2017年新人教版八年级数学下册知识点总结归纳0001
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2021年02月02日 01:36
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第十六章二次根式
1
.
二次根式：
一般地，式子、、
a, (a 0)
叫做二次根式
.
注意：
(
1
)
若
a 0
这个条件不成立，则
,a
不是二次根式
;
(
2
)
,a
是一个重要的非负数，即；
.a
>
0.
2.
最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式
r fr
r
r
—
c f
1
r-
r
=
L
」
w.r
一
rr- m^ir
1
r'F w ff
・
f
—
l
」
-L
」
f
r
”
1
1
⑵被开方数中不含分母；
⑶分母中不含根式。
3
•重要公式：
(
1
)
(..a)
2
a (a 0)
,
(
2
)
-a
2
a
a
(
a (a 0)
：
賀；注意使用
a (..a)
2
(a 0)
.
(3)
积的算术平方根：・、
ab .a ..b (a 0, b 0)
，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的
积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求
4
.
二次根式的乘法法则：
•、
a
、
.
b .ab (a 0, b 0)
.
5
.
二次根式比较大小的方法：
(1)
利用近似值比大小；
(2)
把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小
;
(3)
分别平方，然后比大小
.
6
.
商的算术平方根
:
算术平方根
•
7
.
二次根式的除法法则
:
.
a
(a 0, b 0)
；
打
a
■ b
(a
0, b 0)
，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的
；
b
(2
)
、
a
、
b .a b (a 0, b 0)
；
(3
)
分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具 体方法是：分式的分子与分母同乘分母
的有
理化因式，使分母变为整式
•
8
.
常用分母有理化因式：
a
与
a
，
. a b
与■■、
a . b
，
m. a n
■■、
b
与
m a n. b
，它们也叫
互为有理化因式
.
9.
最简二次根式：
（
1
）
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式
,
②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；
（
2
）
最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于
2
,
且不含分母；
（
3
）
化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；
（
4
）
二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式
.
10.
二次根式化简题的几种类型：（
1
）明显条件题；（
2
）隐含条件题；（
3
）讨论条件题
.< br>
11.
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，
如果被开方数相同，这几个二次根式叫做
同
类二次根式
•
12.
二次根式的混合运算：
（
1
）
二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理
数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；
（
2
）
二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除
法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等
•
第十七章勾股定理
1.
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为
a, b,
斜边长为
c,
那么
a
2
+
b
2
=c
2
2.
勾股定理逆定理：如果三角形三边长
a, b, c
满足
a
2
+
b
2
=c
2
。，那么这个三角形是
直角三角
形。
3.
经过证明被确认正确的命题叫做定理
。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原
命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
4.
直角三角形的性质
（
1
）
、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：
/
C=90°
/
A+
Z
B=90°
（
2
）
、在直角三角形中，
30
°角所对的直角边等于斜边的一半。
Z
A=30°
-
可表示如下
:
Z
C=90°
BC
』
AB
2
(3
)
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
/
ACB=90]
可表示如下：
D
为
AB
的中点
「
CD
』
AB
二
BD
丿
2
二
AD
5
、
摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边
上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影
和斜边的比例中项
/
ACB=90
CD
AD ?BD
”
AC
2
AD?AB
BC
2
BD ?AB
、
常用关系式
由三角形面积公式可得：
?
、
直角三角形的判定
、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
2
CDL AB
B
6
AB
CD=ACBC
7
1
2
、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
直角三角形。
命题、定理、证明
、
、
命
题的概念
判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
3
a
,
b
,
c
有关系
a
2
b
2
c
2
，那么这
个三角形是
8
1
(1)
命题必须是个完整的句子；
(2)
这个句子必须对某件事情做出判断。
2
、
命题的分类
(
按正确、错误与否分
)
真命题
(
正确的命题
)
命题「假命题
(
错误的命题
)
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
3
、
公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
4
、
定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5
、
证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6
、
证明的一般步骤
（
1
）
根
据题意，画出图形。
（
2
）
根
据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（
3
）
经
过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
9
、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（
1
）
三
角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（
2
）
要
会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论
1
:三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论
2
:
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论
3
:
三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论
4
:
三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论
5
:
三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
10
数学口诀
.
平方差公式
：
平方差公式有两项 ，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公
式相混淆。
完全平方公式
：
完全平方有三项，首尾符号是同乡，首 平方、尾平方，首尾二倍放
中央；
首士尾括号带平方，尾项符号随中央。
第十八章四边形
1
•四边形的内角和与外角和定理：
(1)
四边形的内角和等于
360
°;
(2)
四边形的外角和等于
360
°
.
几何表达式举例
:
2
.
多边形的内角和与外角和定理：
(1)
n
边形的内角和等于
(n-2)180
°
(2)
任意多
边形的外角和等于
360
°
.
3
•平行四边形的性质：
(1)
两组对边分别平行
;
(2)
两组对边分别相等
;
因为
ABCD
是平行四边
(3)
两组对角分别相等
;
形
(4)
对角线互相平分；
(5)
邻角互补
.
4.
平行四边形的判定
:
(1
)
两组对边分别平行
(2)
两组对边分别相等
(3)
两组对角分别相等
ABCD
是平行四边形
(4)
一组对边平行且相等
(5)
对角线互相平分
5.
矩形的性质：
(1)
具有平行四边形的所
有通
因为
ABCD
是矩形
性
；
(2)
四
个角都是直角
；
D
c
A
B
(1)
•••/
A+
Z
B+
Z
C+
Z
D=360°
(2)
T
Z
1+
Z
2+
Z
3+
Z
4=360
几何表达式举例
:
略
几何表达式举例：
(1)
•••
ABCD
是平行四边
形
•
AB// CD AD
//
BC
⑵
••• ABCD
是平行四边
形
•
AB=CD AD=BC
⑶
••• ABCD
是平行四边
形
• Z
ABC
Z
ADC
Z
DAB
Z
BCD
⑷
••• ABCD
是平行四边
形
•
OA=OC OB=OD
••• ABCD
是平行四边
形
• Z
CDA-
Z
BAD=180
几何表达式举例：
(1)
•/
AB// CD AD
//
BC
•••四边形
ABCD
是平行四
边形
(2)
•/
AB=CD AD=BC
•四边形
ABCD
是平行四边形
⑶
..................
几何表达式举例
:
(1)
.
.....................
⑵
•/
ABCD
是矩形
• Z
A=
Z
B=
Z
C=
Z
D=90°
⑶
•/
ABCD
是矩形
•
AC=BD
6.
矩形的判定
:
（
1
）平行四边形
一个直角
（
2
）三个角都是直
四边形
ABCD
是矩形
.
角
（
3
）对角线相等的平行四边形
7
.
菱形的性质：
因为
ABCD
是菱形
（
1
）
具有平行四边形的所有通
性
;
（
2
）
四个边都相等；
（
3
）
对角线垂直且平分对角
.
&
菱形的判定：
（
1
）
平行四边形
一组邻边等
（
2
）
四
个边都相等
（
3
）
对
角线垂直的平行四边形
9
.
正方形的性质：
因为
ABCD
是正方形
（
1
）
具有平行四边形
有通性；
角
的所
都是直角
;
（
2
）
四个边都相等，
分对角
.
四个
（
3
）
对角线相等垂直
且平
10
.
正方形的判定
:
（
1
）平行四边形一组邻边等一个直角
（
2
）
菱
形一个直角
四边形
ABCD
是正方形
.
（
3
）
矩
形一组邻边等
•/
ABCD
是矩形
又•••
AD=AB
•四边形
ABCD
是正方形
几何表达式举例
:
(1)
••• ABCD
是平行四边形
又
• •/
A=90°
•四边形
ABCD
是矩形
(2)
•••/
A=
Z
B=
Z
C=
Z
D=90°
•四边形
ABCD
是矩形
(3)
几何表达式举例：
(1)
(2)
•/
ABCD
是菱形
•
AB=BC=CD=DA
(3)
•/
ABCD
是菱形
•
AC
丄
BD
/
ADB
2
CDB
几何表达式举例：
（
1
）
•/
ABCD
是平行四边形
•/
DA=DC
•••四边形
ABCD
是
菱形
（
2
）
•/
AB=BC=CD=DA
•四边形
ABCD
是菱形
⑶•/
ABCD
是平行四边形
•/
AC
丄
BD
•四边形
ABCD
是菱形
几何表达式举例：
(1)
.
...................
(2)
•/
ABCD
是正方形
•
AB=BC=CD=DA
/
A=
Z
B=
Z
C=
Z
D=90°
(3)
•/
ABCD
是正方形
•
AC=BD AC
丄
BD
几何表达式举例：
（
1
）
•/
ABCD
是平行四边形
又•••
AD=AB
/
ABC=90
•四边形
ABCD
是正方形
（
2
）
•/
ABCD
是菱形
又
•••/
ABC=90
•四边形
ABCD
是正方形
11
•等腰梯形的性质：
(
1
)
两底平行，两腰相等；
因为
ABCD
是等腰
梯形
A
D
几何表达式举例：
(1)
•/
ABCD
是等腰梯形
•
AD// BC AB=CD
(2)
•/
ABCD
是等腰梯形
•••/ ABC=/ DCB
/
BAD=/ CDA
(3)
•/
ABCD
是等腰梯形
•
AC=BD
几何表达式举例：
(1)
•/
ABCD
是梯形且
AD// BC
又
四边形
ABCD
是等腰梯形
•••
AB=CD
•四边形
ABCD
是等腰梯形
(2)
•/
ABCD
是梯形且
AD// BC
又
•/
ABCD
是
梯形且
AD// BC
•/
AC=BD
••• ABCD
四边形是等腰梯形
(
2
)
同一底上的底角相等
；
(
3
)
对角线相等
.
B
C
12
.
等腰梯形的判定：
(1)
梯形两腰相等
(2)
梯形底角相等
(3)
梯形对角线相等
A
.(3)^
D
C
•••/
ABC=z DCB
•四边形
ABCD
是等腰梯形
B
13
.
平行线等分线段定理与推论：
探
(
1)
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它
直线上截
得的线段也相等；
(2)
一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰；
(3)
三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
A
-
------------------------
B
/
B
几何表达式举例：
(1) ...................
(2)
•/
ABCD
是梯形且
AB// CD
又•••
经过梯形
(
如图
)
经过
•
(
如
(3)
DE=EA EF
//
AB
•
CF=FB
(3)
•/
AD=DB
又•••
DE// BC
…
AE=EC
14
.
三角形中位线定理：
一半
•
-
A
三角形的中位线平行第三边，并且等于它
的
厶
z_3
B
C
几何表达式举例：
•/
AD=DB AE=EC
1
•
DE// BC
M
DE
)
BC
2
几何表达式举例：
15
.
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，
并且等于两底
和
的一半
•
D
C
F
•/
ABCD
是梯形且
AB// CD
又
•••
DE=EA CF=FB
•
EF// AB// CD
A
-------------------------
B
且
EF
』
(AB+CD)
2
一
基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离
,
平行四边形，
矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯
形，直角梯形，三角形中
位线，梯形中位线
.
二
定理：中心对称的有关定理