范数的定义
余年寄山水
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2021年02月02日 16:24
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3.3
范
数
3.3.1
向量范数
在一维空间中，
实轴 上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种
度量形式的定义。
范数是对函数、
向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一
个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、
向量或矩阵之间的距离。
向量范数 是
度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式，
只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。
若
X
是数域
K
上的线性空间，泛函
║·║: X
->R
满足：
1.
正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；
2.
正齐次性：║cx║=│c│║x║；
3.
次可加性
(
三角不等式
)
：║x+y║≤║x║+║y║ 。
那么║·║称为
X
上的一个范数。
常用范数
这里以
C^n
空间为例，
R^n
空间类似。
最常用的范数就是
p-
范数。若
x=[x1,x2,...,xn ]^T
，那么
║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}
可以验证
p-
范数确实满足范数的定义。其中三角不等式的证明 不是平
凡的，这个结论通常称为
闵可夫斯基
(Minkowski)
不等式。
当
p
取
1
，
2
，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：
1-
范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-
范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2
∞
-
范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
其中
2-
范数就是通常意义下的距离。
矩阵范数
一般来讲
矩阵
范数除了正定性，齐 次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相
容性：
║XY║≤║X║║Y║
。所以矩 阵范数通常也称为相容范数。
如果
║·║α
是相容范数，且任何满足
║·║β≤║·║α
的范数
║·║β
都不是相容范 数，那
么
║·║α
称为极小范数。对于
n
阶实方阵
(
或复方阵
)
全体上的任何一个范数
║·║
，总存
在唯一的实数k>0
，使得
k║·║
是极小范数。
注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为
mxn
矩阵全体和
mn
维
向量空间
同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子 的特征，这
一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到
Mincowski
定理以外 的信息。
矩阵的相关定义
特殊矩阵类别
对称矩阵
是相对其
主对角线
（由左上至右下）对称，
即是
ai,j=aj,i
。
< br>埃尔米特
矩阵（或自
共轭矩阵
）是相对其主对角线以复共轭方式对称，
即是
ai,j=a*j,i
。
特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对，
是
ai,j=ai+1,j+1
。
随机矩阵
所有列都是
概率
向量，
用于马尔可夫链。
逆
矩阵
：
设
A是数域上的一个
n
阶
方阵
，若在相同数域上存在另一个
n
阶矩阵
B
，使得：
AB=BA=E
。
则我们称
B
是
A
的逆矩阵，而
A
则被称为
可逆矩阵
。
矩阵可逆的条件
A
是可逆矩阵的充分必要条件 是∣
A
∣
≠0
，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
（当∣
A∣
=0
时，
A
称为奇异矩阵）
[1]
逆矩阵的求法
:
A^(-1)=(1/|A|)×
A*
，其中
A^(-1)
表示< br>矩阵
A
的逆矩阵，其中
|A|
为矩阵
A
的
行 列
式
，
A*
为矩阵
A
的
伴随矩阵
。
逆矩阵的另外一种常用的求法：
(A|E)
经过初等变换得到
(E|A^(-1))
。
注意：初等变化只用行运算，不能用列运算。
E
为单位矩阵。
逆矩阵具有以下性质：
1
矩阵
A
可逆的充要条件是
A
的行列式不等于
0
。
2
可逆矩阵
一定是方阵。
3
如果矩阵
A
是可逆的，
A
的逆矩阵是唯一的。
4
可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、
满秩矩阵
。
5
两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
6
可逆矩阵的
转置矩阵
也可逆。
7
矩阵可逆
当且仅当它是满秩矩阵。