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2021年2月5日发(作者：东周列国)
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索

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排列组合基础知识及习题分析


排列、
组合的本质是研究“从
n
个不同的元素中，
任取
m
(m≤n)个元素，
有序和无序摆放的各种可能性”.
区别排列与组合的标志是“有序 ”与“无序”.


解答排列、组合问题的思维模式有二：

其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；

其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.


分

类：“做一件事，完成它可以有
n
类方法”，这是对完成这件事 的所有办法的一个分类
.
分类时，首先
要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准 ，然后在这个

标准下进行分类；其次，分类时要注意满
足两条基本原则：①完成这件 事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同
的方法
.

分步：
“做一件事，
完成它需要分成
n
个步骤”，
这是说完成这件事的任何一种方法，
都要分成
n
个步骤
.
分步时， 首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并
且只需连 续完成这
n
个步骤后，这件事才算最终完成
.

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：

1
．有限制条件的排列问题常见命题形式：

“在”与“不在”

“邻”与“不邻”

在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：
⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法
.
⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.

⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置
.
⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果
.
2
．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：

“含”与“不含”

“至少”与“至多”

在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”
.
3
．

在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程
分 步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法
. ************************************************ *****************************
习题

1
、三边长均为整数，且最大边长为
11
的三角形的个数为（
C
）

(A)25
个
(B)26
个
(C)36
个
(D)37
个


2
、

（
1
）将
4
封信投入
3
个邮筒，有多少种不同的投 法？

（
2
）
3
位旅客，到
4
个旅馆住 宿，有多少种不同的住宿方法？


（
3
）
8
本不 同的书，任选
3
本分给
3
个同学，每人一本，有多少种不同的分法？


3
、

七个同学排成一横排照相
.
（
1
）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？

（
3600
）

（
2
）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？

（
1440
）

（
3
）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？

（
3120
）

1
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（
4
）甲、乙必须相邻的排法有多少种？

（
1440
）

（
5
）甲必须在乙的左边（不一 定相邻）的不同排法有多少种？（
2520
）


4
、用 数字
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
组成没有重复数字的数
.
（
1
）能组成多少个四位数？

（
300
）

（
2
）能组成多少个自然数？

（
1631
）

（
3
）能组成多少个六位奇数？

（
288
）

（
4
）能组成多少个能被
25
整除的四位数？

（
21
）

（
5
）能组成多少个比
201345
大的数？

（
479
）

（
6
）求所有组成三位数的总和
.
（
32640
）

5
、生产某种产品
100件，其中有
2
件是次品，现在抽取
5
件进行检查
.
（
1
）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？

（
152096
）

（
2
）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？

（
7224560
）

（
3
）“其中没有次品”的抽法有多少种？

（
67910864
）

（
4
）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？

（
7376656
）

（
5
）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？

（
75135424
）


6
、从
4台甲型和
5
台乙型电视机中任意取出
3
台，其中至少要有甲型和乙型电视 机各
1
台，则不同的取
法共有（

）

7
、在
50
件产品中有
4
件是次品，从中任抽
5
件，至少有
3
件是次品的抽法有
__
种
.
8
、
有甲、
乙、
丙三项任务
,
甲需
2
人承担
,
乙、
丙各需
1
人承担< br>.
从
10
人中选派
4
人承担这三项任务
,
不
同的选法共有（

）

9
、
12< br>名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口
4
人，则不同的分配方案共 有
____
种

10
、在一张节目表中原有
8
个节 目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安
排方法？
990


解决排列组合问题的策略

1
、逆向思维法
：

例题：
7
个人排座，甲坐在乙的左边（不一定相邻）的情况有多少种？

例题：一个正方体有
8
个顶点

我们任意选出
4
个 ，有多少种情况是这
4
个点可以构成四面体的。

例题：用
0
，
2
，
3
，
4
，
5
这五个数字，组成没 有重复数字的三位数，其中偶数共有（


）



A
．
24
个

B
．
30
个

C
．
40
个

D
．
60
个


2
、
解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略：

（
1
）无关型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集
< br>例题：用
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
六个数字可组成多少个被
10
整除且数字不同的六位数?
（
2
）包含型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系

例题：用
0
，
1
，
2
，
3
，4
，
5
六个数字可组成多少个被
5
整除且数字不同的六位奇数< br>?
P55
×－
P44
＝
120
－
24＝
96
用
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
六个数字可组成多少个被
25
整除且数 字不同的六位数
?
25
，
75
（
3
×
3
×
2
×
1
）×
2
＋
P44
＝< br>36
＋
24
＝
60
（
3
）影响型：两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。
例题：用
1
，
2
，
3
，
4
，
5
这五个数字，可以组成比
20000
大并且百位数字不是
3
的没有 重复数字
的五位数有多少个
?

3
、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略

2
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例题：
平面上
4
条平行直线与另外
5
条平行直线 互相垂直，则它们构成的矩形共有
________
个。

4
、解排列组台混合问题——采用先选后排策略

对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。

例：
4
个不同小球放入编号为
1
、
2
、
3
、
4
的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有
___
种。
144

5
、插板法

插板法的条件构成：
1
元素相同，
2
分组不同，
3
必须至少分得
1
个

插板法的类型：

（
1
）
、
10
块奶糖分 给
4
个小朋友，每个小朋友至少
1
块，则有多少种分法？（
典型插板 法

点评略
）


（
2
）
、10
块奶糖分给
4
个小朋友有多少种方法？（
凑数插板法：

这个题目对照插板法的
3
个条件我们发
现

至少满足
1
个这个条件没有，

所以我们必须使其满足，最好的方法

就是用
14
块奶糖来分，至少每人
1
块

，当每个 人都分得
1
块之后，剩下的
10
块就可以随便分了，就回归到了原题
）


（
3
）
、
10
块奶糖放到编号为< br>1
，
2
，
3
的
3
个盒子里，每个盒子的糖数 量不少于其编号数，则有几种方法？
（
定制插板法：

已然是最后一个条件不满足，我们该怎么处理呢，应该学会先去安排

使得每个盒子都 差
1
个，这样就保证每个盒子必须分得
1
个，从这个思路出发，跟第二个例题 是姊妹题

思路是一样的

对
照条件

想办法使其和条件吻合！
）


（
4
）
、
8
块奶糖和另外
3
个不同品牌的水果糖要放到编号为
1
～< br>11
的盒子里面，每个盒子至少放
1
个，有
多少种方法？（
多 次插空法

这里不多讲，见我排列组合基础讲义
）


6
、递归法（枚举法）

公考也有这样的类型，

排错信封问题，还有一些邮票问题

归纳法：

例如：
5< br>封信一一对应
5
个信封，其中有
3
个封信装错信封的情况有多少种？< br>
例如：
10
张相同的邮票

分别装到
4
个 相同的信封里面，每个信封至少
1
张邮票，有多少种方法？



疑难问题

1
、如何验证重复问题

2
、关于位置与元素的相同问题，

例如：
6
个人平均分配给
3
个不同的班级，跟
6
个学生平分成
3
组的区别


3
、关于排列组合里面，充分运用对称原理。

例题：
1
，
2
，
3
，
4
，
5
五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数？

例题：
7
个人排成一排，其中甲在乙右边（可以不相邻）的情况有多少种？

注解：分析
2
种对立情况的概率，即可很容易求解。

当对立情况的概率相等，即对称原理。


4
、环形排列和线性排列 问题。
（
见我的基础排列组合讲义二习题讲解
）

例如：
3
个女生和
4
个男生围坐在一个圆桌旁。

问有多少种方法？

例如：
3
对夫妇围坐在圆桌旁，男女间隔的坐法有多少种？

注解： 排列组合中，特殊的地方在于，第一个坐下来的人是作为参照物，所以不纳入排列的范畴，我们知
道，环 形排列中

每个位置都是相对的位置，没有绝对位置，所以需要有一个人坐下来作为参照位置。


3
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5
、几何问题：见下面部分的内容。

例析立体几何中的排列组合问题

在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。

1
点

1
．
1
共面的点

例题：

四面体的一个顶点为
A
，从其它顶点与棱的中点中取
3
个点，使它们和点
A
在同一平面上，不同的
取法有（

）

A
．
30
种
B
．
33
种
C
．
36
种
D
．
39
种

答案：
B
点评：此题主要考查组 合的知识和空间相像能力；属难度中等的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱
上的
3
点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。


1
．
2
不共面的点

例
2
：

四面体的顶点和各棱中点共
10
个点，在其中取
4
个不共面的点，不同的取法共有（

）

A
．
150
种
B
．
147
种
C
．
144
种
D
．
141
种

解析：从
10
个点中任取
4
个点有
C
（
10
，
4
）＝
210 < br>种取法，其中
4
点共面的情况有三类：第一类，取出
的
4
个点 位于四面体的同一个面内，有
C
（
6
，
2
）＝
15
种；第二类，取任一条棱上的
3
个点及对棱的中点，
这
4
点 共面有
6
种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的
4
个顶点共面，有< br>3
种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有
210－
4
×
15
－
6
－
3
＝
14 1
种。

答案：
D
。

点评：此题难度很大，对 空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合
中正难则反易的解题技巧 及分类讨论的数学思想。

几何型排列组合问题的求解策略

有关几何型组合 题经常出现在各类试题中，它的求解不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要掌握相关
的几何知识.
这类题目新颖、灵活、能力要求高，因此要求掌握四种常用求解策略
.
一

分步求解

例
1
圆周上有
2n
个等分点（
n
＞
1
）
，以其中三个点为顶点的直角三角形的 个数为
______
．

解：本题所求的三角形，即为圆的内接直角三角形， 由平面几何知识，应分两步进行：先从
2n
个点中构
成直径
（即斜边）
共有
n
种取法；
再从余下的
(2n
－
2)
个点中 取一点作为直角顶点，
有
(2n
－
2)
种不同取法．
故总共有
n(2n
－
2)
＝
2n(n
－
1)个直角三角形．故填
2n(n
－
1)
．


例
2
：

从集合
{0
、
1
、2
、
3
、
5
、
7
、
11}
中 任取
3
个元素分别作为直线方程
Ax
＋
By
＋
C< br>＝
0
中的
A
、
B
、
C
，
所 得的经过坐标原点原直线共有
____
条（结果用数值来表示）
.
解：因为直线过原点，所以
C
＝
0.
从
1
、< br>2
、
3
、
5
、
7
、
11
这
6
个数中任取
2
个作为
A
、
B
，

两数的顺序
不同，表示的直线也不同，所以直线的条数为
P
（
6
，
2
）＝
30
．


二

分类求解

例
3
四边体的一个顶点为
A
，从其它顶点与各棱的中点中取
3
点，使它们和
A
在同一 平面上，不同取法
有（

）

(A)30
种
(B)33
种
(C)36
种
(D)39
种

解：符合条件的取法可分三类：①
4
个点（含
A
）在同一侧面上，有
3
＝
30
种； ②
4
个点（含
A
）在侧棱
与对棱中点的截面上，有
3
种；由加法原理知不同取法有
33
种，故选
B.
三

排除法求解

例
4
从正方体的
6
个面中选取3
个面，其中有
2
个面不相邻的选法共有（

）

(A) 8
种
(B) 12
种
(C) 16
种
(D) 20
种

4
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索

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解：由六个任取
3
个面共有
C
（
6
，
3
）＝
20
种，排除掉
3
个面都相邻的种数，即
8
个 角上
3
个平面相邻的
特殊情形共
8
种，故符合条件共有
20
－
8
＝
12
种，故选
(B)
．

例
5
正六边形的中心和顶点共
7
个点，以其中
3
个点为顶点的三角形共有（

）个？

解：从
7
个点中任取
3
个点，共有
C
（
7
，
3
）＝
3 5
个，排除掉不能构成三角形的情形．
3
点在同一直线上
有
3个，故符合条件的三角形共有
35
－
3
＝
32
个．



四

转化法求解

例
6
空间六个点，它们任何三点不共线，任何四点不共面，则过每两点的直线中有多少对异面直线？


解：考虑到每一个三棱锥对应着
3
对异面直线，问题就转化为能构成多少个三棱锥
.
由于这六个点可构
成C
（
6
，
4
）＝
15
个三棱锥，故共有
3
×
15
＝
45
对异面直线
.
例
7
一个圆的圆周上有
10
个点，每两个点连接一条弦，求这些弦在圆内的交点个数最多有几个？

解：考虑到每个凸四边形的两条对角线对应一个交点，则问题可转化为构成凸四边形的个数．显然可构成

C
（
10
，
4
）＝
210
个圆内接四 边形，故
10
个点连成的点最多能在圆中交点
210
个
.
6
、染色问题：

不涉及环形染色

可以采用特殊区域优先处理的方法来分步解决。

环形染色可采用如下公式解决：

An
＝（
a
－
1
）
^n+(a-1)
×
(-1)^n n
表示被划分的个数，
a
表示颜色种类


原则：被染色部分编号，并按编号顺序进行染色，根据情况分类

在所有被染色的区域，区分特殊和一般，特殊区域优先处理


例题
1
：将
3
种作物种植在如图
4
所示的
5
块试验田里 ，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一
种作物。则有多少种种植方法？

图
1


例题
2
：用
5
种不同颜 色为图中
ABCDE
五个部分染色，相邻部分不能同色，但同一种颜色可以反复使用，
也可以不使用，则符合要求的不同染色方法有多少种？

图
2

例题
3
：将一个四棱锥的五个顶点染色，使同一条棱的
2
个端点不同色，且只由五 个颜色可以使用，有多
少种染色方法？

图
3


例题
4
：一个地区分为如图
4
所示的五个行政区域，现在有
4
种颜色可供选择，给地图着色，要求相邻区
域不同色，那么则有多少种染色方法？

5

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-

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-

-

-

-

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