圆的面积计算 教材分析
绝世美人儿
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2021年02月01日 16:27
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教材分析
:
圆是小学数学平面图形教学中唯一的曲线图形。< br>本课是在学生了
解和掌握了圆的特征、
学会计算圆周长的计算以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。教材将理解“化曲为
直”的转化思想贯穿在活动之中。
通过一系列的活动将新的数学思想
纳入到学生原有的认知结构之中，
从而完成新知的建 构过程。
学好这
节课的知识，
对今后进一步探究“圆柱圆锥”的体积起着举足轻重的< br>作用。
【教学目标】
1
、
了解圆的面积的含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌
握圆面积计算公式。
2
、
能正确运用圆的面积公式计算圆的面积，
并能运用圆面积知
识解决一些简单实际的问题。
3
、在估一估和探究圆面积公式的活动中，体会“化曲为直”的
思想，初步感受极限思想。
教学重点】
探索并掌握圆的面积公式。
【教学难点】
1
探索推导圆的面积公式，体会“化曲为直”思想。
【教具准备】
投影仪，多煤体课件
,
圆形纸片。
【学具准备】
圆形纸片。
【教学设计】
一、
创设情境。提出问题
（投影出示
P16
中草 坪喷水插图）
这节课我们就来学习如何求喷
水头转动一周浇灌的面积有多大。（板书：圆的面积 ）
二、
探究思考。解决问题
1
、估计圆面积大小
师：
请大家 估计半径为
5
米的圆面积大约是多大？
（让同学们充
分发挥自己感官，估计草 坪面积大小）
------
2
、
用数方格的方法求圆面积大小
①
投影出示
P16
方格图，让同学们看懂图意后估算圆的面积，
学生可以讨论交流。
2
②
指明反馈估算结果，并说明估算方法及依据。
1
、
根据圆里面的正方形来估计
2
、
用数方格的方法来估计。
三、
探索规律
1
、
由旧知引入新知
师：大家还记得我们以前学习的平行四边形、 三角形、梯形面积
分别是由哪些图形的面积来的吗？（学生回答，教师订正。那么圆形
的面积可 由什么图形面积得来呢。
2
、
探索圆面积公式
师：
拿出我们剪好的图形拼一拼，< br>看看能成为一个什么图形？并
考虑你拼成的图形与原来的圆形有什么关系？
（同学们开始 操作，
教
师巡视）
指名汇报（学生在说的同时教师注意板书）
请大家来观察一下 刚才拼成的哪个图形更接近长方形呢？
[
等分
为
32
份的更接近长方 形。
]
想象一下，
如果把一个圆等分的份数越多，
拼 成的图形越接近什
么图形呢？
[
等分的份数越多，就越接近长方形。
]
3
观察黑板上的板书，
你能否由平行四边形或者长 方形的面积公式
得到圆形面积公式呢？并说出你的理由。（生说，教师板书）
因为拼成的平行四边形的底也就是圆形周长的一半；
平行四边形
的高就是圆 形的半径。而平行四边形面积
=
底×高，那么圆形面积公
式
=
圆周长 的
×
半径即可。
因为拼成的长 方形的长也就是圆形周长的一半，
长方形的宽就是
圆形的半径。而长方形面积
=
长×宽，那么那么圆形面积
=
圆周长的
1
×半径即可。
2
1
2
用字母怎么表示圆面积公式呢？
S=
r r
还可以写作
S=
r
2
师：
这说明求圆的面积只需要知道半径即可，
那我只告诉你们圆
的直径又如何求出圆的 面积呢，
请大家自己把这个公式写出来。
教师
板书。
3
、
应用圆面积公式
根据下面的条件
,
求圆的面积。
r=6
厘米
d =0.8
厘米
r=1.5
分米
师：
现在请大家用圆面积公式计算喷水头转动一周可以浇灌多大
面积的农田。
(
学生独立解答，指名回答）
4
四：拓展应用
习题设计：
1.
填空：
（１）圆的周长计算公式为（
），圆的周长计算公式为（
）。
（２）一个圆的半径是
3
厘米，求它的周长，列式（
），求它
的面积，列式（
）。
（３）一个圆的周长是１８．８４分米，这个圆的直径是（
）
分米，面积是（
）平方分米。
２
.
判断：
（１）半径是２厘米的圆，周长和面积相等（
）［让孩子知道
得数虽然相同，但计量单位不同，不能进行比较。］
（２）一个圆形纽扣的半径是１．５厘米，它的面积是多少？列
式：３．１４
X
１．５２＝３．１４
X
３＝９．４２平方厘米。（
）。
［此题在计算１．５２的时候把１．５２看作１．５Ｘ２，而１．５
２＝１．５Ｘ１．５］
（３）直径相等的两个圆，面积不一定相等。（
）
（４）一个圆的半径扩大３倍，面积也扩大３倍。（
）
5
（５）
两个不一样大的圆，
大圆的圆周率比小圆的圆周率大。
（
）
３
.
实际应用：
一块圆形铁板的 半径是
3
分米
,
它的面积是多少平
方分米
?
4.
要求一张圆形纸片的面积
,
需测量哪些有关数据
?< br>比比看谁先
做完
,
谁想的办法多
?
( 1)
可测圆的半径
,
根据
S=
π
r2
求出面积。< br>
(2)
可测圆的直径
,
根据
S=π
(d/2)2
求出面积。
(3)
可测 圆的周长
,
根据
S=
π
·(c/2
π
)2
求出面积。
实践练习
:
圆形 的物体生活中随处可见，
公园的露天广场是个圆形，
怎样才
能计算广场的面积呢？[
让学生讨论，你有哪些方案？并留给学生课
后去实践。这样，使学生意犹未尽，感到课虽 尽，但疑未了，为下一
课已知周长求面积埋下伏笔。
]
修改稿：
一、
创设情境。提出问题
（投影出示
P16
中草坪喷水插图）
6
师：同学们，这是现代化农田里的一个自动喷水头，喷射的距离
为
5
米，你们谁知道喷水头喷射一周，我们得到了一个什么样的图
形？
学生回答：圆形
]
[
课件演示喷射过程，理解什么是圆的面积
]
你们想 知道这样一个自动喷水头它喷射一周浇灌的农田面积是
多少吗？这节课我们就来学习如何求喷水头转动一 周浇灌的面积有
多大。（板书：圆的面积）
第二环节估计圆面积大小的两种设计哪个好呢？
方案一：出示课件：：
用边 长等于半径的小正方形透明塑料片
,
直接度量圆面积
,(
如图
)观察后得出圆面积比
4
个小正方形小
,
好象又比
3
个 小正方形大一
些。初步猜想
:
圆的面积相当于
r2
的
3倍多。
由此看出
,
要求圆的精确面积通过度量是无法得出的。
7
三、
探索规律
1
、
由旧知引入新知
我们在学习 推导几何图形的面积公式时
,
总是把新的图形经过分
割、拼合等办法
,
将它们转化成我们熟悉的图形
,
大家还记得我们以
前学习的平行四边形、
三角形、
梯形面积分别是由哪些图形的面积推
导来的吗？（学生回答后教师课件演示平行四边形 ，三角形，梯形面
积推导过程。）
今天我们能不能也用这样的方法推导出圆面积的计算公式呢
?
[
这一探索性地设问
,
使学生产生悬念
,
引入深思。它与得出圆面< br>积计算公式后的验证
,
前后呼应
,
融为一体。使学生对圆面积与
r2
的
倍数关系
,
获得十分鲜明的表象
,
而且有助于避免 与圆周长的计算公
式
(C=2
π
r)
产生混淆。
]
2
、
探索圆面积公式
（
1
）
学生操作
师：< br>请大家拿出准备好的
16
等分的圆，
和小组同学一起剪一剪，
拼一拼，
看看能拼成一个什么图形？并考虑你拼成的图形与原来的圆
形有什么关系？（同学们开始操作， 教师巡视）
（
2
）指名汇报
8
初步汇报：
你们把圆转换成了什么图形？
（在学生 说的同时教师
课件演示）
学生可能出现的
4
种情况：
（
3
）操作反思
小组内拿出32
等分的圆形，剪一剪，拼成一个长方形，和用
16
等分的圆拼成的长方形比较 你发现了什么？
[32
等份后拼成的图形
更接近于长方形
]
如果把一个圆等分成
64
份、
128
份„„拼成的长方形 会怎样
呢
?(
微机显示
)(
圆等分的份数越多
,
拼 成的图形越接近于长方形。
)
（
4
）转化思考：近似 长方形的长相当于圆的哪一部分
?
怎样用字
母表示
?
(
圆周长的一半，
C/2=
π
r),
它的宽是圆的哪一部分
?(
半径
r)[
课
件演示
]
（
5
）观察汇报：
你能否由长方形的面积公式得到圆形面积公式
呢？并说出你的理由。
[
因为拼成的长方形的长也就是圆形周长的
9
一半，长方形的宽就是圆形的 半径。而长方形面积
=
长×宽，那么那
么圆形面积
=
圆周长的
1/2×半径即可。
]
（生说，教师板书）用字母怎么表示圆面积公式呢？
[
指导学生自己动手
,
并通过微机演示
,把一个圆剪拼成近似的长
方形
,
从长方形面积公式
,
推出圆面积 计算公式。这样
,
可以培养学生
初步的空间想象力
,
也可以渗透以直 代曲的辩证唯物主义观点。
]
（
6
）
拓展探究：
根据上面 的由长方形的面积计算公式推导出来圆的面积计
算公式，
你是否受到了启发？刚才还有的同学把 圆转化成了平行四边
形，
等腰三角形或者是梯形，
你能试着用你转化成的那个图形的面 积
公式推出圆的面积公式吗？
[
小组探究尝试，然后汇报，
]
[
师根据汇报演示：
1
把圆
16
等份分割后拼插 成近似的平行四边
形
,
平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（
C/4=< br>π
r/2
）
,
高等于
圆半径的
2
倍
(2r),
所以
S=
π
r/2·2r=
π
r2
。
2
圆
16
等份分割后可
拼插成近似的等腰三角形。三角形的底
相当于圆周长的
1/4,
高相当于圆半径的
4倍
,
所以
S=1/2
·2
π
r/4r=
πr2
10
。
3
把圆分割后
,
可拼成近似的等腰梯形。梯形上底与下底的和
就是圆周长的一半
,
高等于圆 半径的
2
倍
,
所以
S=1/2·
π
r·2r=π
r2]
（
7
）总结：无论我们把圆拼成什么样 的近似图形
,
都能推导出圆
的面积公式
S=
π
r2,
验证了原来猜想的正确。说明在求圆的面积时
,
都要知道半径。
[
引导学生通过多次不同的实验
,
采用转化的方法
,利用等积变形
把圆面积转化成近似的长方形、等腰三角形和等腰梯形
,
从而推导出
圆面积计算公式。
同时
,
利用计算机的演示
,
化静为动,
化虚为实
,
帮助
学生把抽象的内容具体化
,
进一步加 深对圆面积公式推导过程的理
解。
]
（
8
） 升华：今天我们探究出了圆的面积计算公式，真了不起，
在人们没有总结出这个公式的时候，
如何计算圆的面积，是各国数
学家共同关心的问题。老师这里有一段小故事，大家一起来读一读 。
内容：
刘徽在校注
《九章算术》
时，创立了一种新的数学方法——
“割圆术”来进行有关圆的计算。
《九章算术》中 已有圆面积的计算
公式，但没有说明是怎么来的，刘徽为此苦苦思索，有一次他看见石
匠在加工 石料，石匠把一块方石砍去四角，就变成八角形的石头，再
去掉八个角又变成了十六角形，
这样 一凿一斧地干下去，
一块方形石
料就被加工成一根光滑的圆柱了。
刘徽因此得到启发：
原来圆与直线
11