黄瓜英文-风之诗吉他谱

2021年2月1日发(作者：萧何简介)
小学奥数特训营



4-3-2.
三角形等高模型与鸟头模型

例题精讲

板块一


三角形等高模型


我们已经知道三角 形面积的计算公式：三角形面积

底

高

2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三 角形的底不变，高越大
(
小
)
，三角形面积也就越大
(
小< br>)
；

如果三角形的高不变，底越大
(
小
)
，三角形面积也就越大
(
小
)
；

这说明当三角形的面积变 化时，
它的底和高之中至少有一个要发生变化．
但是，
当三角形的底和高同时发生变化
1
时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的
3
倍，底变为原来的< br>，则三角形面积与原来的一样．这就
3
是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和 底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：
一个三角形在面积不改变的情况下，可以有 无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

①
等底等高的两个三角形面积相等；

②
两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图
S
1
:
S
2

a
:
b

A
B
s
1
a
s
2
b
C
D





③
夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图
S△
ACD

S
△
BCD
；

反之，如 果
S
△
ACD

S
△
BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
．

④
等底等高的两个平行四边形 面积相等
(
长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形
)
；

⑤
三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥
两个 平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

板块二


鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面 积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比．

如图在
△
ABC
中，
D
,
E
分别是
AB< br>,
AC
上的点如图

⑴
(
或
D
在< br>BA
的延长线上，
E
在
AC
上
)
，

则
S
△
ABC
:
S
△
ADE
< br>(
AB

AC
)
:
(
AD

AE
)

小学奥数特训营

D
A
A
D< br>E
B
C
B
E
C




图
⑴















图
⑵

【例
1
】

如图在
△
ABC
中，
D
,
E
分别是
AB
,
AC
上的点，且
A D
:
AB

2:5
，
AE
:
AC

4:7
，
S
△
ADE

16
平方厘米，求
△
ABC
的面积．

A
A

D
E
D
E
B
C
B

















【考点】三角形的鸟头模型


【难度】
2
星



【题型】解答

C

【解析】

连
接
BE
，
S< br>△
ADE
:
S
△
ABE

AD
:< br>AB

2
:5

(2

4)
:(5

4)
，

S
△
ABE
:
S
△
ABC

AE
:
AC

4
:
7

(4

5)
:
(7

5)
，所以
S
△
ADE
:
S
△
ABC

(2

4)
:
(7

5)
，设
S
△
ADE

8
份，则
S
△
ABC

35
份，
S
△
ADE

16
平方厘米 ，所以
1
份是
2
平方厘米，
35
份就是
70
平方厘米，
△
ABC
的面积是
70
平方厘米．由此我们得到一个重 要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角
(
相等角或互
补角
)< br>两夹边的乘积之比

．

【答案】
70

【巩固】如图，三角形
ABC
中，
AB
是
AD
的
5
倍，
AC
是
AE
的
3
倍，如果三角形
AD E
的面积等于
1
，那么三
角形
ABC
的面积是多少？

A
A
D
E
C
D
E
C

















B
【考点】
三角形的鸟头模型


【难度】
2
星



【题型】解答

【解析】

连
接
BE
．

∵
EC

3
AE


∴
S
ABC

3
S
ABE

又
∵
AB

5
AD

∴
S
ADE
B


S
ABE
< br>5

S
ABC

15
，
∴
S
ABC

15
S
ADE

15
．

【答案】
15

【巩固】如图，三角形
ABC
被分成了甲
(
阴影部分
)
、乙两部分，
BD

DC

4
，
BE

3
，
AE

6
，乙部分面积
是甲部分面积的几倍？

小学奥数特训营

A
E
B
甲
E
甲
D
A
乙
乙
C
B
C
D











【考点】
三角形的鸟头模型


【难度】
2
星



【题型】解答


【解析】

连
接
AD
．

∵
BE

3
，
AE

6

∴
AB

3
BE
，
S
∴
S
< br>2
S
ABD

3
S
BDE

，
S
乙

5
S
甲
．

又
∵
BD

DC

4
，

ABC
ABD
，
∴
S
ABC

6
SBDE
【答案】
5

【例
2
】

如图在
△
ABC
中，
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，且
AB
:
AD

5:2
，

AE
:
EC

3:
2
，
S
△
ADE

12
平方厘米，求
△
AB C
的面积．

D
D
A
A
E
B
C
B
E








【考点】
三角形的鸟头模型


【难度】
3
星



【题型】解答

【解析】

连
接
BE
，
S
△
AD E
:
S
△
ABE

AD
:
AB

2
:5

(2

3)
:
(5
< br>3)


















































S
△
ABE
:
S
△
ABC
< br>AE
:
AC

3:
(3

2)
< br>(3

5)
:

(3

2)
5

，

C
所以
S
△
ADE
:
S
△
ABC

(3

2)
:

5

(3

2)


6
:
25
，设
S
△
ADE

6
份，则
S△
ABC

25
份，
S
△
ADE
< br>12
平方厘米，
所以
1
份是
2
平方厘米，
2 5
份就是
50
平方厘米，
△
ABC
的面积是
50< br>平方厘米．由此我们得到一个重要
的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比

【答案】
50

【例
3
】

如图所示，在平行四边形
ABCD
中，
E
为
AB
的中点，
AF

2
CF
，三角形
AFE
(
图中阴影部分
)
的面积
为< br>8
平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

D
C
F
A
E
B

【考点】
三角形的鸟头模型


【难度】
2
星



【题型】解答

【解析】

连
接
FB
．三角形
AFB
面积 是三角形
CFB
面积的
2
倍，而三角形
AFB
面积是三角形
AEF
面积的
2
倍，
所以三角形
ABC
面积是三角 形
AEF
面积的
3
倍；又因为平行四边形的面积是三角形
ABC面积的
2
倍，
所以平行四边形的面积是三角形
AFE
面积的（
3

2
）

6
倍．因此，平行四边形的面积 为
8

6

48
(
平方
厘米
)< br>．

【答案】
48

小学奥数特训营

【例
4
】

已知
△
DEF
的面积为7
平方厘米，
BE

CE
,
AD

2
BD
,
CF

3
AF
，求
△
AB C
的面积．

A
F
D
B
E
C

【考点】
三角形的鸟头模型


【难度】
3
星



【题型】解答

【解析】

S
△
BDE
:
S
△
A BC

(
BD

BE
)
:
(
BA

BC
)

(1

1)
:
(2< br>
3)

1:
6
，
S
△
CEF:
S
△
ABC

(
CE

CF
)
:
(
CB

CA
)

(1

3)
:
(2

4)

3:8
S
△
ADF
:
S
△
ABC

(
AD

AF
)
:
(
AB

AC
)
(2

1)
:
(3

4)

1:6

设
S
△
ABC

24
份，则S
△
BDE

4
份，
S
△
ADF
4
份，
S
△
CEF

9
份，
S
△
DEF

24

4

4

9

7
份，恰好是
7
平
方厘米，所以
S< br>△
ABC

24
平方厘米

【答案】
24

【例
5
】

如图
16-4
，已知．< br>AE=
三角形
DEF
的面积
1
1
1
AC，
CD=
BC
，
BF=
AB
，那么
等于多少< br>?
三角形
ABC
的面积

5
4
6



【考点】
三角形的鸟头模型


【难度】
3
星



【题型】解答

【关键词】迎春杯，决赛，第一题，
9
题

【解析】

如
下图，连接
AD
，
BE
，
CF.


有
△
ABE
，
△
ABC
的高相等，面积 比为底的比，则有
同理有
S
AEF
=
S
S

ABE
ABC
=
AE
，所以
S
AC
ABE
=
AE
×
S
AC
ABC
=
1
S
5
ABC

1
5
1
×
S
ABC
=
S
ABC
.
5
6
6
1
4
11
1
1
类似的还可以得到
S
CDE
=
×
S
ABC
=
S
ABC
，
S
BDF
=×
S
ABC
=
S
ABC
．

4
5
5
6
3
8
1
1
1
61
SABC
．






所以有
S
DEF
=
S
ABC
-(
S
AEF
+< br>S
CDE
+
S
BDF
)=(1-
-
-
)
S
ABC
=
6
5
8
120
三角形DEF
的面积
61
即
为
．

三角形
ABC
的面积

120
ABE
AF
S
AB
,
即
=
S
AEF
=
【答案】

61

120
小学奥数特训营

【例
6
】

如图，三角形
ABC
的面积为
3
平方厘米， 其中
AB
:
BE

2:5
，
BC
:
CD

3:
2
，三角形
BDE
的面积是
多少？< br>
A
B
C
D
E
A
B
C
D< br>E

【考点】
三角形的鸟头模型


【难度】
2
星



【题型】解答

【解析】

由
于

ABC


D BE

180

，所以可以用共角定理，设
AB

2
份，
BC

3
份，则
BE

5
份，





BD

3
2

5
份，由共角定理
S
△
ABC
:
S
△
BDE

(
AB

BC
)
:
(
BE

BD
)

(2

3)< br>:
(5

5)

6
:
25
，设S
△
ABC

6
份，恰好是
3
平方厘米，所以
1
份是
0.5
平方厘米，
25
份就是
25

0.5

12.5
平方厘米，三角形
BDE
的面
积是
12.5
平方厘米

【答案】
12.5

【例
7
】

如图所示，正方形
ABCD
边长为< br>6
厘米，
AE

方厘米．

A
D
1
1
AC
，
CF

BC
．三角形
DEF的面积为
_______
平
3
3
E

【考点】
三角形的鸟头模型


【难度】
3
星



【题型】解答

F
C
B
【关键词】
走美杯，五年级，初赛

1
1
2
【解析】

由
题意知
AE

AC
、
CF

BC
，可得
CE

AC
．根据
”
共角定理
”
可得，

3
3
3
S
△
CEF
:
S
△
ABC
< br>(
CF

CE
)
:
(
CB

AC
)


1

2

:
(3< br>
3)

2
:
9
；而
S
△
ABC

6

6

2

18
；所 以
S
△
CEF

4
；同
理得，
S
△
CDE
:
S
△
ACD

2
:3
;
，
S
△
CDE

18

3
< br>2

12
，
S
△
CDF

6

故
S
△
DEF

S
△
CEF

S
△
DEC

S
△
DFC

4

12

6

10
(
平方厘米
)
．

【答案】
10

【例
8
】

如图，
已知三角形
ABC
面积为
1
，
延长
AB
至
D
，
使
BD

AB
；
延长
BC
至
E
，
使
CE
2
BC
；
延长
CA
至
F
，使
AF
3
AC
，求三角形
DEF
的面积．

FF
A
B
D
C
E
B
D
A
CE





【考点】
三角形的鸟头模型


【难度】
3
星



【题型】解答

【解析】


(
法
1
)
本题是性质的反复使用．

连接
AE
、
CD
．

S
1
∵ABC

，
S
ABC

1
，

S
DBC
1
∴
S
DBC


1
．

黄瓜英文-风之诗吉他谱

黄瓜英文-风之诗吉他谱

黄瓜英文-风之诗吉他谱

黄瓜英文-风之诗吉他谱

黄瓜英文-风之诗吉他谱

黄瓜英文-风之诗吉他谱

黄瓜英文-风之诗吉他谱

黄瓜英文-风之诗吉他谱