中考数学专题20几何三大变换问题之轴对称折叠问题含解析.doc
绝世美人儿
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2021年02月01日 16:04
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数学谜语-大败局
2019-2020
年中考数学
专题
20
几何三大变换问题之轴对称（折叠）问题（含解
析）
轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面
图形，并使这两个图
形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称 变换。轴对称具有这样的重要性质：
（
1
）成轴对称的两个图形全等；
（
2
）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。中
考压轴题中轴对称
(
折叠
)
问题，包括有关三角形的轴对称性问题；有关四边形的轴对称性问题；有关圆的
轴对称性问题；有关利用轴对称性求最值问题；有关平面解析几何中图形的轴对称性问题。
一
.
有关三角形的轴对称性问题
1.
如图，
AD
是△
ABC
的角平分线，
DE
⊥
AB
，
DF
⊥
AC
，垂足分别是点
E
，
F
，连接
EF
，交
AD
于点
G
，求证：
AD
⊥
EF
．
2.
如图，
在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90
0
，∠
B=30
0
，
BC=
2 3
，点
D
BC
边上一动点（不与
是
点
B
、
C
重合），
过点
D
作
DE
⊥
BC
交
AB
边于
点
E
，将∠
B
沿直
线
DE
翻折，
点
B
落在射线
BC
上的
点
F
处，当△
AEF
为等腰三
角形时，
BD
的长为
。
A
E
C
F
D
B
【答案】
3
。
【考点】
翻折问题，轴对称的性质，锐角
三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等 腰三角形
的判定，分类思想的应用。
二
.
有关四边形的轴对称性问题
3.
如图①是
3
×3
菱形格，将其中
两个格子涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕
菱形
A BCD
的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有【
】
A
．
4
种
【答案】
B
。
B
．
5
种
C
．
6
种
D
．
7
种
【考点】
利用旋转的轴对称设计图案。
【分析】
根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案：
得到的不同图案有：
共
5
个。故选
B
。
4.
如图，△
ABC
中，已知∠
BAC=45
°，
AD
⊥
BC
于
D
，
BD=2
，
DC=3
，求
AD
的长。
小萍同学灵活运用了轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。
（
1
）分别以
AB
、
AC
为对称轴，画出△
ABD
、△
ACD
的轴对称图形，
D
、
C
点的对称点分别
为
FC
相交于
G
点，求证：四边形
AEGF
是正方形；
E
、
F
，延长
EB
、
（
2
）设
AD=x
，利用勾股定理，建立关于
x
的方程模型，求出
x
的值。
【答案】（
1
）由翻折变换可得∠
E
＝∠
ADB
＝
90
°，
EB
＝
BD
＝
2
，
CF
＝
CD
＝
3
，
∠
F
＝∠
ADC
＝
90
°，
AE
＝
AD
，
AF
＝
AD
，再结合可得四边形
AEGF
为矩形，再有
AE
＝
AF
＝
AD
，即可证得结论；
（
2
）
6
【解析】
据勾股定理即可列方程求得结果
.
在
Rt
△
BGC
中，
(x
解得
2)
2
(x 3)
2
5
2
x
6
，
x
1
2
1
（不合题意，舍去）
∴
AD
＝
x=6.
考点：翻折变换，正方形的判定，勾股定理
点评：解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前
后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直
角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形
0
.
5.
菱形
ABCD
中，∠
ABC=45
，点
P
是对角线
BD
上的任一点，点
P
关于直线
AB
、
AD
、
CD
、
BC
的对称点分
别是点
E
、
F
、
G
、
H
，
BE
与
DF
相交于点
M
，
DG
与
BH
相交于点
N
，证明
:
四边形
BMDN
是正方形。
【答案】
∵四边形
ABCD
是菱形，
∴∠
ABD=
∠
DBC=
∠
ADB=
∠
BDC
。
0
∵∠
ABC=45
，点
P
关于直线
AB
、
AD
、
CD
、
BC
的对称点分别是
点
0
0
E
、
F
、
G
、
H
，
∴∠
MBN=
∠
MDN=90
，∠
MBC=
∠
MDB=45
。
∴△
BDM
是等腰直角三角形。
∴∠
BMD=90
，
BM=DM
。
0
∴四边形
BMDN
是正方形。
【考点】
菱形的性质，轴对称的性质，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性质。
三
.
有关圆的轴对称性问题
6.
如图，已知⊙
O
的直径
CD
为
4
，弧
AC
的度数为
120
°，弧
BC
的度数为
30
°，在直径
CD
上作出点
P
，
使
BP+AP
的值最小，若
BP+AP
的值最小，则
BP+AP
的最小值为
。
【答案】
6
2
。
，弧、圆心角和圆周角的关系，等边三角形的性质，锐
【考点】
圆的综合题，轴对称（最短路线问题）
角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，配方法的应用。
【分析】
如图，过
B
点作弦
BE
⊥
CD
，连接
AE
交
CD
于
P
点，连接
PB
，则点
P
即为使
BP+AP
的值最小的
点。
7.
已知
A
，
B
，
C
为⊙
O
上相邻的三个六等分点，点
E
在劣弧
AC
上
(
不与
A
，
B
，
C
重合
)
，
EF
为⊙
O
的直径，将⊙
O
沿
EF
折叠，使点
A
与
A
′重合，点
B
与
B
′重合，连接
EB
′，
EC
，
EA
′。设
EB
′
EC=c
，
EA
′
=p
。试探究
b
，
c
，
p
三者的数量关系。
【
答案】
如图
1
，若点
E
在弧
AB
上，连接
AB
、
AC
、
BC
，
=b
，