万里长城-天真

2021年2月2日发(作者：道长争短)




第十六章二次根式

1.

二次根式：一般地，式子

1
=
1
叫做二次根式
•
注意：
(
1
)
若
凹

这个条件不成立，则

凶
不是二次
根式
;
(2)

凶
是一个重要的非负数，即；

H
>
0.

2.

最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；

⑶分母中不含根式。

3.

(3)

平方根的


重要公式：
(
1
)
1
一

I ,
(
2
)
I
=
]
;
注意使用

1
二
JI

积的算术平方根：

L
—

弓・

，积 的算术平方根等于积中各因式的算术
积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求

.

4.

5.

二次根式比较大小的方法：

(1)

利用近似值比大小；

(2)

把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；

(3)

分别平方，然后比大小
.

6.

以除式的

算术平方根
•

7.

二次根式的除法法则：

(1)

(2)

I
=
I
；

—工

；


商的算术平方根：

[

x
]
，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除

二次根式的乘法法则：

I .

(3)

分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母

的有
理化因式，使分母变为整式
•

1 / 17



8.

因式：

理化因式
.

9.

最简二次根式：

常用分母有理化
一二
I
互为有
，它们也叫

（
1
）

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式
,
②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；

（
2
）

最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于

2
,
且不含分母；

（
3
）

化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；

（
4
）

二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式

.

10.


二次根式化简题的几种类型：（
1
）明显条件题；（
2
）隐含条件题；（
3
）讨论条件题
.< br>
11.

同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，

如果被开方数相同，这几个二次根式叫做

同
类二次根式
.

12.

二次根式的混合运算：

（
1
）

二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理

数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（
2
）

二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除

法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等

.

第十七章勾股定理

1.
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为

a, b,
斜边长为
c,
那么
a
2
+
b
2
=c
2

2.
勾股定理逆定理：如果三角形三边长
a, b, c
满足
a
2
+
b
2
=c
2
。，那么这个三角形是

直角三角
形。

3.
经过证明被确认正确的命题叫做定理

。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原

命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

4.
直角三角形的性质

（
1
）

、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：
/
C=90°
凹
/
A+
Z
B=90°

（
2
）

、在直角三角形中，
30
°角所对的直角边等于斜边的一半。

2 / 17



Z
A=30°
-

可表示如下：

Z
C=90°
J
u
BC= AB


3 / 17



(3)
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

/
ACB=90]

可表示如下：

D
为
AB
的中点
j
H

CD= AB=BD=AD 5
、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的咼线是两直角边在斜边上

的摄影的比例中项，每条直角边是它们
在斜边上的摄影和

斜边的比例中项

/
ACB=90
c

I
L

CDLAB
6
、

常用关系式

|

L

A
D B

由三角形面积公式可得：
AB CD=ACBC

7
、

直角三角形的判定

1
、有一个角是直角的三角形是直角三角形

2
、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3
、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长

a
,
b
,
c
有关系，那么这

个三角形是直角三角形。

8
、命题、定理、证明

1
、

命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：

(1)

命题必须是个完整的句子；

(2)

这个句子必须对某件事情做出判断

2
、

命题的分类
(
按正确、错误与否分
)
•真命题（正确的命题）

命题

假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如
果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

4 / 17



3
、

公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4
、

定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5
、

证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

6
、

证明的一般步骤

（
1
）

根
据题意，画出图形。

（
2
）

根
据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（
3
）

经
过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

9
、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（
1
）

三
角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（
2
）

要
会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论
1
:三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论
2
:
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论
3
:
三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论
4
:
三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

5 / 17


三角形中位线定理的作


< br>结论
5
:
三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。< br>
10
数学口诀
.

平方差公式
：
平方差公 式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公

式相混淆。

完 全平方公式
：
完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放

中央；首士
尾括号带平方，尾项符号随中央。

第十八章四边形

几何表达式举例：

(1)
•••/
A+
Z
B+
Z
C+
Z
D=360°
4.
平行四边形的判定
:
1
•四边形的内角和与外角和定理：

(1)

四边形的内角和等于

360
°;

(2)

四边形的外角和等于

360
°
.

2
.
多边形的内角和与外角和定理：

(1)

n
边形的内角和等于
(n-2)180
°

(2)


任意多
边形的外角和等于

360
°
.

因为
ABCD
是平行四边形


E1

6 / 17

几何表达式举例
:
(1)
•/
AB// CD AD
//
BC
•••四边形
ABCD
是平行四边形

(2)
•/
AB=CD AD=BC
⑵

TZ
1+
Z
2+
Z
3+
Z
4=360
°

几何表达式举例
:
略

几何表达式举例：

(1)

••• ABCD
是平行四边形


•
AB// CD AD
//
BC

⑵

••• ABCD
是平行四边形


•
AB=CD AD=BC

⑶

••• ABCD
是平行四边形


• Z
ABC
Z
ADC


Z
DAB
Z
BCD

⑷

••• ABCD
是平行四边形


•
OA=OC OB=OD


••• ABCD
是平行四边形



• Z
CDA-
Z
BAD=180

•四边形
ABCD
是平行四边形

⑶
..................


5.
矩形的性质
:











6.
矩形的判定
:










几何表达式举例：

⑴
.....................

(2)
•/
ABCD
是矩形

因为
ABCD
是矩

形

•••/
A=
Z
B=
Z
C=
Z
D=90°

(3)
•/
ABCD
是矩形

•
AC=BD
S

四边形
ABCD
是矩形
.

几何表达式举例：

(1)
•/
ABCD
是平行四边形

又•••/
A=90°

•四边形
ABCD
是矩形

(2)
•••/
A=
Z
B=
Z
C=
Z
D=90°

•四边形
ABCD
是矩形

(1)(2)
7
.
菱形的性质：

因为
ABCD
是菱形


⑶
.....................

几何表达式举例：

(1) ....................


(2)
•/
ABCD
是菱形

•
AB=BC=CD=DA
(3)
•/
ABCD
是菱形

•
AC
丄

BD
/
ADB=/ CDB
8
.
菱形的判定
:
几何表达式举例：

(1)
•/
ABCD
是平行四边形

四边形四边形
ABCD
是菱形
•

•/
DA=DC
•四边形
ABCD
是菱形

(2)
•/
AB=BC=CD=DA
•四边形
ABCD
是菱形

⑶•/
ABCD
是平行四边形

•/
AC
丄

BD
•四边形
ABCD
是菱形

几何表达式举例：

(1) ......

(2)
•/
ABCD
是正方形

•

AB=BC=CD=DA
0



9
.
正方形的性质：

因为
ABCD
是正方形

/
A=
Z
B=
Z
C=
Z
D=90°

(3)
•/
ABCD
是正方形

•

AC=BD AC
丄

BD
(
1
)
(
3
)
10
.
正方形的判定：

(
2
)
几何表达式举例：

(1)
•/
ABCD
是平行四边形

又•••
AD=AB
/
ABC=90

7 / 17



•四边形
ABCD
是正方形

四边形
ABCD
是正方形
.

(2)
•
/
ABCD
是菱形

•/
ABCD
是矩形

又•••
AD=AB
•••四边形
ABCD
是正
方形

11
•等腰梯形的性
质：

因为
ABCD
是等腰梯

12
.
等腰梯形的判定：

四边形
ABCD
是等腰梯形

•/
ABCD
是梯形且

AD// BC
•/
AC=BD
•
ABCD
四边形是等腰梯形

几何表达式举例：


13

•平行线等分线段定理与推
论

探
:
(
1
)
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它

直线

上截得的线段也相等；



(
2
)
经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰；

(
如图
)

(3
)
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边

•
(
如







0

14

•三角形中位线定

理
:

三角形的中位线平行第三边
,
并且等于它


的一半
•




15

.
梯形中位线定理
:


梯形的中位线平行于两底，

并且等于两底

和的一半

.




8 / 17


又•••/
ABC=90
•四边形
ABCD
是正方形
几何表达式举例：

⑴
•/
ABCD
是等腰梯形

•
AD// BC AB=CD
⑵•/
ABCD
是等腰梯形

•

/
ABC=z DCB
/
BAD=/ CDA
⑶•/
ABCD
是等腰梯形

•
AC=BD
(1)

•/
ABCD
是梯形且

AD// BC
又•••
AB=CD
•四边形
ABCD
是等腰梯形

(2)

•/
ABCD
是梯形且

AD// BC
又•••/
ABC=z DCB
•四边形
ABCD
是等腰梯形
几何表达式举例：

(1) ....................

(2)
•/
ABCD
是梯形且

AB// CD
又•••
DE=EA EF
//
AB
•

CF=FB
(3)
•/
AD=DB
又•••
DE//
BC
•

AE=EC
几何表达式举例：

•/
AD=DB AE=EC
•
DE// BC
且

DE= BC
几何表达式举例：

•/
ABCD
是梯形且

AB// CD
又•••
DE=EA CF=FB
•
EF// AB// CD
且

EF=2
)
(AB+CD)



一

基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，

平行四边
形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯

形，直角梯形，三角形
中位线，梯形中位线
.

二

定理：中心对称的有关定理

※
^
.
关于中心对称的两个图形是全等形
.

探< br>2
.
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

探
3
.
如果两个
图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点 平分，那么这两个图

形关于这一点对称
.

三公式：

1.
S
菱形二
］
ab
二
ch.
（a
、
b
为菱形的对角线
,c
为菱形的边长，
h
为
c
边上的高）

2.
S
平行四边形
二
ah. a
为平行四边形的边，
h
为
a
上的高）

3.

S
梯形二
目
（
a+b
）

h=Lh.
（
a
、
b
为梯形的底，
h
为 梯形的高丄为梯形的中位线）

四常识：

※
丨
.
若
n
是多边形的边数，则对角线条数公式是：

因
.
I

2.
相似”


规则图形折叠一般“出一对全等，一对
.
一

I

3.
如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系

.

4.
常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、

等腰梯形

……；仅是中心对称图形的有：平行四边形

……；是双对称图形的

有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆

……
.
注意：线段有两条对称轴

探
5
.
梯形中常见的辅助线：


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万里长城-天真

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