小学奥数 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型(二).教师版
巡山小妖精
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2021年02月01日 20:09
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4-3-2.
三角形等高模型与鸟头模型
例题精讲
板块一
三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积
底
高
2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三 角形的底不变，高越大
(
小
)
，三角形面积也就越大
(
小< br>)
；
如果三角形的高不变，底越大
(
小
)
，三角形面积也就越大
(
小
)
；
这说明当三角形的面积变 化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生
变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的
3
倍，底变为原来的
1
，则三角形面积与原来的一
3
样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取 决于高或底的变化．同时
也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①
等底等高的两个三角形面积相等；
②
两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如左图
S
:
S
a
:
b
1
2
A
B
s
1
s
2
a
b
C
D
S
③
夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图
△
反之，如果
S
△
BCD
S
④
等底等高的两个平行四边形面积相等
(
长方形和正方形可以看 作特殊的平行四边形
)
；
⑤
三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥
两个 平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
；
S
△
BCD
AB
CD
，则可知直线
平行于
．
ACD
板块二
鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面 积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比．
如图在
△
ABC
中，
D,
E
分别是
AB,
AC
上的点如图
⑴
(
或
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上
)
，
则
S
:
S
(
AB
AC
)
:
(
AD
AE
)
△
ABC
△
ADE
D
A
D
A
E
C
B
E
C
page
1
of
10
B
4
-
3
-
2
三角形等高模型与鸟头模型
题库
图
⑴
图
⑵
16
平
ADE
【例
1
】
如图在
△
ABC
中，
D,
E
分别是
AB,
AC
上的点，且
AD
:
AB
2:5
，
AE
:
AC
4:7
，
S
方厘米，求
△
ABC
的面积．
△
A
A
D
E
D
E
C
B
C
B
【考点】三角形的鸟头模型
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
连接
，
S
AD
:
AB
2
:5
(2
4)
:
(5
4)
，
S
BE
:
S
:
S
，所以
AE
:
△
AC
S
(2
4)
:
(7
5)
，设
S
8
份，
△
ABE
4
:
7
(4
5)
:
(7
5)
ABE
:
S
16平方厘米，所以
1
份是
2
平方厘米，
ABC
的
△
ADE
△
ABC
35
份就是
70
平方厘米，
△
△
ABC
△
ADE
则
35
份，
面积是
70
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理 ：共角三角形的面积比等于对应角
(
相
S
S
△
ABC
△
ADE
等角或互补角
)
两夹边的乘积之比
．
【答案】
70
【巩固】如图，三角形
ABC
中，
AB
是
AD
的
5
倍，
AC
是
AE
的
3
倍，如果三角形
ADE
的面积等于
1
，那
么三角形
ABC
的面积是多少？
A
E
D
B
C
D
A
E
C
【考点】
三角形的鸟头模型
【难度】
2
星
B
【题型】解答
【解析】
连接
BE
．
∵
EC
3AE
又
AB
3
5AD
∴
∵
S
S
ABC
ABE
∴
S
S
5
S
15
，
∴
S
ADE
ABE
ABC
【答案】
15
ABC
15S
ADE
15
．
【巩固】如图，三角形
ABC
被分成了甲
(
阴影部分
)
、乙两部分，
BD
DC
4
，
BE
3
，
AE
6
，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
A
B
E
甲
C
B
E
甲
A
乙
乙
D
【考点】
三角形的鸟头模型
【难度】
2
星
【题型】解答
D
C
【解析】
连接
AD
．
∵
BE
3
，
AE
6
又
BD
DC
4
，
∴
∵
AB
3BE
，
S
ABD
3
S
BDE
2
∴
S
，
∴
S
6S
，
S
5S
．
S
ABC
ABD
ABC
BDE
乙
甲
【答案】
5
4
-
3
-
2
三角形等高模型与鸟头模型
题库
page
2
of
10
【例
2
】
如图在
△
ABC
中，
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，且
AB
:
AD
5:
2
，
12
平方厘米，求
△
ABC
的面积．
AE
:
EC
3:
2
，
S
△
ADE
D
D
A
A
E
E
B
C
B
C
【考点】
三角形的鸟头模型
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
连接
BE
，
S
:
S
AD
:
AB
2
:5
(2
3 )
:
(5
3)
:
S
S
ABE
AE
:
AC
3:
(3
5)
:
(3
2)
5
，
2)
(3
△
ABC
所以
△
:
S
S
(3
2)
:
5
(3
2)
6
:
25
，设
S
6
份，则
△
ADE
ABC
△
ADE
S
S
ABC
ADE
份是
△
△
△
米，所以
1
2
平方厘米，
25
份就是
50
平方厘米，
△
ABC
的面积是
50
平方厘米．由此我们得到
一个重要的定理，共角定理：共角 三角形的面积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比
【答案】
50
25
份，
12
平方厘
【例
3
】
如图所示，在平行四边形
ABCD
中，
E
为
AB
的中点，
AF
2CF
，三角形
AFE
(
图中阴影部分
)
的
面积为
8
平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
D
C
F
B
E
【考点】
三角形的鸟头模型
【难度】
2
星
A
【题型】解答
AFB
面积是三角形
AEF
面积的
2
【解析】
连接
FB
．三角形
AFB
面积是三角形
CFB
面积的
2
倍，而三角形
倍，所以三角形
ABC
面积是三角形
AEF
面积的
3
倍；又因为平行四边形的面积是三角形
ABC
面积
的
2
倍，所以平行四边形的面积是三角形
AFE
面积的
（
3
2
）
6
倍．因此，平行四边形的面积为
8
6
48
(
平方厘米
)
．
【答案】
48
【例
4
】
已知
△
DEF
的面积为
7
平方厘米，
BE
CE,
AD
2BD,
C
F
3AF
，求
△
ABC
的面积．
A
F
D
B
E
C
:
S
【考点】
三角形的鸟头模型
【难度】
3
星
【题型】解答
:
S
(BD
(CE
BE)
CF
)
(CB
CA)
(1
3)
(2
:
(2
4)
3:8
【解析】
S
:
:
(BA
BC
)
(1
1):
3)
1:
6
，
△
ABC
:
S
(
AD
AF
)
:
(
AB
AC
)
(2
1):
(3
4)
1:
6
S
ADF
设
△
S
【答案】
24
24
份
，
则
S
4
份，
S
4
份，
S
9
份，
S
S
△
ABC
△
BDE
△
ADF
△
CEF
△
平方厘米，所以
24
平方厘米
S
△
ABC
24
4
4
9
7
份，恰好是
7
DEF
4
-
3
-
2
三角形等高模型与鸟头模型
题库
page
3
of
10
三角形
DEF
的面积
1
1
1
【例
5
】
如图
16-4
，已知．
AE=
AC
，
CD=
BC
，
BF=
AB
，那么
等于多少
?
5
4
6
三角形
ABC
的面积
【考点】
三角形的鸟头模型
【难度】
3
星
【关键词】迎春杯，决赛，第一题，
9
题
【题型】解答
【解析】
如下图，连接
AD
，
BE
，
CF.
S
AE
AE
有
△ABE
，
△ABC
的
高
相
等
，
面
积
比
为
底
的
比
，
则
有
ABE
=
，所以
S
S
AC
AC
×
S
=
ABC
ABE
AF
1
5
1
同理有
S
S
5
×
6
S
=
6
S
=
AB
ABE
,
即
=
S
AEF
=
.
ABC
ABC
AEF
1
4
1
1
1
1
类似的还可以得到
S
4
5
6
3
×
×
S
=
5
S
S
=
8
S
，
S
=
=
CDE
ABC
BDF
ABC
三角形
DEF
的面积
61
所以有
S
=
S
S
+
S
DEF
-(
ABC
AEF
1
=
S
ABC
5
ABC
CDE
+
S
-
)=(1-
BDF
ABC
ABC
．
1
1
1
61
-
)
S
S
6
5
8
120
ABC
=
ABC
．
即
三角形
ABC
的面积
120
为
．
【答案】
61
120
【例
6
】
如图，三角形
ABC
的面积为
3
平方厘米，其中
AB
:
BE
2:5
，
BC
:
CD
3:
2
，三角形
BDE
的面
积是多少？
A
B
C
B
E
A
E
C
D
D
【考点】
三角形的鸟头模型
【难度】
2
星
【题型】解答
:
S
份是
0.5
平方厘米，
2525
，所以可以用共角定理，设
【解析】
由于
6
份，恰好是
平方厘米，所以
份就是
0.5
12.5
平方厘米，三角
ABC
DBE
3
180
AB
2
份，
BC
3
份，则
BE
5
份，
BD
BDE
3
的面积是
2
5
份，由共角定理
12.5
平方厘米
S
(
AB
BC
)
:
(BE
BD)
(2
3)
:
(5
5)
6
:
25
，设
S
ABC
形
△
【答案】
12.5
△
1
BDE
1
1
【例
7
】
如图所示，正方形
ABCD
边长为
6
厘米，
AE
AC
，
C
F
BC
．三角形
DEF
的面积为
_______
3
3
平方厘米．
4
-
3
-
2
三角形等高模型与鸟头模型
题库
page
4
of
10
A
E
D
【考点】
三角形的鸟头模型
【难度】
3
星
【关键词】
走美杯，五年级，初赛
B
F
C
【题型】解答
1
2
【解析】
由题意知
AE
1
AC
、
CF
BC
，可得
CE
AC
．根据
”
共角定理
”
可得，
3
3
3
；而
S
6
6
2
18
；所以
S
4
；
S
(CF
CE
)
:
(CB
AC
)
1
2
:
(3
3)
2
:
9
△
ABC
ABC
△
CEF
:
S
△
6
同理得，
:
18
3
2
12
，
S
S
2
:3
;
，
S
△
故
S
12
．
△
)
4
6
10
(
平方厘米
S
△
CDE
△
ACD
CDE
CDF
S
S
S
△
DEF
△
CEF
△
DEC
△
DFC
【答案】
10
【例
8
】
如图，已知三角形
ABC
面积为
1
，
延长
AB
至
D
，使
BD
AB
；延长
BC
至
E
，使
CE
2BC
；延
长
CA
至
F
，使
AF
3AC
，求三角形
DEF
的面积．
F
F
A
B
C
E
A
B
C
E
D
D
【考点】
三角形的鸟头模型
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
(
法
1
)
本题是性质的反复使用．
连接
AE
、
CD
．
S
1
S
1
∵
ABC
，
S
1
，
DBC
同理可得其它，最后三角形
DEF
的面积
18
．
∴
S
1
．
ABC
DBC
AC
BC
1
1
∵
ABC
和
CFE
中，
ACB
与
FCE
互补，
(
法
2
)
用共角定理
在
1
．
∴
S
ABC
S
同理可得
S
FC
CE
6
，
S
3
．
4
2
ADF
BDE
【答案】
18
1
8
6
3
18
．
8
又
S
1
，
所以
S
8
．
ABC
FCE
BDE
FCE
所以
S
S
S
S
S
DEF
ABC
FCE
ADF