群的定义
玛丽莲梦兔
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2021年02月02日 15:43
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男柔道觉醒叫什么-嘀铃铃
第
5
讲
第二章
群
论
§
1
群的定义
（
2
课时）
本讲教学目的和要求：
群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，
是
近世代数的基础。
变换群在几何学中起着重要的作用，
而有限群则是
伽罗华理论（< br>Galois,E[
法
] 1811
—
1832
）的基础。
在所有只含一个代数运算的代数体 系中，
最重要的一个研究对象
就是群。而群的等价关系可谓“品种繁多”
，本讲只是依 教材作一些
一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和
“
mo noid
（幺半群）
”这样的基本概念。本讲的教学里要求学生对逆
元（左逆元、右逆 元）
，单位元（左单位元、右单位元）和群以及元
素的阶要弄清楚，
尤其是彼此的联系 务必要明白其脉络。
教材中定义
的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。
本讲的重点和难点：
由于本讲知识群论的最基本部分，
照理不该出现
什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意：
（
1
）
半
群，幺半群和群的关系
.
（
2
）
本
讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近
世代数”的学习之路
.
（
3
）
群
的阶和群中元素的阶
.
本讲 的教法和教具：
使用多媒体教室中的教学设备，
并鼓励学生参与
教学活动。
说明：
本章教学活动中群的代数运算“
”习惯上称为乘法（这时群
也称为乘群）
，特殊情况下，
“
”也叫加法并改用“
+
” 表示（群也随
之叫做加群）
一、
半群
定义
1.
设
G
为任一非空集合，
G
上定义了一个 能封闭的代数运算
“
”
，如果
“
” 满足结合律，即
a
,
b
,
c
G
,
(
a
b
)
c
a
(
b
c
)
，那么
代数体系
{
G
,
}
叫做是一个半群
.
注
：
（< br>1
）乘法“
”的表达形式上，以后都用“
ab
”来替代“< br>a
b
”
.
（
2
）在不发生混淆的前提下，半群
{
G
,
}
可简记 为
G
.
定义
2.
设
{
G
,
}
是一个半群，那么
如果乘法“
”满足交换律，则称
{
G
,
}
为可换半群
.
如果
G
是有限集，则称
{
G
,
}
为有限半群
.
例
1
、
{
Z
,
},
{
Z
,
}
都是半群，并且是可换半群
.
其中“< br>+
”和“·
”分别
是通常的加法和乘法。
（但不是有限半群）
同理：
{
Q
,
},
{
Q
,
}
，
{
Q
,
}{
R
,< br>
},
{
R
,
},
{
R
,
},
{
C
,
},
{
C,
},
{
C
,
},
{
N
,
},
{
N
,
},
{
N
,
},
{
N
,
}都是可换半群。
例
2
．
取
F
为任一数域，
M
n
(
F
)
为
F
上一切
n
阶方阵组成的集合。若
“
+
”和“·
”均 为通常矩阵的加法和乘法，那么
{
M
n
(
F
),
}
和
{
M
n
(
F
),
}
均为半群，但
{
M
n
(
F
),
}
为可换半群，而当
n
1
时，
{
M
n
(
F
),
}
不是可换
半群。
2
若
M
(
F
)
表示一切非零矩阵（
n< br>阶）组成的集合，那么
{
M
n
(
F
)
,
}
和
{
M
n
(
F
),
}
都不是半群了（为什么？）
< br>例
3
、设
A
{
1
,
2
,
3
,
4
}
，而
S
P
(
A
)
—
A
的全部子集构成的集合，通常叫
做
A
的幂 集。那么
{
S
,
}
及
{
S
,< br>
}
都是有限可换半群。
二、
monoid
（幺半群）
定义
3
、设
{
A
,
}
是一个代数体系，如果
A
中存在一个 特殊的元素，具
有性质：
a
A
都有
ea
ae
a
，
那么称
e
为
A
的 关于
“
”
的单位元
（恒
等元）
。
结论
1
：若
{
A
,
}
中有单位元< br>e
，那么单位元一定是唯一的
.
证明：设
e
1
,< br>e
2
都是
A
的单位元，
e
1
< br>e
1
e
2
e
2
.
定义
4
：设
{
G
,
}
是一个半群，如果
G< br>中含有单位元
e
，那么称
{
G
,
}
为
monoid
，通常写为
{
G
,
,
e
}
.
例
4
在例
1
中，
Z
,
Q
,
C
,
N
关于“
+
”都是
monoid
，因为有单位元
0
；
而关于“·
”也 是
monoid
，因为
1
是单位元。
在例
2中，
{
M
n
(
F
)
,
}< br>的单位元是
0
（零矩阵）
，
而
{
M
n
(
F
),
}
的单位
元为
I
（单位矩阵 ）
.
在例
3
中，
{
S
,
}< br>的单位元是
S
，
{
S
,
}
的单位 元是
.
思考题：能否举出一个是半群但不是
monoid
的例子？
三、群
定义
5
：设
{
G
,
< br>,
e
}
是一个
monoid
，如果对
a
< br>G
，满足：
3
a
G
,
使
a
a
a
a
e
，那么称
a
是
a
的逆元（正则元）。
结论
2
：若
a
在
monoid
{
G
,
,
e
}
中有逆元，那这个逆元是唯一的，所 以，
可以将
a
的逆元同意记为
a
1
.
证明：设
a
,
a
都是
a
的 逆元，那么
a
a
a
a
e
,
且
a
a
a
a
e
，于是
a
e
a
(
a
a
)
a
a
(
a
a
)
a
e
a
. 定义
6
：
（群的定义）设
{
G
,
,
e
}
是一个
monoid
，如果
{
G
,< br>
,
e
}
中每个元素
都有逆元，则称
{
G< br>,
,
e
}
是一个群。
说的更具体一点：
G
对“
”来说是一个群应满足下列四条：
（
1
）
“
”在
G
中是封闭的（即
“
”是代数运算）
（
2
）
“
”满足结合律
(
即
{
G
,
}
是半群
)
（
3
）
{
G
,
}
中 有单位元
e
，
（即
{
G
,
}
是
monoid
）
（
4
）
{
G
,
}
中每个元都有逆元（即
{
G
,
< br>}
是群）
课堂训练
：由群的定义，判断下列代数体系中哪些是群？为什么？
1
、
{
Z
,
}
2
、
{
Z
,
}
3
、
{
Q
,
}
4
、
{
Q
,
}
5
、
{
Q
,
}
6
、
{
R
,
}
7
、
{
R
,
}
8
、
{
R
,
}
9
、
{
C
,
}
10
、
{
C
,
}
11
、
{
C
,
}
12
、
{
N
,
}
13
、
{
N
,
}
14
、
{
N
,
}
15
、
{
N
,
}
16
、
{
M
n
(
F
),
}
17
、
{
M
n
(
F
),
}
18
、
{
M
n
(
F
)
,
}
19
、
{
S
,
}
20
、
{
S
,
}
解：
1
是群
.
因为
{
Z
,
}
有单位元
0
（即
e
0
）
，
而
n
Z
,
n
的 逆元为
n
，
因为
n
(
< br>n
)
(
n
)
n
< br>0
.
（譬如
3
的逆元为
-3
，…）同理
3 ,6,9,14,16
都是群
.
2
不是群
.
因为
{
Z
,
}
有单位元
1
，而
0
Z
，
0
不可能有逆元
（
a
0
0
1
）
4
同理4
，
7
，
10
，
15
，
17
也不是群，而
13
中虽然无零，但除了
1
外，
N
中其它元都 没有逆元，所以
13
也不是群。
18
不是群，因为若
A< br>
M
n
(
F
)
且
A
0< br>时，
A
不可逆
A
没有逆元
.
19
不是群，因为除了
外，其它元都没有逆元
.
20
不是群，因为除了
S
外，其它元都没有逆元
.
注意< br>：在群
{
G
,
}
中，通常称“
”为乘法，因而称群
G
为乘法群。但
有时我们会遇到用“加法”做成的群，例如什么的
1
，
3
，
6
，
9
，
16.
这时，我们称这类群为加法群。为此，这些群中的单位元习惯上称为
零元，并统记为
0
，每个元的逆元习惯上叫做负元，统记为
a
，
（而
不用
a
1
）
（譬如群
{
Z
,
}< br>中的零元为
0
，
3
的负元为
-3
）
不过要特别提醒的是：乘法群中的乘法“
”并不是一定都是两
个数相乘，
这里只是
“借用”
了这个词汇而已。
同理加法群中的相加，
并非一定是数的相 加，更多的表示“抽象加法”的含义。
一种重要的群
：我们应该能回忆得起第
4
讲中曾出现过的模
n
的剩余
类集合
Z
n
{[
0
],
[
1
],
[
2
],
,
[
n
1
]}
为了便于掌握，现 令
n
4
，我们期望能使
Z
4
成为一个群
.
第一步：在
Z
4
中定义代数运算，使其成为一个代数体系：
< br>在
Z
4
{[
0
],
[
1
],
[
2
],
[
3
]}
中规定加法“
+< br>”
：
[
i
]
[
j
}
< br>[
i
j
]
其中
[
2
]
[
3
]
[
1
],
[
1
]
[
2
]
[
3
]
事实上，
可用运算表来完全刻划
“
+
”
，
可知“
+
”是封闭的。
+
[0]
[1]
[2]
[3]
5