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2021年2月5日发(作者：曲高和寡的反义词)
排列组合基本概念

两个基本原理

1.
加法原理：做一件 事，完成它可以有
n
类办法，在第一类办法中
有
m
1
种不同 的方法，在第二类办法中有
m
2
种不同的方法，
……
，
在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有
< br>N
＝
m
1
十
m
2
十
…
十< br>m
n
种不同的方法．

2.
乘法原理：做一件事，完成它需要 分成
n
个步骤，做第一步有
m
1
种不同的方法，做第二步有
m
2
种不同的方法，
……
，做第
n
步
有
m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有
N
＝
m
1
m
2
…m
n
种不同
的方法．





例
1
书架上层放有
6
本不同的数学书，下层放有
5
本不同的
语文书．





1
）从中任取一本，有多少种不同的取法？





2
）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

解：（
1
）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层
取数学书，可以从
6
本书中任取一本，有
6
种方法；第二类办法是
从下层取语文书，可 以从
5
本书中任取一本，有
5
种方法．根据加
法原理，得到不同的取 法的种数是
6
十
5=11
．

答：从书架任取一本书，有
11
种不同的取法．

（
2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完
成：第一步取一本数学书，有
6
种方法；第二步取一本语文书，有
5
种方法．
根据乘法原理，
得到 不同的取法的种数是

N
＝
6X5
＝
30
．

答：从书架上取数学书与语文书各一本，有
30
种不同的方法．

例
2(1)
由数字
l
，
2
，
3
，
4
，
5
可以组成多少个数字允许重复三位数？

(2)
由数字
l
，
2
，
3
，
4
，
5
可 以组成多少个数字不允许重复三位数？

(3)
由数字
0
，
l
，
2
，
3
，
4
，
5
可以组成多 少个数字不允许重复三位
数？





解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：
第一步确定百
位上的数字，从
5
个数字中任选一个数字，共有
5
种选法；第二步
确定十位上的数字，由于数字允许重 复，

这仍有
5
种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有
5
种选
法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是

N=5X5X5=125
．







答：可以组成
125
个三位数．






排列

什么叫排列？

从
n
个不同元素中，
任取
m(
m

n
)
个元素按照一定的顺序
排成一
．．．．．
列，叫做从
n
个不同元素中取出< br>m
个元素的
一个排列


．．．．
【排列数】

1.

定义：从
n
个不同元素中，任取
m(
m

n
)
个元素的所有排列
m
的个数叫做从
n
个元素中取出
m
元素的排列数，用符号
A
n
表示
.
m
2.

排列数公式：
A< br>n
=n(n-1)(n-
2)…(n
-m+1)
3
．全排列、阶乘的意义；

n
n
！
=n(n-1)(n-
2)…
1=
A
n
，规定

0!=1
m
A
n

n
!


（其中
m
≤
n

m,n

Z
）

(
n

m
)!
例
1
：⑴
7
位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

7









解：问题可以看作：
7个元素的全排列
——
A
7
＝
5040
⑵
7
位同学站成两排（前
3
后
4
）
，共有多少种不同的排法？< br>








< br>解：根据分步计数原理：
7×
6×
5×
4×
3×
2×
1
＝
7
！＝
5040
⑶
7
位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的
排法？

6




解：问题可以看作：余下的
6
个元素的全排列
A
6
=720
⑷
7
位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

2




解：根据分步计数原理：第一步

甲、乙站在两端有
A
2
种；第
5
5
二步

余下的
5
名同学进行全排列有
A
5
种


则共有
A
2
A
5
=240
种
2
排 列方法

⑸
7
位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少
种？










解法一（直接法）
：第一步

从（除去甲、乙）其余的
5
2
位同学中选
2
位同学站在排头和排尾有
A
5
种方法；
第二步

从余下
5
的
5
位同学中选
5
位 进行排列（全排列）有
A
5
种方法


所以一共
2
5
有
A
5
＝
2400
种排列方法．

A
5
6





解法二：（排除法）若甲站在排头有
A
6
种方法；若乙站
6
5
在 排尾有
A
6
种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有
A
5
种 方
7
6
法．
所以甲不能站在排头，
乙不能排在排尾的排法共有
A
7
－
2
A
6
＋
5
=2400
种．

A
5

组合

1
．组合的概念：一 般地，从
n
个不同元素中取出
m
（
m
≤
n
）个元
素并成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合 ．

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