(完整版)盈亏问题讲义
玛丽莲梦兔
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2021年02月01日 23:02
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盈亏问题
小朋友分铅笔，每人分
3
支，则多
6
支 ，每人分
5
支则少
8
支。有多少小朋友，有多少铅笔？
任务：
分东西，
分什么：
铅笔【总量】
分给谁：
小朋友【份数】
多，余，盈是多余的意思
少，亏是不足的意思。
在分物品或者安排其他工作时，经常会遇到多余或者不足的情 况。遇到这类题目，我们可以根据多余以及不足
的数量找出解题的线索。这类应用题通常叫做盈亏问题。
解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分配差的关系。盈亏问题的数量关系是：
（
1
）
“一盈一亏”
：
（盈
+
亏）÷两次分配差=
份数
【标准盈亏】
“两盈”
：
（大盈< br>-
小盈）÷两次分配差
=
份数
“两亏”
：
（大亏
-
小亏）÷两次分配差
=
份数
（
2
）
每次分的数量×份数
+
盈
=
总数量
每次分的数量×份数
-
亏
=
总数量
1
、标准盈亏问题（一盈一亏）
例
1
、小朋友分糖果，每 人
3
粒剩
2
粒，每人
5
粒少
6
粒，则共有 糖果
_________
粒？
思路点拨：
列出已知条件：
两个不变量
两种分配方案
先列对比图：
每人
3
粒，多
2
粒；
每人
5
粒，少
6
粒。
这属于“一盈一 亏”问题。由题意可知，小朋友的人数和糖果的粒数是不变的。比较两种分配方案，结果相差
2+6=8
（粒）
，这是因为两种分配方案每人所分糖果相差
5
-
3=2
（粒）
。所以，小朋友的人数是
8
÷
2=4
（人）
，再< br>求出糖果一共有多少粒。
（盈
+
亏）÷两次分配差
=
份数
【标准盈亏】
拓展：
1)
兔妈妈 给兔子们分胡萝卜。如果每只兔子分
3
个，则多
17
个，如果每只兔子分5
个，还少
13
个。问：有
多少兔子？有多少胡萝卜？
2)
幼儿园老师给小朋友分果冻，如果每人分
7
个，则 多
15
个果冻，如果每人分
5
个，则少
3
个果冻。问：幼儿园有多少小朋友？有多少果冻？
3)
一些同学去划船 ，如果每条船坐
4
人，则有
3
个人没有位置。如果每条船坐
5
人，则多出
3
个位置；一共
有多少条船？一共有多少个同学？
4)
绿化队一次植树。
如果每人栽
15
棵树，
则 还剩下
27
棵没有人栽；
如果每人栽
18
棵，
就少
3
棵树苗。
问：
1
绿化队一次要栽多少棵树苗？
5)
小羽带了一些钱去买香蕉，如果买
4
千克，则还剩 下
8
元钱；如果买
6
千克，则少
4
元，问：香蕉每千克多少元？小羽带了多少元？
2
、双盈问题
例
1
、一组学生去搬书，如果每人搬
2
本，还剩下
12
本；如果每人搬
3
本，还剩下
6
本。这组学生有几人？
这批书有几本 ？
例
2
、老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分< br>5
本，则多了
14
本；如果每人分
7
本，则多了
2< br>本。优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？
例
3
、羊 爷爷买了一些鲜草馒头发给小羊们。如果给每只小羊发
4
个鲜草馒头，还多
17
个；如果给每只小羊
发
6
个鲜草馒头，并且给羊爷爷自己也发
3
个 ，还多
4
个。那么共有
__________
只小羊，共买了
___ _______
个
鲜草馒头。
思路点拨：列出已知条件：
每只小羊发
4
个，余
17
个；
每只小羊发
6
个，余
(3+4)
个。
这是两盈的 问题。由题意可知：小羊的只数和馒头的个数是不变的。比较两种分配方案，结果相差
17
-< br>（
3+4
）
=10
（个）
，这是因为两种分配方案每只小羊发 到的馒头相差
6
-
4=2
（个）
。所以小羊有
10
÷
2=5
（只）
。
1
、把一袋糖分给小朋友们 ，如果每人分
4
粒，则多了
12
粒；如果每人分
6
粒，则多 了
2
粒。有小朋友几人？
有多少粒糖？
2
、妈妈买来一些 苹果分给全家人，如果每人分
6
个，则多了
12
个；如果每人分
7< br>个，则多了
6
个。全家有几
人？妈妈共买回多少个苹果？
3
、某学校有一些学生住校，每间宿舍住
8
人，则多床
24
张；如果每 间宿舍住
10
人，则多床
2
张。学校共有
几间宿舍？住宿学生有几人 ？
3
、双亏问题
学校将一批铅笔奖给三好学生。如果 每人奖
7
支，则缺
7
支。如果每人奖
9
支，则缺
4 5
支；三好学生有多少
人？铅笔有多少支？
思路点拨：列出已知条件：
每人
9
支，少
45
支；
每人
7
支，少
7
支。
这是两亏的问题。
由题意可知：
三好学生人数和铅笔支数是不变的。
比较两种分配方案，
结果相差
45
-
7=38
（
支）
，
这是因为两种分配方案每人得到 的铅笔相差
9
-
7=2
（支）
，所以三好学生有
38
÷
2=19
（人）
。
1.
学校派 一些学生去搬一批树苗，
如果每人搬
6
棵，
则差
4
棵；如果每人搬
8
棵，
则差
18
棵。
学生有几人？
这批树苗有多少棵？
2.
自然课上，老师发给学生一些树叶。如果每人分
5
片叶子，则差
3
片叶子；如果每人分
7
片叶子，则差25
片树叶。学生有几人？一共有树叶多少片？
3.
数学兴 趣小组的同学做数学题，
如果每人做
6
道，
则少
4
道；如果每人做
8
道，
则少
16
道。
有几个学生？
多少道数学题？
2
4.
学校排练节目，如果每行排
8
人，则有一行少
2
人；如果每行排
9
人，则有一行少7
人。一共要排几行？
一共有多少人？
5.
幼儿园 新买了一批小玩具
.
如果按每组
10
个分
,
则少了
2
个；
如果按每组
12
个分
,
则刚好分完
,
但是少分了一
组
.
这批玩具一共有多少
4
、一尽一盈或亏
例
1
、如果每人分
14
个苹果，就少
40
个苹果；如果每人分
10
个苹果，就刚好分完。一共有多少苹果。
例
2
、小朋友租了一些小船，到湖中划船。
每船坐
3
人，则多出
20
人；每船坐
5
人，恰好坐满。问小朋友有多
少人？
4
、盈亏综合应用
1
）转换分配对象
【例1
】学校新建了一栋学生宿舍。如果每间寝室住
8
人，则有
22
人没有床位；如果每间寝室住
10
人，则又
恰好空出
3
间寝室。这栋 宿舍有寝室
__________
间，共有
___________
名学生要 安排住宿。
思路点拨：列出已知条件：
每间住
8
人，少
22
个床位；
每间住
1 0
人，空
3
间寝室（即多
30
个床位）
。
把“每间寝室住
10
人，则又恰好空出
3
间寝室”转化为“每间寝室住10
人，则多
10
×
3=30
（个）床位”
。比
较两种分配方案，结果相差
22+30=52
（个）床位，这是因为每间寝室相差
1 0
-
8=2
（人）
，所以寝室有
52
÷
2=26< br>（间）
。
【例
2
】
三（
1
）班学生去公园划船，如果每条船坐
4
人，则少一条船；如果每条船 坐
6
人，则多出
4
条船。
公园里有多少条船？三（
1
）班有多少学生？
为了帮助理解，我们可以将题目中的条件进行转化。
将条件“如果每条船坐
4
人，则少一条船”转化为：
“如果每条船坐
4
人，则多出
4
人”
；再将条件“如果每条
船坐
6
人，则多 出
4
条船”转化为：
“如果每条船坐
6
人，则差
6
×
4=24
人”
。
这样两种分配方法就相差了
24
＋
4=28
人，
这是因为每条船多坐了
6
－
4=2
人。
根据这一关系，
可求出船的条数：
28
÷
2=14
条 ，学生人数：
4
×（
14
＋
1
）
=60
人 。
1
、学校给新生分配宿舍，如果每间住
8
人，则少< br>2
间房；如果每间住
10
人，则多出
2
间房。共有几间房？新
生有多少人？
2
、同学们去划船，如果每条船坐
5
人，则 少
2
条船；如果每船坐
7
人，则多出
2
条船。共有几条船？ 有多少
个同学？
3
、小明从家到学校，如果每分钟走
40
米，则要迟到
2
分钟；如果每分钟走
50
米，则早到
4
分钟 。小明家到
学校有多远？
有个班的同学去划船，他们算了一下。如果增加 一条船，正好每条船可以坐
8
人；如果减少一条船，正好每条
船可以坐
12< br>人，问这个班共有几名同学？
3