(完整版)新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题
绝世美人儿
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2021年02月02日 01:22
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新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题
基础知识点：
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为
a
，
b
，斜边为
c
，那么
a
2
b
2
c
2
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较 短的直角边
称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“
勾三，股四，弦五
”
形式的
勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直 角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方
２
.
勾股定理的证明
D
C
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
H
E
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
G
F
a
①图形进过割 补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
b
c
B
A②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
b
a
常见方法如下：
方法一：
4
S
< br>
S
正方形
EFGH
1
S
正方形
ABCD
，
4
ab
(
b
a
)
2
c
2
，化简可证．
2
a
c
c
b
a
b
a
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的 和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
b
c
c
1
S
4
ab
c
2
2
ab
c
2
大正方形面积为
S< br>
(
a
b
)
2
a
2< br>
2
ab
b
2
所以
a
2
b
2
c
2
2
A
a
D
b
c
1
1
1
方 法三：
S
梯形
(
a
b
)
< br>(
a
b
)
，
S
梯形
2 S
ADE
S
ABE
2
ab
c
2
，化简得证
2
2
2
E
c
a
B
C
b
３
.
勾股定理的适用范围
勾股定 理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４
.
勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，
求第三边在
< br>ABC
中，
C
90
，
则c
a
2
b
2
，
b
c
2
a
2
，
a
c
2
b
2
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解 决一些实际问题
５
.
勾股定理的逆定理
如果 三角形三边长
a
，
b
，
c
满足
a
2
b
2
c
2
，那么这个三角形是直角三角形，其中c
为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的 一种重要方法，它通过
“
数转化为形
”
来确定三角形的可
能形状，在 运用这一定理时，可用两小边的平方和
a
2
b
2
与较长边 的平方
c
2
作比较，若它们相等时，以
a
，
b
，< br>c
为
三边的三角形是直角三角形；若
a
2
b
2
c
2
，时，以
a
，
b
，
c
为三边的三角形是钝角三角形；若
a
2
b
2
< br>c
2
，时，以
a
，
b
，
c
为三边的 三角形是锐角三角形；
c
及
a
2
b
2
c
2
只是一种表现形式，
c
满足
a
2< br>
c
2
b
2
，
②定理中
a
，
不可认为是唯一的，
如若三角形三边长
a
，
b
，
b
，
那么以
a
，
b
，
c
为三边的三角形 是直角三角形，但是
b
为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述 时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三
角形
６
.
勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整 数称为勾股数，
即
a
2
b
2
c
2
中，
a
，
b
，
c
为正整数时，
称a
，
b
，
c
为
一组勾股数
②记住常 见的勾股数可以提高解题速度，如
3,4,5
；
6,8,10
；
5, 12,13
；
7,24,25
等
1
７．勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三 角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理
时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角 形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应
设法添加辅助线（通常作垂线）
，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
８
.
．勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三 角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，
在具体推算过程中，
应用两短边的 平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的
结 论．
９
.
勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定 理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一
个三角 形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：
CC
C
30°
A
B
A
D
B
B
D
A
10
、互逆命题的概念
如果一 个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫
做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
2
题型一：直接考查勾股定理
例１
.
在
ABC< br>中，
C
90
．
⑴已知
AC
6
，
BC
8
．求
AB
的长
⑵已知
AB
17
，
AC
15
，求
BC
的长
题型二：利用勾股定理测量长度
例题
1
如果梯子的底端离建筑物
9
米，那么
15
米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
例题
2
如图（
8
）
，水池中离岸边
D
点
1.5
米的C
处，直立长着一根芦苇，出水部分
BC
的长是
0.5
米，把芦 苇拉到岸
边，它的顶端
B
恰好落到
D
点，并求水池的深度
A C.
题型三：勾股定理和逆定理并用
——
例题
3
如图
3
，正方形
ABCD
中，
E
是
BC
边 上的中点，
F
是
AB
上一点，且
FB
1
AB
那么△
DEF
是直角三角形
4
吗？为什么？
注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
题型四：利用勾股定理求线段长度
——
例题
4
如图4
，已知长方形
ABCD
中
AB=8cm,BC=10cm,
在 边
CD
上取一点
E
，将△
ADE
折叠使点
D
恰好落在
BC
边
上的点
F
，求
CE
的长
.
3
题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直
——
例题
5
有一 个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高
4.5
米的墙上，任何东西只要移至
5米以内，灯就自动打开，
一个身高
1.5
米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好 打开？
题型六：旋转问题：
例题
6
如图，
P
是等边三 角形
ABC
内一点，
PA=2,PB=
2
3
,PC=4,< br>求△
ABC
的边长
.
变式
如图，△
ABC
为等腰直角三角形，∠
B AC=90
°，
E
、
F
是
BC
上的点，且∠
EAF=45
°，
试探究
BE
、
CF
、
EF
间的关系，并说明理由
.
题型七：关于翻折问题
例题
7
如图，矩形纸片
ABCD
的边
AB=10cm
，
BC=6cm
，
E
为
BC
上一点，将矩形纸片沿
AE
折叠，点
B
恰好落在< br>CD
边上的点
G
处，求
BE
的长
.
变式
如图，AD
是△
ABC
的中线，∠
ADC=45
°，把△
AD C
沿直线
AD
翻折，点
C
落在点
C
’
的位 置，
BC=4,
求
BC
’
的长
.
2
2
2
4