排列组合知识点总结
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2021年02月05日 17:55
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排列组合
二项式定理
1
，
分类计数原理
完成一件事有几类方法，
各类办法相互 独立每类办
法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）
分步计数原理
完成一件事，
需要分几个步骤，
每一步的完成有多
种不同的方法
2
，
排列
排列定义 ：从
n
个不同元素中，任取
m
（m≤n）个元素（被取
出的元素各不 相同）
，
按照一定的顺序排成一列，
叫做从
n
个不同
元素中 取出
m
个元素的一个排列。
排列数定义；从
n
个不同元素中，任取
m
（m≤n）个元素的所
有排列的个数
An
公式
m
A
m
n
=
n
!
规定
0
！
=1
(
n
m
)!
3
，组合
组合定义
从
n
个不同元素中，
任取
m
（m≤n）
个元素并成一组，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合
组合数
从
n< br>个不同元素中，任取
m
（m≤n）个元素的所有组
合个数
C
m
n
C
n
=
m
n
!
m
!(
n
m
)!
性质
C
n
=
C
n
m
n
m
C
n
1
m
C
n
m
C
m
1
n
排列组合题型总结
一．
直接法
1 .
特殊元素法
例
1
用1
，
2
，
3
，
4
，
5
，6
这
6
个数字组成无重复的四位数，试求满足下
列条件的四位数各有多少 个
（
1
）数字
1
不排在个位和千位
（
2
）数字
1
不在个位，数字
6
不在千位。
分析：
（
1
）个位和千位有
5
个数字可供选择
2
=240
A
5
2
A
4
A
5
2
，其余
2
位有四个可供选择
2
，由乘法原理：
A
4
2
．特殊位置法
（
2
）当
1
在千位时余 下三位有
有
1
1
3
=60
，
1
不在千位时 ，千位有
A
4
种选法，个位有
A
4
种，余下的
A< br>5
2
1
1
2
，共有
A
4
A
4
A
4
=192
所以总共有
192+60=252
A
4
二
间
接
法
当
2
）
可
用
间
接
法
4
3
2
=252 < br>A
6
2
A
5
A
4
Eg
有五张卡片，
它的正反面分别写
0
与
1
，
2
与
3
，
4
与
5
，
6
与
7
，
8
与
9
，
将它们任意三张并排放在一起组成三位数， 共可组成多少个不同的三位
数？
3
3
分析：
：任取三张卡片可以组成不同的三位数
C
5个，其中
0
在百
2
3
A
3
2
2
位的有
C
4
个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数< br>
2
2
A
2
2
2
3
3< br>-
C
4
=432
2
2
A2
C
5
2
3
A
3
Eg
三个女生和五个男生排成一排
（
1
）
女生必须全排在一起
有多少种排法（
捆绑法）
（
2
）
女生必须全分开
（插空法
须排的元素必须相邻）
（
3
）
两端不能排女生
（
4
）
两端不能全排女生
（
5
）
如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法
二．
插空法
当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例
3
在一个含有
8
个节目的节目单中，
临时插入两个歌唱节目，
且保持原节目顺序 ，
有多少中插
入方法？
分析：原有的
8
个节目中含有
9
个空档，插入一个节目后，空档变为10
个，故有
A
9
中插入方法。
三．
捆绑法
当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
1
．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有
种（
C
4
A
3
）
,2
，某市植物园要在
30
天内接待
20
所学校的学生参观 ，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数
较多，要安排连续参观
2
天，其余只 参观一天，则植物园
30
天内不同的安排方法有（
C
29
1
1
19
）
（注意
A
28
2
3
1
1
=100
A
10
连续参观
2
天，即需把
30
天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有
C
29其余的就是
19
所学校选
28
天进行排列）
四．
阁板法
名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例
5
某校准备组建一个由
12
人组成篮球队，这
12
个人由
8
个班的学生组成，每班至少一人，名额分
配方案共
种
。
分析：此例的实质是
12
个名额分配给< br>8
个班，每班至少一个名额，可在
12
个名额种的
11
个空当 中
插入
7
块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有
C
11< br>种
7
五
平均分推问题
eg
6
本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？
（
1
）
平均分成三堆，