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2021年2月2日发(作者：沦陷的意思)

高中数学必修
+
选修知识点归纳

复习寄语：


新课标人教
A
版





























































引言

1.
课程内容：

必修课程由
5
个模块组成：
< br>必修
1
：
集合、
函数概念与基本初等函
数（指、对、幂函数）

必修
2
：
立体几何初步、
平面解析几何
初步。

必修
3
：算法初步、统计、概率。

必修
4
：基本 初等函数（三角函数）
、
平面向量、三角恒等变换。

必修
5
：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学
习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部
分，其中包括集合、函数、数列、不
等式、解三角形、立 体几何初
步、平面
解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的
同时，进一步强调了这 些知识的发生、发展过
程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的
要求。


此外，基础内容还增加了向量、算法、概
率、统计等内容。


选修课程
有
4
个系列：

系列
1
：由
2
个模块组成（文科）
。

选 修
1
—
1
：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
导数及其应用。

选修
1
—
2
：统计案例、推理与证明、数系的扩
充与复 数、框图

系列
2
：由
3
个模块组成（理科）
。

选修
2
—
1
：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、

空间向量与立体几何。

选修
2
—
2
：导数及其应 用，推理与证明、数系
的扩充与复数

选修
2
—
3
：计数原理、随机变量及其分布列，
统计案例。


系列
4
：由
10
个专题组成（理科）
。

选修
4
—
1
：几何证明选讲。

选修
4
—
2
：矩阵与变换。

选修
4
—
3
：数列与差分。

选修
4
—
4
：坐标系与参数方程。

选修
4
—
5
：不等式选讲。

选修
4
—
6
：初等数论初步。

选修
4
—
7
：优选法与试验设计初步。

选修
4
—
8
：统筹法与图论初步。

选修
4
—
9
：风险与决策。

选修
4
—
10
：开关电路与布尔代数。


2
．重难点及考点：

重点：
函数，数列，三角函数，平面向量，
圆锥曲线，立体几何，导数

难点：
函数、圆锥曲线

高考相关考点：

⑴集合与简易逻 辑
:
集合的概念与运算、
简易逻
辑、充要条件

⑵函数：映 射与函数、函数解析式与定义域、
值域与最值、反函数、三大性质、函
数图象、指数与指数函数 、对数与对
数函数、函数的应用




⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数
列、数列求和、数列的应用

⑷ 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、
和、差、倍、半公式、求值、化
简、证明、三角函 数的图象与性
质、三角函数的应用

⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、
数量积及其应用

⑹不等式： 概念与性质、均值不等式、不等式
的证明、不等式的解法、绝对值不
等式、不等式的应用

⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位
置关系、线性规划、圆、
直线与圆的 位置关系

⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直
线与圆锥曲线的位置关系、< br>轨迹问题、圆锥曲线的应用

⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线
与平 面、平面与平面、棱柱、
棱锥、球、空间向量

⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二
项式定理及其应用

⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、
抽样、正态分布

⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用

⒀复数：复数的概念与运算

目录

必修
1
数学知识点

·······················

-
1 -
必修
2
数学知识点

·······················

-
3 -
必修
3
数学知识点

·······················

-
5 -
必修
4
数学知识点

·······················

-
8 -
必修
5
数学知识点

······················
- 14 -
专题一：常用逻辑用语

····················
- 19 -
专题二：圆锥曲线与方程
专题三：定积分
专题四：推理与证明
专题 五：数系的扩充与复数
专题六：排列组合与二项式定理
专题七：随机变量及其分布
专题 八：统计案例
专题九：坐标系与参数方程









···················

·······················

·····················

··················

··················

······················

··················
- 20 -
- 22 -
- 24 -
- 25 -

················
- 26 -
- 28 -
- 31 -
- 31 -
必修
1
数学知识点

第一章：集合与函数概念

§
1.1.1
、集合

1
、

把研究的对 象统称为
元素
，把一些元素组成的总
体叫做
集合
。集合三要素：确定性、互异性、无
序性
。

2
、

只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个
集合相等
。

3
、

常见集合：
正整数集合
：
N
*或
N

，
整数集合
：
f
(
x
1
)

f
(
x
2
)

0

f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上是减函数
.
步骤：取值—作差—变形—定号—判断

格
式
：
解
：
设
x
1
,
x
2


a
,
b

且
x
1

x
2
，
则
：
f

x
1


f

x
2

=
…


(2)
导数法：
设函数
y

f
(
x
)< br>在某个区间内可导，
若
f

(
x
)

0
，则
f
(
x
)
为增函数；

若
f

(
x
)

0
，则
f
(x
)
为减函数
.
§
1.3.2
、奇偶性

1
、

一般地，如果对于函数
f

x
< br>的定义域内任意一个
Z
，
有理数集合
：
Q
，
实数集合
：
R
.
4
、集合的表示方法：
列举法、描述法
.
§
1.1.2
、集合间的基本关系

1
、

一般地，对于两个集合
A
、
B
，如果集合
A
中任
意一个元素都是集合
B
中的元素，则称集合
A
是
集合
B的
子集
。记作
A

B
.
2
、

如果集合
A

B
，但存在元素x

B
，且
x

A
，
则称集合
A
是集合
B
的
真子集
.
记作：
A
B.

.
并规定：
3
、

把不含任何元素的集合叫做< br>空集
.
记作：
空集合是任何集合的子集
.
4
、

如果集合
A
中含有
n
个元素，则集 合
A
有
2
个子
集，
2

1
个真子 集
.
§
1.1.3
、集合间的基本运算

1
、

一般地，由所有属于集合
A
或集合
B
的元素组成
的集合，称为集合
A
与
B
的
并集
.< br>记作：
A

B
.
2
、

一般地， 由属于集合
A
且属于集合
B
的所有元素
组成的集合，称为
A
与
B
的
交集
.
记作：
A

B.
3
、
全集、补集
？
C
U
A
{
x
|
x

U
,
且
x
A
}

§
1.2.1
、函数的概念

1
、

设
A
、
B
是非空的数集，如果按照 某种确定的对应
关系
f
，使对于集合
A
中的任意一个数
x< br>，在集
合
B
中都有惟一确定的数
f

x
< br>和它对应，
那么就
称
f
:
A

B
为 集合
A
到集合
B
的一个
函数
，记
作：
y< br>
f

x

,
x

A
.
2
、

一个函数的构成要素为：
定义域、对应关系、值
域< br>.
如果两个函数的定义域相同，
并且对应关系完
全一致，则称
这两个函 数相等
.
§
1.2.2
、函数的表示法

1
、

函数的三种表示方法：
解析法、图象法、列表法
.
§
1.3.1
、单调性与最大（小）值

1
、注意函数单调性的证明方法：

(1)
定义法：
设x
1
、
x
2

[
a
,
b],
x
1

x
2
那么

n
n
x
，都有
f


x


f

x

，那么就称函数
f

x

为偶函数
.
偶函数图象关于
y
轴对称
.
2
、

一般地，如果对于函数
f

x
< br>的定义域内任意一个
x
，
都有
f


x


f

x

，
那么就称函数f

x

为
奇函数
.
奇函数图象关于原点对称
.
知识链接：函数与导数

1
、函数
y

f
(
x
)
在点
x
0
处的导数的几何意义：

函数
y

f
(
x
)
在点
x< br>0
处的导数是曲线
y

f
(
x
)
在
P
(
x
0
,
f
(
x
0
) )
处的切线的斜率
f

(
x
0
)
，
相应的切线方
程是
y

y
0

f
(
x
0
)(
x

x
0
)
.
2
、
几种常见函数的导数

①
C

0；②
(
x
)

nx
'
n
'
n

1
；




'
'
③
(sin
x
)

cos
x
；

④
(cos
x
)


sin
x
；

x
'
x
x
'
x
⑤
(
a
)

a
ln
a
；


⑥
(
e
)

e
；


⑦
(log
a
x
)

'
'
1
1'
；⑧
(ln
x
)


x
ln
a
x
'
'
3
、导数的运算法则

（
1< br>）
(
u

v
)

u

v< br>.



（
2
）
(
uv
)

u
v

uv
.


''
'
u
'
u
'
v

uv
'< br>(
v

0)
.

（
3
）
(
)

v
v
2
4
、复合函数求导法则
< br>复合函数
y

f
(
g
(
x
))的导数和函数
y

f
(
u
),
u
< br>g
(
x
)
的导数间的关系为
y
x


y
u


u
x

，
即
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数与
u对
x
的导数的
乘积
.

解题步骤
:
分层—层层求导—作积还原
.
5
、函数的极值

f
(
x
1
)

f
(
x
2
)

0

f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上是增函数；


- 1 -



(1)
极值定义：

极值是在
x
0
附近所有的点， 都有
f
(
x
)
＜
f
(
x
0
)
，
则
f
(
x
0
)
是函数
f< br>(
x
)
的极大值；




极值是在
x
0
附近所有的点，都有
f
(
x
)< br>＞
f
(
x
0
)
，
则
f
(< br>x
0
)
是函数
f
(
x
)
的极小值< br>.
(2)
判别方法：

①如果在
x
0
附近 的左侧
f
'
(
x
)
＞
0
，右侧
f
'
(
x
)
＜
0
，
那么
f
(
x
0
)
是极大值；

②如果在
x
0附近的左侧
f
'
(
x
)
＜
0
，右侧< br>f
'
(
x
)
＞
0
，
那么
f
(
x
0
)
是极小值
.
6
、求函数的最值


(1)
求
y
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)内的极值
（极大或者极小值）

(2)
将
y

f
(
x
)
的各极值点与
f
(
a
),
f
(
b
)
比较，
其中
最大的一个为最大值，最小的一个为 极小值。

注：
极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）
；
最值 是在整体区间上对函数值进行比较
(
整体性质
)
。


第二章：基本初等函数（Ⅰ）

§
2.1.1
、指数与指数幂的运算

1
、
一般地，
如果
x

a
，
那么
x
叫做< br>a

的
n
次方根。
其中
n

1,
n

N

.
2
、

当
n
为奇数时，
n
a

a
；

当
n
为偶数时，
a

a
.
3
、

我们规定：





⑴
a
n
m


图

象

a

1

0

a

1

1
1
-4
-2
0
-1

-4
-2
0
-1


(1)
定义域：
R
性

（
2
）值域：
（
0
，
+
∞）

质

（
3
）过定点（
0
，
1
）< br>，即
x=0
时，
y=1
（
4
）在
R
上是增函数

（
4
）在
R
上是减函数

(5)
x

0,
a

1
;
x

0,
0

a

1

x
x
x
(5)
x

0,0

a

1
;
x

0,
a

1

x

§
2.2.1
、对数与对数运算
a
x

N

x

log
a
N
；
恒等式：
a
log
a
N

N
.
性质：
log
a
1

0
，
log
a
a< br>
1
.
⑴
log
a

MN

log
a
M

log
a
N
；

⑵
log
a


M

N
< br>

log
a
M

log
a
N；


n
⑶
log
a
M
n

n
log
a
M
.
换底公式：
log
a< br>b

log
c
b
.
log
c
a
m
log
a
b

n< br>n
重要公式：
log
a
n
b

倒数关系：< br>log
a
b

m
n
n
1

a

0
,
a

1
,
b

0
,
b

1

.
log
b
a

m
a
n

*
§
2..2.2
、
对数函数及其性质

y

log
a
x

a

0
,
a< br>
1



a

0
,
m< br>,
n

N


⑵
a

n
,
m

1
；





图

-1
2.5
1.5

1

n

0

；

a
n
r

s
a

1

2.5
1.5
0

a

1

1
0.5
4
、

运算性质：





⑴
a
a

a
⑵
a
r
r
s
1
0
0.5

a

0
,
r
,
s

Q

；

象

-0
.5
1
-1
0
-0
.5
1
-1
-1
-1
.5
-1
.5
-2
-2
.5

-2
-2
.5



s

a
rs

a

0
,
r,
s

Q

；


(1)
定义域：
（
0
，
+
∞）

性

（
2
）值域：
R
r
r
⑶< br>
ab


a
b

a

0
,
b

0
,
r

Q

.
r
，即
x=1
时，
y=0
质

（
3
）过定点（
1
，
0
）
（
4
）在

（
0
，
+
∞）上是增函数

（
4
）在（
0
，
+
∞）上是减函数

§
2.1.2
、指数函数及其性质

x
1
、
y

a

a

0
,
a

1


(5)
x

1
,
log
a
x

0
；

(5)
x

1,
log
a
x

0
；

0

x

1
,
log
a
x

0
0

x

1
,
log
a
x
< br>0



- 2 -

§
2.3
、幂函数

1
、几种幂函数的图象：

必修
2
数学知识点

第一章：空间几何体

1
、空间几何体的结构

⑴
常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常 见的旋转体有：
圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且

每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围
成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与
截面之间的部分，这样的多面体叫做 棱台。

2
、空间几何体的三视图和直观图



第三章：函数的应用

§
3.1.1
、方程的根与函数的零点

1
、方程
f

x


0
有实根





函数
y

f

x

的图象与
x
轴有交点





函数y

f

x

有零点
.
2
、

零点存在性定理：

如果函数
y

f

x

在区间

a
,
b


上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有
f

a

f

b


0
，那么函数

⑵圆锥侧面积：
S
侧面



r
< br>l

（
3
）体积公式：


⑴圆柱侧面积；
S
侧面

2


r

l

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影
的投影线交于一点；把在一束平行光线照 射下的投影叫
平行投影，平行投影的投影线是平行的。

3
、空间几何体的表面积与体积

y

f

x

在区间

a
,
b

内有零点，即存 在
c


a
,
b

，
使得
f

c


0
，这个
c
也就是方程f

x


0
的根
.
§
3.1.2
、用二分法求方程的近似解

1
、掌握二分法
.
§
3.2.1
、几类不同增长的函数模型

§
3.2.2
、函数模型的应用举例

1
、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函
数拟合，最后检验
.











1
V
柱体

S

h
；
V
锥体

S

h
；

3
1
V
台体

S
上

S
上

S下

S
下
h

3


（
4
）球的表面积和体积：

4< br>S
球

4

R
2
，
V
球< br>

R
3
.
3
第二章：点、直线、平面之间的位置关系

1
、公理
1< br>：
如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条
直线在此平面内。

2
、
公理
2
：
过不在一条直线上的三点，
有且只有一个平面。

3
、公理
3
：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 它
们有且只有一条过该点的公共直线。

4
、公理
4
：
平行于同一条直线的两条直线平行
.
5
、定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这
两个角相等或互补。
6
、线线位置关系：
平行、相交、异面。

7
、线面位置关系：
直线在平面内、直线和平面平行、直
- 3 -

线和平面相交。

8
、面面位置关系：
平行、相交。

9
、
线面平行：

⑴判定：
平面外一条直线与此平面内的一 条直线平行，则
该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）
。

⑵性 质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行（简称线 面平行，则
线线平行）
。

⑴
l
1
//
l
2



k
1

k
2
；


b
1

b
2
⑵
l
1
和
l
2
相交

k
1

k
2
；


k
1

k
2
⑶
l
1
和
l
2
重合


；

b

b
2

1
⑷
l
1

l
2

k
1
k
2


1
.
4
、对于直线：

10
、
面面平行：
⑴判定：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行（简称线面平行 ，则面面平行）
。

⑵性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么
它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）
。

l
1
:
A
1
x

B
1
y

C
1

0
,
l
2
:
A
2
x

B
2
y

C
2

0
⑴
l
1
//
l
2


有：

11
、
线面垂直：

⑴定义：
如果一条直线垂直于一个平面 内的任意一条直线，
那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：
一条直线 与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）
。


A
1
B
2

A
2
B
1
；


B
1
C
2

B
2
C
1
⑶性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行。

12
、
面面垂直：

⑴定义：
两个平面相交，如果它们所成 的二面角是直二面
角，就说这两个平面互相垂直。

⑵
l
1
和
l
2
相交

A
1
B
2

A
2
B
1
；


A
1
B
2

A
2
B
1
l
l
⑶
1
和
2
重合


；

B
C
B
C
2
1

1
2
⑷
l
1
l
2

A
1
A
2

B1
B
2

0
.
5
、两点间距离公式：

⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂 线，则这两个
平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）
。

⑶性质：
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。
（简称面面垂直，则线面垂直）
。


第三章：直线与方程

1
、倾斜角与斜率：
k

tan


2
、直线方程：

⑴点斜式：
y

y
0

k
< br>x

x
0


⑵斜截式：
y

kx

b

P
1
P
2


x
2

x
1

2


y
2

y
1

2


6
、点到直线距离公式：

y
2

y
1

x
2

x
1
d

Ax
0

By
0

C
A

B
2
2
7
、两平行线间的距离公式：
l
1
：
Ax

By

C
1

0
与
l
2
：
Ax

By

C
2

0
平行，
则
d

C< br>1

C
2
A

B
2
2
< br>⑶
两点式：
y

y
1
y
2

y
1


x

x
1
x
2

x
1
x
y


1

a
b
⑷
截距式
：
⑸一般式：
Ax

By

C

0

3
、对于直线：




第四章：圆与方程

1
、圆的方程：

⑴
标准方程：

x

a



y

b


r
2

2
2
l
1
:
y

k
1
x

b
1
,
l
2
:
y

k
2
x

b
2
有：

其中
圆心为
(
a
,
b
)
，半径为
r
.


- 4 -

⑵
一般方程：
x

y

Dx

Ey
F

0
.
其中
圆心为
(

2
2
必修
3
数学知识点

第一章：算法

1
、算法三种语言：

自然语言、流程图、程序语言；

2
、流程图中的图框：

起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等
规范表示方法；

3
、算法的三种基本结构：

D
2
2
2
、直线与圆的位置关系

,
< br>E
)
，
半径为
r

1
2
D
2

E
2

4
F
.

2
2
2
直线
Ax

By

C

0< br>与圆
(
x

a
)

(
y

b
)

r
的位置关系有三种
:
d
r

相离



0
;
d

r

相切



0
;
d

r

相交



0
.
< br>弦长：
l

2
r

d
2
2

当型循环结构

顺序结构、条件结构、循环结构


< br>直到型循环结构
2

1

k
2
(
x
1

x
2
)

4
x
1
x
2

3
、两圆位置关系：
d

O
1
O
2

⑴外离：
d

R

r
；

⑵外切：
d

R

r
；

⑶相交 ：
R

r

d

R

r
；

⑷内切：
d

R

r
；

⑸内含：
d

R

r
.
3
、
空间中两点间距离公式：

⑴顺序结构示意图：





语句
n
（

n+1
语句

P
1
P
2


x
2

x
1

2


y
2

y
1

2


z
2

z
1

2









⑵条件结构示意图：

①
IF
-
THEN
-
ELSE
格式：





满足条件？


是



语句
1
否

语句
2



②
IF
-
THEN
格式：





满足条件？


否





（图
3
）





- 5 -

是

语句






⑶循环结构示意图：

①
当型
（
WHILE
型）循环结构示意图：





循环体




满足条件？

是


否



（图
4
）

②
直到型
（
UNTIL
型）循环结构示意图：





循环体


否




满足条件？



（图
5
）

是



⑤循环语句的一般格式是两种：


当型循环（
WHILE
）语句的一般格式：


WHILE

条件


循环体


（图
4
）


WEND


直到型循环（
UNTIL
）语句的一般格式：



DO

循环体


LOOP

UNTIL

条件




（图
5
）



⑹算法案例：

①辗转相除法—
结果是以相除余数为
0
而得到

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

ⅰ）
：
用较大的数m
除以较小的数
n
得到一个商
S
0
和
一个余数
R
0
；

ⅱ）
：
若
R
0
＝
0
，则
n
为
m
，
n
的最大公约数；若< br>R
0
≠
0
，则用除数
n
除以余数
R
0
得到一个商
S
1
和一个余
数
R
1
；
ⅲ）
：
若
R
1
＝
0
，
则< br>R
1
为
m
，
n
的最大公约数；
若
R
1
≠
0
，
则用除数
R
0
除以余数
R
1
得到一个商
S
2
和一个余数
R
2
；… …

依次计算直至
R
n
＝
0
，
此时所得到 的
R
n

1
即为所求
的最大公约数。

②
更相减损术
—
结果是以减数与差相等而得到

利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：

ⅰ）
：
任意给出两个正 数；判断它们是否都是偶数。
若是，用
2
约简；若不是，执行第二步。
ⅱ）
：
以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与
所得的差比较，并以大数减小 数。继续这个操作，直
到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的
最大公约数。

③进位制

十进制数化为
k
进制数—
除
k
取余法

k
进制数化为十进制数









4
、基本算法语句：

①输入语句的一般格式：
INPUT
“提示内容”
；变量

②输出语句的一般格式：
PRINT
“提示内容”
；表达式

③赋值语句的一般格式：变量＝表达式


（
“
=
”有时也用“←”
）
.
④条件语句的一般格式有两种：

IF
—
THEN
—
ELSE
语句的一般格式为：


IF

条件


THEN



语句
1

ELSE

语句
2

（图
2
）


END IF


IF
—
THEN
语句的一般格式为：



IF

条件

THEN


语句


END IF
（图
3
）




- 6 -


第二章：统计

1
、抽样方法：

①简单随机抽样（总体个数较少）

②系统抽样（总体个数较多）

③分层抽样（总体中差异明显）

注 意：
在
N
个个体的总体中抽取出
n
个个体组成样本，
每个个 体被抽到的机会（概率）均为
n
。

N
注意：线性回归直线经过定点
(
x
,
y
)
。

第三章：概率

1
、随机事件及其概率：

⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母
表示；

⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；

⑶随机事件
A
的概率 ：
P
(
A
)

m
,
0

P
(
A
)

1
.
n
2
、总体分布的估计：

⑴一表二图：

①频率分布表——数据详实

②频率分布直方图——分布直观

③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势

注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为
1
。

⑵茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据
的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大
书写，相同的数据重复写。

3
、总体特征数的估计：

x

x

x< br>


x
n
⑴平均数：
x

12
3
；

n
取值为
x
1
,
x
2
,

,
x
n
的频率分别为
p
1
,
p
2
,

,
p
n
，则其
平均数为
x
1
p
1

x
2
p
2



x
n
p
n
；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。

⑵方差与标准差：一组样本数据
x
1
,
x
2
,

,
x
n

1
方差：
s
2

n
2
、古典概型：

⑴基本事件：
一次试验中可能出现的每一个基本结果；

⑵古典概型的特点：

①所有的基本事件只有有限个；

②每个基本事件都是等可能发生。

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本 事
件共有
n
个，事件
A
包含了其中的
m
个基本事件 ，则
事件
A
发生的概率
P
(
A
)

m
.
n
3
、几何概型：

⑴几何概型的特点：

①所有的基本事件是无限个；

②每个基本事件都是等可能发生。

⑵几何概型概率计算公式：
P
(
A
)

d
的测度< br>；

D
的测度

(
x
i

1
n
2
i

x
)
；

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、
体积等。

4
、互斥事件：

⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
< br>⑵如果事件
A
1
,
A
2
,

,A
n
任意两个都是互斥事件，
则称
事件
A
1
,
A
2
,

,
A
n
彼此互斥。
< br>⑶如果事件
A
，
B
互斥，那么事件
A+B
发生的概率 ，
等于事件
A
，
B
发生的概率的和，

即：
P
(
A

B
)

P
(
A
)

P
(
B
)

⑷如果事件
A
1
,
A
2
,

,
A
n
彼此互斥， 则有：

P
(
A
1

A
2


A
n
)

P
(
A
1)

P
(
A
2
)


P
(
A
n
)

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称
这两个事件为对立事件。

①事件
A
的对立事件记作
A

P
(
A)

P
(
A
)

1
,
P(
A
)

1

P
(
A
)
标准差：
s

1
n

(
x
i

1
n
2
i

x
)

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的
稳定水平。

⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：
y

bx

a
（最小二乘法）

n

x
iy
i

nx
y


i

1< br>

b

n
2

2

x< br>
nx

i

i

1



a

y

bx

②对立事件一定是互斥 事件，互斥事件未必是对立事
件。



- 7 -


必修
4
数学知识点

第一章：三角函数

§
1.1.1
、任意角

1
、

正角、负角、零角、象限角
的概念
.
2
、

与角

终边相同的角的集合：


1
、

平方关系
：
sin


cos


1
.
2
2
sin

.
cos

3
、

倒数关系：
tan

cot


1

2
、

商数关系
：
tan


§
1.3
、三角函数的诱导公式

（概括为
“
奇变偶不变，符 号看象限”
k

Z
）

1
、

诱导公式一
：






< br>2
k

,
k

Z

.
§
1.1.2
、弧度制

1
、

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度
的角
.
s in



2
k



sin< br>
,
cos



2
k



cos

,
（其中：
k

Z
）

tan



2
k


tan

.
2
、

诱导公式二
：

l
2
、



.
r
3
、
弧长公式
：
l< br>
n

R


R
.
180
sin







sin

,

cos







cos

,

n

R
2
1

lR
.
4
、
扇形面积公式
：
S

360
2
§
1. 2.1
、任意角的三角函数

1
、

设

是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
tan






tan

.
3
、
诱导公式三
：

sin






sin
< br>,

cos





co s

,

y
P

x
,
y

，那么：
sin


y
,
cos

x
,
tan



x
2
、

A

x
,
y
t an






tan

.< br>4
、
诱导公式四
：


为角

终边上一点（
r

：

x
2

y
2
）
sin





sin

,

cos







cos

,


sin


x
y
x
y
c ot



cos


，
tan


，
，
y
r
r
x
tan






tan

.
5
、
诱导公式五
：

3
、

sin

，
cos

，
tan

在四个象限的符号和三 角
函数线的画法
.
y
T

P
正弦线：
MP;
余弦线：
OM;
O
M
A
x

正切线：
AT



5
、

特殊角
0
°，
30< br>°，
45
°，
60
°，

90
°，
180
°，
270
等
的三角函数值
.


2

0

3




2

3










6
4
3
2
3
4
2

sin


cos


tan






sin





cos

,

2




cos





sin

.

2




sin




cos

,

2


6
、
诱导公式六
：





cos






sin

.

2
































§
1.4.1
、正弦、余弦函数的图象和性质

1
、
五点法作图
.
§
1.2.2
、同角三角函数的基本关系式


§
1.4.3
、正切函数的图象与性质

2
、记住余切函数的图象：


y

sin
x
在
x

[0,
2

]
上的五个关键点 。

- 8 -

y
y=cotx
-

-

2
o

2

3

2
2

x

3
、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：
周期函数定义
：对于函数
f

x

，如果存在一个非零 常数
T
，使得当
x
取定义域内的每一个值时，都有
f
x

T


f

x

，那么 函数
f

x

就叫做周期函数，非零常数
T
叫做这 个函数的周期
.


y

sin
x

y

cos
x

y

tan
x


图象


定义域

值域

x

2
k



R

[-1,1]

2
R

[-1,1]

{
x
|
x


2

k

,
k

Z
}

R



无

,
k

Z
时，
y
max
1
最值

x

2
k



2

,
k

Z
时，
y
min


1x

2
k

,
k

Z
时，< br>y
max

1
x

2
k



,
k

Z
时，
y
min
< br>
1

周期性

奇偶性

2
T

2


奇

在
[ 2
k



,
2
k



]
上单调递增

2
T

2


偶

在
[2
k



,2
k

]
上单调递增

T



奇

单调性

在
(
k



,
k



)
上单调递增

2
2
k

Z

在
[2
k



,
2
k


3

]
上单调递减

在
[2
k

,2
k



]
上单调递减

2
2

对称性

对称轴方程：
x

k



2
k

Z

对称中心
(
k

,
0)

对称轴方程：
x

k


对称中心
(
k


无对称轴

对称中心
(

2
,
0)

k

2
,
0)

§
1.5
、函数
y

A
sin


x



的图象

1
、对于函数：

2
、能够讲出函数
y

sin
x
的图象与

y

A
sin


x




B
的图象之间的平移伸缩变
换关系
.



y

A
sin


x




B

A

0,

0

有：振幅
A
，周
期
T


2


，
初相

，
相位

x< br>

，
频率
f

1
T

2


.
- 9 -

①

先平移后伸缩：

y

sin
x

平移
|

|
个单位



y
s
i
n

x




y

A
s
i
n





x
y

A
sin


x




（左加右减）



横坐标不变








纵坐标变为原来的
A
倍

§
1.6
、三角函数模型的简单应用

1
、

要求熟悉课本例题
.

第三章、三角恒等变换

§
3.1.1
、两角差的余弦公式

记住
15
°的三角函数值：



cos


tan


sin



12


纵坐标不变








横坐标变为原来的
|
平移
|
B
|
个单位

（上加下减）


6

2
4

6

2
4

2

3

1

|
倍

§
3.1.2
、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1
、
sin






sin
< br>cos


cos

sin


2
、
sin






sin< br>
cos


cos

sin


3
、
cos






cos

cos


sin

sin


4
、
cos






cos

cos


sin

sin


5
、
tan






6
、
tan




< br>
y

A
sin


x




B


②

先伸缩后平移：

y

sin
x


横坐标不变









y

A
sin
x

纵坐标变为原来的
A
倍



纵坐标不变








横坐标变为原来的
|
平移


y

A
sin

x

tan


tan

1

ta n

tan

.
1

|
倍
< br>tan


tan

1

tan

tan

.
个单位



y

A
s
i
n






x
§
3.1.3
、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1
、
sin
2


2
sin

cos

，


变形
：

sin

cos


1
.
2
sin
2

（左加右减）

平移
|
B
|
个单位

（上加下减）
y

A
sin


x




B

2
、
cos
2


cos


sin


2
2
3
、三角函数的周期，对称轴和对称中心

函数
y

sin(

x


)
，
x
∈
R
及函数
y

cos(

x


)
，
x
∈
R(A,

,
为常数，且
A
≠
0)
的周期
T

数
y

tan(

x


)
，
x
k


常数，且
A
≠
0)
的周期< br>T


2
cos
2


1


1

2
sin
2

.
变形如下：

2


1

cos
2


2cos


升幂公式：


2


1

cos
2


2sin

2

；函
|

|

2
,
k

Z
(A,
ω
,

为
.
|

|
(
x


和< br>)
y

A
cos(

x


)
来
对
于
y

A
s
i
n

说，
对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系
.

求函数< br>y

A
sin(

x


)
图像的对称轴与对称中心，
只需令

x



k



cos
2


1
(1
cos
2

)

2
降幂公式：
< br>

sin
2


1
(1

cos
2

)

2
3
、
tan
2



2
解出
x
即可
.
余弦函 数可与正弦函数类比可得
.
4
、由图像确定三角函数的解析式

利 用图像特征：
A

(
k

Z
)
与

x



k

(
k

Z
)

2
tan

.
2
1
< br>tan


要根据周期来求
,

要用图像的关键点来 求
.

y
max

y
min
y

y
min
，
B

max
.
2
2
4
、
tan


sin
2

1

cos
2



1

cos< br>2

sin
2

§
3.2
、简单的三角恒等 变换

1
、

注意
正切化弦、平方降次
.
- 10 -

2
、
辅助角公式

y
< br>a
sin
x

b
cos
x

a
b
sin(
x


)


（
tan


2
2

⑴

a


a
,


⑵当


0
时
,

a
的方向与
a
的方向相同；当
b
).
a
第二章：平面向量

§
2.1.1
、向量的物理背景与概念

1
、

了解四种常见向量：
力、位移、速度、加速度
.
2
、

既有大小又有方向的量叫做
向量
.
§
2.1.2
、向量的几何表示

1
、

带有方向的线段叫做
有向线段
，有向线段包含三
个要素：起点、方向、长度
.
2
、

向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或称
模
）
，记作
AB
；长度为零的向量叫做
零向量
；
长度等于
1
个单位的向量叫做
单位向量
.
3
、

方向相同或相反的非零向量叫做
平行向量（或共
线向 量）
.
规定：零向量与任意向量平行
.
§
2.1.3
、相等向量与共线向量

1
、

长度相等且方向相同的向量叫做
相等向量
.
§
2.2.1
、向量加法运算及其几何意义

1
、

三角形加法法则
和
平行四边形加法法则
.






2
、
a

b
≤
a

b
.
§
2.2.2
、向量减法运算及其几何意义

1
、

与
a
长度相等方向相反的向量叫做
a
的
相反向量
.
2
、

三角形减法法则
和
平行四边形减法法则
.






§
2.2.3
、向量数乘运算及其几何意义

1
、

规定：实数

与向量
a
的积是一个向量，这种运
算叫做向量的数乘
.
记作：

a
，它的长度和方向
规定如下：




0
时
,

a
的方向与
a
的方向相反
.
2
、

平面向量共线定理
：向量
a
a
< br>0
与
b

共线，当
且仅当有唯一一个实数

，使
b


a
.
§
2.3.1
、平面向量基本定理

1
、

平面向量基本定理
：
如果
e
1
,
e
2
是 同一平面内的两
个不共线向量，
那么对于这一平面内任一向量
a
，
有 且只有一对实数

1
,

2
，使
a

1
e
1


2
e
2
.
§
2.3.2
、平面向量的正交分解及坐标表示

1
、

a

x
i

y
j


x
,
y

.
§
2.3.3
、平面向量的坐标运算

1
、
设
a


x
1
,
y
1
,
b


x
2
,
y
2
，则：


⑴
a

b

x
1

x
2
,
y
1

y2

，

⑵
a

b

x
1

x
2
,
y
1

y2

，

⑶

a


x
1
,

y
1

，

⑷a
//
b

x
1
y
2

x< br>2
y
1
.
2
、

设
A

x
1
,
y
1

,
B

x
2
,
y
2

，则：


A B


x
2

x
1
,
y
2

y
1

.
§
2.3.4
、平面向量共线的坐标表示

1
、设
A

x
1
,
y
1

,
B

x
2
,
y
2

,
C

x
3
,
y
3

，则

⑴线段
AB
中点坐标为



x
1

x
2< br>2
y
2
，

,
y
1

2< br>
⑵△
ABC
的重心坐标为

x
1

x
2

x
3
3
,
y
1

y
3
2

y
3
.

§
2.4.1
、平面向量数量积的物理背景及其含义

1
、

a

b

a
b
cos

.
2
、

a
在
b
方向上的投影为：
a
cos

.
- 11 -

3
、

a

a
.
4
、

a

2
2


若
A
、
B
是直线
l
上的任意两点，
则
AB< br>为直线
l
的
一个方向向量；
与
AB
平行的任意非零向 量也是直线
l
的方向向量
.
⑵．平面的法向量：



若向量
n
所在直线垂直于平面

，则称这个向量
垂直于平面

，
记作
n


，
如果
n


，
那么向量
n
a
.
2
5
、

a

b

a

b

0
.
§
2.4.2
、
平
面
向
量
数
量< br>积
的
坐
标
表
示
、
模
、
夹< br>角

1
、

设
a


x< br>1
,
y
1

,
b


x< br>2
,
y
2

，则：

⑴
a

b

x
1
x
2

y
1
y
2

⑵
a

x
1
2

y
1
2

叫做平面

的法向量
.

⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）
：


①建立适当的坐标系．

②设平面

的法向量为
n

(
x
,
y
,
z
)
．

③求出平面内两个不共线向量的坐标
⑶
a

b

a

b

0

x
1
x
2

y
1
y
2

0

⑷
a
/
/
b

a


b

x
1
y
2

x
2
y
1

0

2
、

设
A

x
1
,
y
1

,
B

x
2
,
y
2

，则：

a

(
a
1
,
a
2
,
a
3
),
b

(
b1
,
b
2
,
b
3
)
．


n

a

0
④根据法向量定义建立方程组

.



n

b

0
⑤解方程组，
取其中一组解，
即得平面

的法向量
.


（如图）

AB


x
2< br>
x
1

2


y
2
< br>y
1

2
a

b
a
b
< br>.
3
、

两向量的夹角公式

s




c
o

x
1
x
2

y
1
y
2
x

y

x
2

y
2
1
2
1
2
2
2







4
、点的平移公式



平移前的点为
P(
x
,
y
)
（原坐标）
，
平移后的对应点

为
P

(
x

,
y
)
（新坐标）
，平移向量为
PP


(h
,
k
)
，


2
、
利用向量求空间角


x


x

h
则


⑴求异面直线所成的角


y


y
< br>k
.
已知
a
,
b
为两异面直线，
A
，
C
与
B
，
D
分别是
a
,
b上的任意两点，
a
,
b
所成的角为

，


函数
y

f
(
x
)
的图像 按向量
a

(
h
,
k
)
平移后的
图像的解析式为
y

k

f
(
x

h
).

§
2.5.1
、平面几何中的向量方法

§
2.5.2
、向量在物理中的应用举例


知识链接：空间向量

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得
.< br>下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行
总结归纳
.
1
、
直线的方向向量和平面的法向量

⑴．直线的方向向量：





则
co s


AC

BD
AC
BD
.

⑵求直线和平面所成的角



①
定义：
平面的一 条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

②求法：< br>设直线
l
的方向向量为
a
，
平面

的法向量
为
u
，直线与平面所成的角为

，
a
与
u
的夹角为

，

- 12 -

则

为

的余角或

的补角

的余角
.
即有：

MP
在法向量
n
方向上的投影的绝对值
.

即
d

MP
cos
n
,
MP
< br>s
in


cos


a

u
a
u
.






MP

n

M
P
n
MP

n< br>
M
P
n

⑶求二面角

①
定义：
平面内的一条直线把平面分为两个部分，
其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个< br>半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面
角的棱，每个半平面叫做二面角的面

⑶
直线
a
与平面

之间的距离





d

n

MP
n
.

二面角的平 面角是指在二面角


l


的棱上
任
取
一
点
O
，
分
别
在
两
个
半
平
面
内
作
射
线
⑷
两平行平面
< br>,

之间的距离

AO

l
,
BO

l
，则

AOB
为二面角


l


的平
面角
.
如图：




A
d

n

MP
n
.

B
O
l
B
⑸异面直线间的距离



O
②求法：
设二面角


l


的两个半平面的法向量
分
别
为
m
、
n
，
再
设
m
、
n
的
夹
角
为

，
二
面
角
A
n

M
P
.



d

n
4
、三垂线定理及其逆定理

⑴三垂线定理 ：
在平面内的一条直线，如果它和这个
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

P
推理模式：


l


的平面角为

，则二面角

为
m
、
n
的 夹角

或其补角



.

根据具体图形确定

是锐角或是钝角：

◆如果

是锐角，则
cos


cos


m
< br>n
m
n
，

PO


,
O




PA


A


a

PA
a


,
a

OA


O
A
a
如果

是钝角，则cos



cos



3
、
利用法向量求空间距离

⑴点
Q
到直线
l
距离

m

n
m
n


概括为：垂直于射影就垂直于斜线
.

⑵三垂线定理的逆定理：
在平 面内的一条直线，如果
和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的
射影垂直


PO


,
O





若
Q
为直线
l
外的一点
,
P
在直线
l
上，
a
为直线
l
的
推理模式：
PA


A


a

AO
方向向量，
b
=
PQ
，则点
Q
到直线
l
距离为

a


,
a
AP


1
概括为：垂直于斜线就垂直于射影
.
h

(|
a
||
b
|)
2

(
a

b
)
2

|
a
|
⑵
点
A
到平面

的距离

若点
P
为平面

外一点，点
M
为平面

内任一点，
平面

的法向量为
n
，则
P
到平面

的距离就等于




- 13 -

必修
5
数学知识点

第一章：解三角形

1
、正弦定理：

,
(
n

1)

S
1
a
n


注意通项能否合并。
< br>
S
n

S
n

1
,(
n

2).
2
、等差数列：

⑴定义：如果一个数列从第2
项起，每一项与它的前
一项的差等于同一个常数，即
a
n
－< br>a
n

1
=d
，
（
n
≥
2
，
n
∈
N

）
，

那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数
a
、
A
、
b
成等差数列
a
b
c



2
R
.
sin
A
sin
B
sin
C
（其中
R
为

ABC
外接圆的半径）


a

2
R
sin
A
,
b
< br>2
R
sin
B
,
c

2
R
sin
C
;


sin
A

a
b
c
,sin
B

,sin
C

;

2
R
2
R
2
R

a
:
b
:
c

sin
A
:sin
B
:sinC
.

用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；


⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它
元素。


2
、余弦定理：


A

a

b

2
⑶通项公式：
a
n

a
1

(
n

1 )
d

a
m

(
n

m
)
d














或
a
n

p n

q
(
p
、
q
是常数）
.


⑷前
n
项和公式：


a
2

b
2

c
2

2
bc
cosA
,

2
2
2

b

a
c

2
ac
cos
B
,


c
2

a
2

b
2

2
ab
cos
C
.


b
2
< br>c
2

a
2
,

cos
A

2
bc

a
2

c
2

b
2

,


cos
B

2< br>ac


a
2

b
2

c
2
.

cos
C

2
ab
用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；

⑵已知三角形三边，求其它元素。

做题中两个定理经常结合使用
.
3
、三角形面积公式：

S
n

na
1< br>
n

n

1

n

a< br>1

a
n

d


2
2
⑸常用性质：

①若
m

n

p

q


m
,
n
,
p
,
q

N


，则
a
m
a
n

a
p

a
q
；
②下标为等差数列的项

a
k
,
a
k

m
,
a
k

2
m
,


，仍组成
等差数列；

③数列


a
n

b

（

,
b
为常数）仍为等差数列 ；

④若
{
a
n
}
、
{
b
n
}
是等差数列，则
{
ka
n
}
、
{< br>ka
n

pb
n
}

(
k
、
p
是非零常数
)
、
{
a
p

n q
}(
p
,
q

N
)
、
，
…也成等
差数列。

⑤单调性：

a
n

的公差为
d
，则：

ⅰ）
d

0

a
n

为递增数列；

ⅱ）
d
< br>0


a
n

为递减数列；

ⅲ）
d

0


a
n

为常数列；< br>
⑥数列
{
a
n
}
为等差数列

a
n

pn

q
（
p,q
是常数）

⑦若等差数列

a
n

的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2
k
S
k
、
*
S

ABC
1
1
1

ab
sin
C

bc
sin
A

ac
sin
B

2
2
2
4
、三角形内角和定理：

在△
ABC
中，
有
A

B

C



C



(
A

B
)


C

A

B



2
C

2


2(
A

B
)
.
2
2
2
5
、一个常用结论：


在

ABC
中，
a

b

sin
A

sin
B

A

B< br>;

若
sin
2
A

sin
2B
,
则
A

B
或
A

B

第二章：数列

1
、数列中
a
n
与
S
n
之间的关系：



2
在三角函数 中，
sin
A

sin
B

A

B
不成立。

.
特别注意，
S
3
k
S
2
k
…

是等差数列。


3
、等比数列

- 14 -

⑴定义：如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前
一项的比等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等< br>比数列。

⑵裂项相消法

设
a
n


an

b
1


an

b< br>2
，通分整理后可得

G
、
b
成等比数列

G
2

ab
,
⑵等比中项：若三数
a
、< br>（
ab
同号）
。
反之不一定成立。

⑶通项公式：< br>a
n

a
1
q
n

1
< br>a
m
q
n

m

⑷前
n
项和公式：
S
n

⑸常用性质
< br>①若
m

n

p

q


m
,
n
,
p
,
q

N


，则
②
c
c
1
1
=
(

).

(
an

b
1
)(
a n

b
2
)
(
b
2

b
1
)
an

b
1
an

b
2常见的拆项公式有：

①
a
1

1

q
n

1

q
a

a
q

1
n

1

q
1
1
1


；

n
(
n

1)
n
n

1
1
1
1
1

(

);

(2< br>n

1)(2
n

1)
2
2
n
1
2
n

1
1
1

(a

b
);

a

b
a
< br>b
a
m

a
n

a
p
< br>a
q
；

②
a
k
,
a
k< br>
m
,
a
k

2
m
,
< br>为等比数列，公比为
q
(
下标成
等差数列
,
则对应的 项成等比数列
)
③数列


a
n

（< br>
为不等于零的常数）
仍是公比为
q
的
等比数列；正项等比数 列

a
n

；则

lg
a
n
是公差为
k
③
m

1
m
m
④
C
n

C
n

1

C
n
;

⑤
n

n
!

(
n

1)!

n
!.

⑶分组法求和

①找通向项公式②由通项公式确定如何分组
.

⑷倒序相加法
特征：
a
1

a
n

a
2

a
n

1

...

⑸记住常见数列的前
n
项和：

①
1

2

3

...

n

lg
q的
等差
数列；


1

④若

a
n

是等比数列，则

ca
n

，< br>


，


a
n

，< br>a

n

2
2
1
r
q
，< br>q
，
，
q
r
.

是等比数列，
公比 依次是
a
(
r

Z
)

n
q
n
(
n

1)
;

2
2< br>②
1

3

5

...

(2
n

1)

n
;

③
1
2

3

...

n

2
2
2
2
⑤单调性：

a
1

0,
q

1
或
a
1

0,0

q

1


a
n

为递增数列；
1
n
(
n

1)(2
n

1).

6
a
1

0,0

q

1< br>或
a
1

0,
q

1


a
n

为递减数列；

q

1


a
n

为常数列；

q

0< br>

a
n

为摆动数列；

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。

⑦若等比数列

a
n

的前
n
项和
S
n
，则
Sk
、
S
2
k

S
k
、
第三章 ：不等式

§
3.1
、不等关系与不等式

1
、不等式的基本性质

①（对称性）
a

b

b

a

②（传递性）
a

b
,
b

c

a

c

③（可加性）
a

b

a

c

b

c

（
同 向可加
性）
a

b
,
c

d
< br>a

c

b

d

（
异向 可减
性）
a

b
,
c

d
a

c

b

d

④（可积性）a

b
,
c

0

ac
< br>bc

a

b
,
c

0

ac

bc

⑤
（
同向正数
可乘性）a

b

0,
c

d

0< br>
ac

bd

（
异向正数
可除性）
a

b

0,0

c

d
< br>a

b

c
d
S
3
k
< br>S
2
k
…

是等比数列
.

4
、非等差、等比数列前
n
项和公式的求法

⑴错位相减法


- 15 -

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