【5年级奥数课本(上)】第15讲_公约数与公倍数进阶
巡山小妖精
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2021年02月01日 07:59
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小
学
奥
数
小学奥数创新体系
5
年级
（上册授课课本）
最
新
讲
义
第十五讲
公约数与公倍数进阶
这一讲我们来继续学习有 关约数与倍数更深入的知识．
首先来看一下最大公约数、
最小
公倍数与原数之间的关系 ．
两个数，如果它们的最大公约数是
k
．那么可以假设这两个数分别为k
a
、
k
b
，其
中
a
、
b
互质．
k
a
k
b
a
和
b
互质
而它们的最小公倍数可以表示为
k
a
b
．
通过观察，我们发现
k
a
k
b
k
k
a
b
．由此可得：
两数的最大公约数乘以最小公倍数等于两数乘积
注意，这个性质只在两个数的时候有效，如果数更多就不成立，同学们可以尝试举例说明．
< br>性质虽然好用，
但它要求给出最大公约数，
最小公倍数和两数中的一个才行．
如 果只给
出最大公约数和最小公倍数，能不能把原来的两个数都求出来呢？
例题
1
．
（
1
）两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是
18< br>，最小公倍数是
216
．这两
个数是多少？
（< br>2
）若两个数的最大公约数是
18
，最小公倍数是
1080
． 这两个数有哪几组？
「分析」
最大公约数是
18
，
说明两 个数都是
18
的倍数，
可以分别设为
18
a
和< br>18
b
，
且
a
、
b
互质．接下来 ，我们讨论一下
a
、
b
的取值．
练
习
1
（
1
）两个互质 的自然数的最小公倍数是
432
．求这两个数．
（
2
）若 两个不成倍数关系的自然数，最大公约数是
45
，最小公倍数是
900
．求这 两个数．
经过前面的例题，
我们知道，
如果知道两个 数的最大公约数，
就可以把这两个数表示出
来．比如说两数的最大公约数是
12
，那么这两个数都是
12
的倍数，可以设为
12
a
和
12
b
，
而且
a
和
b
互质．
那么这两个数的最 小公倍数、
和、
差以及乘积就都可以用
a
和
b
表示出来了．
例题
2
．两个小于
150
的自然数的 乘积是
2028
，它们的最大公约数是
13
，求这两个数．
「分析」
可以设两个数分别是
13
a
和
13
b
，且
a
、
b
互质．