奥数——行程、多次相遇和追及问题
绝世美人儿
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2021年02月02日 05:05
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-extreme
多次相遇与追及问题
知识框架
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题
所有行程问题都是围绕“
路程< br>
速度
时间
”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较
复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
二、多次相遇与全程的关系
1.
两地相向出发：
第
1
次相遇，共走
1
个全程；
第
2
次相遇，共走
3
个全程；
第
3
次相遇，共走
5
个全程；
…………，
………………；
第
N
次相遇，共走
2N-1
个全程；
注意：除了 第
1
次，剩下的次与次之间都是
2
个全程。即甲第
1
次如果 走了
N
米，以后每次都走
2N
米。
2.
同地同向出发：
第
1
次相遇，共走
2
个全程；
第
2
次相遇，共走
4
个全程；
第
3
次相遇，共走
6
个全程；
…………，
………………；
第
N
次相遇，共走
2N
个全程；
3
、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键
几个全程
多人相遇追及的解题关键
路程差
三、解多次相遇问题的工具
——
柳卡
柳卡图，不用基本公式解决， 快速的解法是直接画时间
-
距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求
- 1 -
数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地 点”，以
及“由相遇的地点求出全程”，
使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个 全程时所用的时间
是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲
【例
1
】
甲 、
乙两名同学在周长为
300
米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，
甲 每秒钟跑
3.5
米，
乙
每秒钟跑
4
米，问：他们第十次相遇 时，甲还需跑多少米才能回到出发点？
【巩固】
甲
乙两人在相距
90
米的 直路上来回跑步，甲的速度是每秒
3
米，乙的速度是每秒
2
米．如果他
们同时分别从直路两端出发，
10
分钟内共相遇几次？
【例
2
】
甲、乙两 车同时从
A
地出发，不停的往返行驶于
A
，
B
两地之间。已 知甲车的速度比乙车快，并
且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中
C
地。问：甲车 的速度是乙车的多少倍？
- 2 -
【巩固】
甲
、乙二人从相距
60
千米的两地同时相向而行，
6
时后相遇。如果二人的速度各增加
1
千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点
1
千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？
【例
3
】
如图，
甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运
动，当乙走了
100
米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前
60
米处又 第二次相遇
.
求此圆形场
地的周长．
【巩固】
A
、
B
是圆的 直径的两端，甲在
A
点，乙在
B
点同时出发反向而行，两人在
C点第一次相遇，在
D
点第二次相遇．已知
C
离
A
有75
米，
D
离
B
有
55
米，求这个圆的周长是 多少米？
【例
4
】
甲、乙两车分别同时从
A
、
B
两地相对开出，第一次在 离
A
地
95
千米处相遇．相遇后继续前进到
- 3 -
达目的地后又立刻返回，第二次在离
B
地
25
千米处相遇．求
A
、
B
两地间的距离是多少千米？
【巩固】
甲
、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离
A
地
4
千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距
B
地
3千米处第二次相遇，求两
次相遇地点之间的距离
.
【例
5
】
甲、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离
A
地
18
千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距
B
地< br>13
千米处第二次相遇，求
AB
两地之间的距离
.
【巩固】
甲
、乙两 车同时从
A
，
B
两地相向而行，在距
B
地
54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即
返回原地，途中又在距
A
地
4 2
千米处相遇。求两次相遇地点的距离。
- 4 -
【例
6
】
甲、乙二 人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点 离
A
地
3
千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B
地
2
千米处第二次相遇，求第
2000
次相遇地点与第
2001
次相遇地点之间的距离
.
【巩固】
甲
、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离
A
地
7
千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距
B
地
3
千米处 第二次相遇，求第
三次相遇时共走了多少千米
.
【例
7
】
A
、
B
两地相距
2400
米，甲从
A
地、乙从
B
地同时出发，在
A
、
B
间往返长跑。甲每分钟跑
300
米，乙每分钟跑
240
米，在
30
分钟后停止运动。甲、乙两人在第几次相遇时
A
地最近？ 最近距
离是多少米？
【巩固】
A
、
B
两地相距
950
米。甲 、乙两人同时由
A
地出发往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走
40
米；
乙跑步，每分钟行
150
米。则甲、乙二人第
___ __
次迎面相遇时距
B
地最近。
- 5 -