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2021年2月5日发(作者：人性本善的例子)
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. .































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排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。


定义的前
提条件是
m
≦
n
，
m
与
n
均为自然数。
①

从
n
个不同元素中，
任取m
个元素按照一定的顺序排成一
列，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列。
②

从
n
个不同元素中，< br>取出
m
个元素的所
有排列的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数。


③

用具体的例子来理解 上面的定义：
4
种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是
6
种颜色呢。从
6
种颜色中取出
4
种进行排列呢。




解：
A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4- 4+1)=4x1x2x3x1=24
。






A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720
。






A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360
。


[
计算公式
]

排列用符号
A(n,m)
表示，
m
≦
n
。


计算公式是：
A(n,m)
＝
n(n-1)(n-2)
… …
(n-m+1)
＝
n!/(n-m)!

此外规定
0! =1
，
n!
表示
n(n-1)(n-2)
…
1

例如：
6!=6x5x4x3x2x1=720
，
4!=4x3x2x1=2 4
。


组合的定义及其计算公式


1



组合的定义有两种。定义的前提条件是
m
≦
n
。


①

从
n
个不同元素中，
任取
m
个元素并 成一组，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合。


②

从
n
个不同元素中，
取出
m
个元素的所有组合的个数，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的
组合数。


③

用例子来理解定义：从
4
种颜色中，取出
2
种颜色，能形成多少种组合。

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. .v
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. .































..

解
2x1)/2]/2=6
。




[
计算公式
]

组合用符号
C(n,m)
表示，
m
≦
n
。


公式是：
C(n,m)=A(n,m)/m!
或

C(n,m)=C(n,n-m)
。


例如：
C(5,2 )=A(5,2)/[2!x(5-2)!]=(1x2x3x4x5)/[2x(1x2x3)]=10
。



其它排列与组合公式


其它排列与组合有三种。


①

从
n
个 元素中取出
m
个元素的循环排列数
=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!< br>。


②

n
个元素被分成
K
类， 每类的个数分别是
n1,n2,
…
,nk
这
n
个元素的全排 列数为
n!/(n1!xn2!x
…
xnk!)
。


③

k
类元素，每类的个数无限，从中取出
m
个元素的组合 数为
C(m+k-1,m)
。



符号说明


C-
代表
-Combination--
组合数


A-
代表
-Arrangement--
排列数
(
在旧教材为
P-permutation--
排列
)

N-
代表
-
元素的总个数


M-
代表
-
参与选择的元素个数


!-
代表
-
阶乘

：
C(4,2)=A(4,2) /2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1 )]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[(4x3x
.








































































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. .v
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END

基本公式整理


只 要记住下面公式，就会计算排列组合：
(
在列式中
n
为下标
,m为上标
)

排列


A(n,m)
＝
n(n-1)(n-2)
……
(n-m+1)
＝
n!/(n-m)!

组合


C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=A(n,m)/m!

C(n,m)=C(n,n-m)=n!/m!(n,m)!

例如


A(4,2)=4!/2!=4x3=12

C(4,2)=4!/(2!x2!)=(4x3x2)/(2x2)=6


•


超全的排列组合解法






排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题 ，首先要认真
审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征 ，采用合
理恰当的方法来处理。


教学目标

1.
进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.
掌握解 决排列组合问题的常用策略
;
能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问 题分析
问题的能力


3.
学会应用数学思想和方法解决排列组合问题
.
复习巩固

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1.
分类计数原理
(
加法原理
)
完成一件事，
有
n
类办法，
在第
1
类办法中有
m
1
种不同 的方法，
在第
2
类办法中有
m
2
种不同的方
法，… ，在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有：
N

m
1

m
2

种不同 的方法．

2.
分步计数原理（乘法原理）


m
n

完成一件事，
需要分成
n
个步骤 ，
做第
1
步有
m
1
种不同的方法，
做第
2
步有
m
2
种不同的方法，
…，
做第
n
步有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有：

N

m
1

m
2

种不同的方法．

3.
分类计数原理分步计数原理区别


m
n



分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下
:

1.
认真审题弄清要做什么事

2.
怎样做才能完成所要做的事,
即采取分步还是分类
,
或是分步与分类同时进行
,
确定分多少 步及多少
类。

3.
确定每一步或每一类是排列问题
(
有序
)
还是组合
(
无序
)
问题
,
元素总数是多 少及取出多少个元素
.
4.
解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

一
.
特殊元素和特殊位置优先策略

例
1.
由0,1,2,3,4,5
可以组成多少个没有重复数字五位奇数
.
解
:
由于末位和首位有特殊要求
,
应该优先安排
,
以免不合要求的元素占 了这两个位置
.







先排末位共有
C
3




然后排首位共有
C
4




最后排其它位置共有
A
4

1
1
3



由分步计数原理得
C
4
C
3
A
4

288

3
1
1
C
4
1
A
4
3




C
3

1
位置分析法和元素分析法 是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法
,
若以元素分析为主
,
需
先安排特殊元素
,
再处理其它元素
.
若以位置分析为主
,
需先满足特殊位置的要求
,
再处理其它位
置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束 条件的同时还要兼顾其它条件

练习题
:7
种不同的花种在排成一列的花盆里
,
若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有
多少不同的种法？

二
.
相邻元素捆绑策略

例
2. 7
人站成一排

,
其中甲乙相邻且丙丁相邻
,
共有多少种不同的排法
.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同 时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元
5
2
2
素进行排列，同时对相邻元素 部进行自排。由分步计数原理可得共有
A
5
A
2
A
2

480
种不同的排
法

甲
乙
丙
丁

.








































































.









. .v
..






















































. .































..



练习题
:
某人射击
8
枪，命中
4
枪，
4
枪命中恰好有
3
枪连在一起的情形的不 同种数为


20


三
.
不相邻问题插空策略

例
3.
一个晚会的节目 有
4
个舞蹈
,2
个相声
,3
个独唱
,
舞蹈 节目不能连续出场
,
则节目的出场顺序有多少
种？

解
:< br>分两步进行第一步排
2
个相声和
3
个独唱共有
A
5< br>种，
第二步将
4
舞蹈插入第一步排好的
6
个元素
4< br>5
4
中间包含首尾两个空位共有种
A
6
不同的方法
,
由分步计数原理
,
节目的不同顺序共有
A
5
A
6< br>





5
要求某几个元素必须排在一 起的问题
,
可以用捆绑法来解决问题
.
即将需要相邻的元素合并
< br>为一个元素
,
再与其它元素一起作排列
,
同时要注意合并元素内部也必 须排列
.
种



元素相离问题可先把没有位置要求的元 素进行排队再把不相邻元素插入中间和两
练习题：某班新年联欢会原定的
5
个节目已排 成节目单，开演前又增加了两个新节目
.
如果将这两个
新节目插入原节目单中，且两个 新节目不相邻，那么不同插法的种数为


30
四
.
定序问题倍缩空位插入策略

例
4.7
人排队
,
其中甲乙丙
3
人顺序一定共有多少不同的排法

解
:(
倍缩法
)
对于某几个元素顺序一定的排列问题
,
可先把这几个 元素与其他元素一起进行排列
,
然后用
7
3
总排列数除以这几个元素 之间的全排列数
,
则共有不同排法种数是：
A
7
/
A
3





(
空位法
)
设想 有
7
把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
7
种方法，
其 余的三个位置甲乙丙共有

1
种坐法，则共有
A
7
种方法。












思考
:
可以先让甲乙丙就坐吗
?

（插入法
)< br>先排甲乙丙三个人
,
共有
1
种排法
,
再把其余
4
四人依次插入共有










方法




练习题:10
人身高各不相等
,
排成前后排，每排
5
人
,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

5








C
10

4
4
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插

五
.
重排问题求幂策略

例
5.
把
6名实习生分配到
7
个车间实习
,
共有多少种不同的分法

解
:
完成此事共分六步
:
把第一名实习生分配到车间有

7
种分法
.
把第二名实习生分配到车间也有
7
种
分依此类推
,
由分步计数原理共有
7
种不同的排法


允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素

的位置，一般地
n
不同的元素没有限制地安排在
m
个位置上的排列数 为
m
n
种



练习题：

1
．

某班新年联欢会原定的
5
个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目
.
如果将这两个节目插
6
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. .v

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