年02月01日 07:35
最佳经验
本文由作者推荐
雷锋怎么画-会展策划
费马平方和定理
费马平方和定理：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是 该质数被
4
除余
1
。
第一步
“
如果两个整数都能表示为两个平方数之和，
则它们的积也能表示为两个平方数之和。
”
第一步的证明是婆罗摩笈多－斐波那契恒等式的一种
:
而若将
与
·
互换位置，即可得
。
第二步
“< br>如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数
整除，则它们的 商也能表示为两个平方数之和。
”
假设
a^2 + b^2
能被
p^2+q^2
整除，且后者为素数。则
p^2 + q^2
能整除
:(pb-aq)(pb+aq) = p^2b^2 - a^2q^2 = p^2(a^2+b^2) - a^2(p^2+q^2).
由于
p^ 2+q^2
是素数，因此它能整除两个因子之一。假设它能整除
pb- aq
。由于
:(a^2+b^2)(p^2+q^2) = (ap+bq)^2 + (aq-bp)^2,
可推出
p^2+q^2
能整除
(ap+bq)^ 2
。于是等式能被
p^2+q^2
的平方整除。两边除以
(p^2+q^2) ^2
得：
因此其商能表示为两个平方数之和。
如果
p^2+q^2
能整除
pb+aq
，则利用等式
同样可证。
第三步
“
如果一个 能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整
数整除，则它们的商也必有一个 不能表示为两个平方数之和的因子。
”
假设
x
能整除
a^ 2+b^2
，且其商的分解式为
p_1p_2cdots p_n
。则
a^2+b^2 = x
p_1p_2cdots p_n
。如 果所有的因子
p_i
都能表示为两个平方数之和，则我们可以用
p_1
、p_2
、
等等去除
a^2+b^2
，
并使用第二步的结论，可得每一个商都能表示为两个平方数之和。
除到只剩
x
的时候，
可得x
也能表示为两个平方数之和，
矛盾。因此，如果
x
不能表示为两
个平方数之和，则至少有一个素数
p_i
也不能表示为两个平方数之和。
第四步
“
如果
a
和
b
互素，则
a^2 + b^2
的所有因子都能表示为两个平方数之和。
”
这一步用到了无穷递降法 。设
x
是
a^2+b^2
的一个因子。可记
:a = mx pm c,qquad b = nx pm d
其中
c
和
d
的绝对值最多不超过
x
的一半。可得：
a^2 + b^2 = m^2x^2pm 2mxc + c^2 + n^2x^2 pm 2nxd + d^2 = Ax + (c^2+d^2).
因此，
c^2+d^2
一定能被
x
整除，设
c^2+d^2 = yx
。如果
c
和
d
不互素，则它们的
[[
最< br>大公约数
]]
与
x
互质
(
否则它就能整除
a
和
b
，
与我们假设它们互素矛盾〕
。
因此它们的最大公约数的平方能整除
y
（因为它能整除
c^2+d^2
），于是我们得到
e^2+f^2 = zx
，其中
e
和
f
互素，且
z
不超过
x
的一半，这是因为
如果
c
和
d
互素，则我们可直接使用
c
和
d
，不必转换 成
e
和
f
。
如果
x
不能表示为两个平方 数之和，则根据第三步的结论，可知必有一个
z
的因子不
能表示为两个平方数之和；< br>设它为
w
。
于是我们从
x
推出了一个更小的整数
w< br>，
都不能表示
为两个平方数之和，
但都能被一个能表示为两个平方数之和的整数 整除。
由于这个无穷递降
是不可能的，因此
x
一定能表示为两个平方数之和。
第五步
“
任何形为
4n+1
的素数都能表示为两个平方数之和。
”
如果
p=4n+1
，则根据费马小定理可得
被
p
除都余
1
。因此它们的差
2^{4n} -1, 3^{4n} -2^{4n},dots,(4n)^{4n} - (4n-1)^{4n}
都能被
p
整除。这些差可分解为
a^{4n} - b^{4n} =(a^{2n}+b^{2n}/(a^{2n} - b^{2n}.
由于
p
是 素数，它一定能整除这两个因子之一〔以下称它们为
“
和因子
”
和
“
差因子
”
〕。
如果它能整除任何一个
“
和因子
”< br>，则根据第四步的结论可得
p
能表示为两个平方数之和〔由
于
a
和
b
仅相差
1
，它们必然互素〕。而如果它能整除所有的
4n-1
个
“
差因子
”
，
则它也 能整除
4n-2
个一阶差、
4n-3
个二阶差，
依此类推。
由于数列
1^k, 2^k, 3^k,dots
的第
k
阶差都等于
k!
，于是第
2n
阶差都等于
(2n)!
，显然它不能被
p
整除。因此，
p
不能整
除所有的
“
差因子
”
，得证
p
能表示为两个平方数之和。