迈克尔乔丹-好听的女生网名

2021年2月2日发(作者：八仙之一)
第一章

一元一次不等式和一元一次不等式组

一
.
不等关系

※
1.
一般地
,
用符号“
<
”
(
或“≤”
),
“
>
”
(
或“≥”
)
连接的式子叫做不等式
.
¤
2.
要区别方程与不等式
:
方程表示的是相等的关系
;
不等式表示的是不相等的关系
.
※
3.
准确“翻译”不等式
,
正确理解“非负数”
、“不小于”等数学术语
.
非负数

<===>
大于等于
0(
≥
0) <===> 0
和正数

<===>
不小于
0
非正数

<===>
小于等于
0(
≤
0) <===> 0
和负数

<===>
不大于
0
二
.
不等式的基本性质

※
1.
掌握不等式的基本性质
,
并会灵活运用
:
(1)
不等式的两边加上
(
或减去
)
同一个整式
,
不等号的方向不变
,
即
:
如果
a>b,
那么
a+c>b+c, a-c>b-c.
(2)
不等式的两边都乘以
(
或除以
)
同一个正数
,
不等 号的方向不变
,
即

a
b
如果
a>b,
并 且
c>0,
那么
ac>bc,

.
c
c
(3)
不等式的两边都乘以
(
或除以
)同一个负数
,
不等号的方向改变
,
即
:
a
b
如果
a>b,
并且
c<0,
那么
ac

c
c
课堂练习

1.
将下列不等式化 成“
x
＞
a
”或“
x
＜
a
”的形式
.
（
1
）
x
－
1
＞
2



（
2
）－
x
＜
5

6

※
2.
比较大小
:(a
、
b
分别表示两个实数或整式
)
一般地
:
如果
a>b,
那么
a-b
是正数
;
反过来
,
如果
a-b
是正数
,
那么
a >b;
如果
a=b,
那么
a-b
等于
0;
反过来
,
如果
a-b
等于
0,
那么
a=b;
如 果
a那么
a-b
是负数
;
反过来
,
如果
a-b
是正数
,
那么
a即
:
a>b <===> a-b>0
a=b <===> a-b=0
a a-b<0

(
由此可见
,
要比较两个实数的大小< br>,
只要考察它们的差就可以了
.
三
.
不等式的解集
:
※
1.
能使不等式成立的未知数的值
,
叫做不等式的解
;
一个不等式的所有解
,
组成这个不等式的解集;
求不等
式的解集的过程
,
叫做解不等式
.
※
2.
不等式的解可以有无数多个
,
一般是在某个范围内的所有数
,
与方程的解不同
.
¤
3.
不等式的解集在数轴上的表示
:
用数轴表示不等式的解集时
,
要确定边界和方向
:

①边界
:
有等号的是实心圆圈
,
无等号的是空心圆圈
;
②方向
:
大向右
,
小向左

课堂练习
< br>1.
判断正误：
（
1
）不等式
x
－
1
＞
0
有无数个解；
（
2
）不等式
2
x
－
3
≤
0
的解集为
x
≥
2
.
3< br>2.
将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（
1
）
x
＞
4;
（
2
）
x
≤－
1;
（
3
）
x
≥－
2;
（
4
）
x
≤
6.
1.
解：
（
1
）∵
x
－
1
＞
0,
∴
x
＞
1
∴
x
－
1＞
0
有无数个解
.
∴正确
.
（
2
） ∵
2
x
－
3
≤
0,
∴
2
x
≤
3,
∴
x
≤
3
,
∴结论错误
.
2
2.
解：




四
.
一元一次不等式
:
※
1.
只含有一个未知数
,
且含未知数的式子是整式
,
未知数的次数是
1.
像这样的不等式叫做一元一次不等
式
.
※
2.
解一元一 次不等式的过程与解一元一次方程类似
,
特别要注意
,
当不等式两边都乘以一 个负数时
,
不等
号要改变方向
.
※
3.
解一元一次不等式的步骤
:
①去分母
;

②去括号
;

③移项
;

④合并同类项
;













⑤系数化为
1(
不等号的改变问题
)
※
4.
一元一次不等式基本情形为
ax>b(
或
axb
① 当
a>0
时
,
解为
x

;

a< br>②当
a=0
时
,
且
b<0,
则
x
取 一切实数
;
当
a=0
时
,
且
b
≥
0,
则无解
;

b
③当
a<0
时
,
解为
x

;

a
¤
5.
不等式应用的探索
(
利用不等式解决实际问题
)
列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似
,
即
:
①审
:
认真审题
,
找出题中的不等关系
,
要抓住 题中的关键字眼
,
如“大于”
、
“小于”
、
“不大于”、
“不
小于”等含义
;

②设
:
设出适当的未知数
;

③列
:
根据题中的不等关系
,
列出不等式
;

④解
:
解出所列的不等式的解集
;
⑤答
:
写出答案
,
并检验答案是否符合题意
.


课堂练习

解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：

（
1
）
5
x
＞－
10;
（
2
）－< br>3
x
+12
≤
0;
（
3
）
x

1
4
x

5
x

7
3
x

2
＜
;
（
4
）
－
1
＜
.
2
3
2
2

解：
（
1< br>）两边同时除以
5
，得
x
＞－
2.
这个不等式的解集 在数轴上表示如下：
（
2
）
移项，
得－
3
x
≤－
12,
两边都除以－
3
，
得
x
≥
4 ,
这个不等式的解集在数轴上表示为：


（
3
）
：
（
4
）


五
.
一元一次不等式与一次函数

六
.
一元一次不等式组

※
1.
定义
:
由含有一个 相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组
,
叫做一元一次不等式组
.
※
2.
一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集
.
如果这些不等式的解集无公
共部分
,
就说这个不等式组无解
.
几个不等式解集的公共部分
,
通常是利用数轴来确定
.
※
3.
解一元一次不等式组的步骤
:
(1)
分别求出不等式组中各个不等式的解集
;
(2)
利用数轴求出这些解集的公共部分
,
即这个不等式组的解集
.
两个一元一次不等式组的解集的四种情况
(a
、
b
为实数
,
且
a一元一次不等式

解集

图示

叙述语言表达


x

a


x

b


x

a



x

b

x

a



x

b

x

a


x

b


x>b
a
b
两大取较大


b
x>a
a

大小交叉中间找

两小取小

aa
b

无解

a
b
在大小分离没有解

(
是空集
)


第二章


分解因式

一
.
分解因式

※
1.
把一个多项式化成几个整式的积的形式
,
这种变形叫做把这个多项式分解因式
.
※
2.
因式分解与整式乘法是互逆关系
.
因式分解与整式乘法的区别和联系
:
(1)
整式乘法是把几个整式相乘
,
化为一个多项式
;
(2)
因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘
.
把下列各式分解因式

（
1
）
8
x
－72=8
（
x
－
9
）

（
2
）
a
2
b
－
5
ab
=
ab
（a
－
5
）

（
3
）
4
m3
－
6
m
2
=2
m
2
（
2< br>m
－
3
）

（
4
）
a
2< br>b
－
5
ab
+9
b
=
b
（
a
2
－
5
a
+9
）

（
5
）－
a
2
+
ab
－
ac
=
－（
a
2
－
ab
+
ac
）
=
－
a（
a
－
b
+
c
）

3
23
2
2
（
6
）－
2
x
+4
x
－
2
x
=
－（
2
x
－
4
x
+2
x
）
=
－
2
x
（
x
－
2
x
+1
）

二
.
提公共因式法

※
1.
如果一个多项式的各项含有公因式
,
那么就可以把这个公因式提出来
,
从而将多项式化成两个因式乘
积的形式< br>.
这种分解因式的方法叫做提公因式法
.




如
:
ab

ac

a
(
b
c
)

、做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“
+
”或“－”号，使等式成立
: （
1
）
2
－
a
=__________
（a
－
2
）
;
（
2
）
y
－x
=__________
（
x
－
y
）
;（
3
）
b
+
a
=__________
（a
+
b
）
;
（
4
）
（
b< br>－
a
）
2
=__________
（
a
－< br>b
）
2
;
（
5
）－
m
－
n
=__________
－（
m+
n
）
;
（6
）－
s
2
+
t
2
=__________< br>（
s
2
－
t
2
）
.

※
2.
概
补充练习

把下列各式分解因式
解：
1.5
（
x
－
y
）
3
+10（
y
－
x
）
2
=5
（
x
－< br>y
）
3
+10
（
x
－
y
）
2
=5
（
x
－
y
）
2
［
（
x
－
y
）
+2
］
=5
（
x
－< br>y
）
2
（
x
－
y
+2
）
;
2.
m
（
a
－
b
）－
n
（b
－
a
）
=
m
（
a
－
b）
+
n
（
a
－
b
）
=
（a
－
b
）
（
m
+
n
）
;
3.
m
（
m
－
n
）
+
n
（
n
－
m
）
=
m
（
m
－
n
）－
n
（
m
－
n
）
=
（m
－
n
）
（
m
－
n
）
=（
m
－
n
）
2
;
4.
m
（
m
－
n
）
（
p
－
q
）－
n
（
n
－
m
）
（
p
－
q
）
=
m
（
m
－
n
）
（
p－
q
）
+
n
（
m
－
n
）（
p
－
q
）

=
（
m
－n
）
（
p
－
q
）
（
m
+
n
）
;
概念内涵
:
(1)
因式分解的最后结果应当是“积”
;
(2)
公因式可能是单项式
,
也可能是多项式
;
(3)
提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律
,
即
:
ma

mb

mc

m
(
a

b

c
)

※
3.
易错点点评
:
(1)
注意项的符号与幂指数是否搞错
;
(2)
公因式是否提“干净”
;
(3)
多项式中某一项恰为公因式
,
提出后
,
括号中这一项为
+1,
不漏掉
.
三
.
运用公式法

※
1.
如果把乘法公式反过 来
,
就可以用来把某些多项式分解因式
.
这种分解因式的方法叫做运用公式法
.
※
2.
主要公式
:
(1)
平方差公式
:
a
2

b
2

(
a

b
)(
a

b
)
(2)
完全平方公式
:
a
2

2
ab

b
2

(
a

b
)
2

a
2

2
ab

b
2
(
a

b
)
2

［例
2
］把下列各式分解因式
:
（
1
）
9
（
m
+
n
）
2
－（
m
－
n
）
2






2
）
2
x
3
－
8
x
.
解：
（
1
）
9
（
m
+
n
）
2
－（
m
－
n
）
2
=
［3
（
m
+
n
）
］
2
－（
m
－
n
）
2
=
［
3
（
m
+
n
）
+
（
m
－
n
）
］
［
3
（
m
+
n
）－（
m
－
n
）
］

=
（
3
m
+3
n
+
m
－
n
）
（
3
m
+3
n
－
m
+
n
）
=
（
4
m
+2
n
）
（
2
m
+4
n
）
=4
（
2
m
+
n
）
（
m
+2
n
）

32
（
2
）
2
x
－
8
x
=2< br>x
（
x
－
4
）
=2
x
（
x
+2
）
（
x
－
2
）

五、课后作业

1.
（
1
）
x
2
y
2
－
2
xy
+1=
（
xy
－
1
）
2
;
（
2
）
9
－
12
t
+4
t
2
=
（
3
－
2
t
）
2
;
（
3
）
y
2
+
y
+
1
1
=
（
y
+
）
2
; 4
2
2
x
x
（
4
）
25
m< br>2
－
80
m
+64=
（
5
m
－
8
）
2
;
（
5
）
+
xy
+
y
2
=
（
+
y
）
2
;6）
a
2
b
2
－
4
ab
+4=
（
ab
－
2
）
2

4
2
2.（
1
）
（
x
+
y
）
2
+6< br>（
x
+
y
）
+9=
［
（
x
+
y
）
+3
］
2
=
（
x
+
y
+3
）
2
;
（
2
）
a
2< br>－
2
a
（
b
+
c
）
+
（< br>b
+
c
）
2
=
［
a
－（
b
+
c
）
］
2
=
（
a
－
b
－
c
）
2
;
（
3
）
4
xy
2
－
4
x
2
y
－
y
3
=
y
（
4
xy
－
4
x
2
－y
2
）
=
－
y
（
4
x
2－
4
xy
+
y
2
）
=
－
y< br>（
2
x
－
y
）
2
;
（
4
）－
a
+2
a
2
－
a
3
=
－（
a
－
2
a
2
+
a
3
）=
－
a
（
1
－
2
a
+
a2
）
=
－
a
（
1
－
a
）2
.

¤
3.
易错点点评
:
因式分解要 分解到底
.
如
x
4

y
4

(< br>x
2

y
2
)(
x
2

y
2
)
就没有分解到底
.
※
4.
运用公式法
:
(1)
平方差公式
:

①应是二项式或视作二项式的多项式
;
②二项式的每项
(
不含符号
)
都是一个单项式
(
或多项式
)
的平方
;
③二项是异号
.
(2)
完全平方公式
:
①应是三项式
;
②其中两项同号
,
且各为一整式的平方
;

③还有一项可正负
,
且它是前两项幂的底数乘积的
2
倍
.
※
5.
因式分解的思路与解题步骤
:
(1)
先看各项有 没有公因式
,
若有
,
则先提取公因式
;
(2)
再看能否使用公式法
;
(3)
用分组分解法
,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的
;
(4)
因式分解 的最后结果必须是几个整式的乘积
,
否则不是因式分解
;
(5)
因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止
.
Ⅵ
.
活动与探究

把（
a
+
b
+
c
）
（
bc
+
ca
+
ab
）－< br>abc
分解因式

解：
（
a
+
b
+
c
）
（
bc
+
ca
+
ab
）－< br>abc

=
［
a
+
（
b
+
c
）
］
［
bc
+
a
（
b
+
c
）
］－
abc

=
abc
+
a
2
（
b
+
c
）
+
bc
（
b+
c
）
+
a
（
b
+
c
）2
－
abc

=
a
2
（
b
+
c
）
+
bc
（
b
+
c
）
+
a
（
b
+
c
）
2

=
（
b
+
c
）
［
a
2
+
bc
+
a
（
b
+
c
）
］

=
（
b
+
c
）
［
a
2
+
bc+
ab
+
ac
］

=
（
b
+
c
）
［
a
（
a
+
b
）
+
c
（
a
+
b
）
］

=
（
b
+
c
）
（
a
+
b
）
（
a
+
c
）


四
.
分组分解法
:
※
1.
分组分解法
:
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法
.





如
:
am

an
bm

bn

a
(
m

n
)

b
(
m

n
)

(
a

b
)(
m

n
)

※
2.
概念内涵
:
分组分解法的关键是如何分组
,要尝试通过分组后是否有公因式可提
,
并且可继续分解
,
分组后是否可< br>利用公式法继续分解因式
.
※
3.
注意
:
分组时要注意符号的变化
.
五
.
十字相乘法
:
※
1.
对于二次三项式
ax
2

bx

c
,
将
a
和
c
分别分解成两个因数的乘积
,
a

a
1

a
2

,
c

c
1

c
2
,
且满足a
1
c
1
c
2
b

a
1c
2

a
2
c
1
,
往往写成
a
2

的形式
,
将二次三项式进行分解
.

如
:
ax
2

bx

c
(
a
1
x

c
1
)(
a
2< br>x

c
2
)

※
2.
二次三项式
x
2

px

q
的分解
:
p

a

b
q

ab







1


1
a
b
x
2

px

q

(
x

a
)(
x

b
)

※
3.
规律内涵
:
(1)
理解
:
把< br>x
2

px

q
分解因式时
,
如果 常数项
q
是正数
,
那么把它分解成两个同号因数
,
它们的符 号与
一次项系数
p
的符号相同
.
(2)
如果常数项
q
是负数
,
那么把它分解成两个异号因数
,
其中绝对值较大的因数 与一次项系数
p
的符
号相同
,
对于分解的两个因数
,
还要看它们的和是不是等于一次项系数
p.
※
4.
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