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2021年2月5日发(作者：当雪花爱上梅花)

排列组合

知识结构

一、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，
就是 排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．

一般地，从
n
个不同的元素中取出
m
(
m

n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元
素中取出
m
个元素的一个排列．

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完 全相同，并且元素的排列顺序也相同．如
果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个 排列中，虽然元素完全相同，但元素的排
列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从
n
个不同的元素中取出< br>m
(
m

n
)
个元素的所有排列的个数，叫做从n
个不同的元素的排列中取出
m
个元素的排列数，我们把它记做
P
n
m
．

根据排列的定义，做一个
m
元素的排列由
m
个步骤完成：

步骤
1
：从
n
个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有
n
种方法；

步骤
2
：从剩下的
(
n
< br>1
)
个元素中任取一个元素排在第二位，有
(
n

1
)
种方法；

……

步骤
m
：从剩下的< br>[
n

(
m

1)]
个元素中任取一个元素 排在第
m
个位置，有
n

（
m

1
）

n

m

1
(
种
)
方法；

由乘法原理，从
n
个不同元素中取出
m
个元素的 排列数是
n
（
，即

n

1
）
（

n

2
）

（

n

m

1
）
P
n
m

（
n
n

1
）
（
.
n

2
） （
n

m

1
）
，这里，
m
< br>n
，且等号右边从
n
开始，后面每个因数比前一个因数小
1
，
共有
m
个因数相乘．


二、排列数


n

1
）
（

n

2
）


3

2

1
．

一 般地，对于
m

n
的情况，排列数公式变为
P
n
n

n
（
表示从
n
个不同元素中取
n
个元素 排成一列所构成排列的排列数．这种
n
个排列全部取出的排列，叫
做
n
个不同元素的全排列．式子右边是从
n
开始，后面每一个因数比前一个因数小
1，一直乘到
1
的乘积，

n

1
）
（

n

2
）

记为
n
!
，读做
n
的阶乘，则
P
n
n
还可以写为：
P
n
n

n
!
，其中
n
!

n< br>（

3

2

1
　
．
< br>在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将
这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．

三、组合问题

日常生活中有 很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参


五年级奥数
.
计数综合
.
排列组合


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加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我 们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分
组方法的问题．

一般地， 从
n
个不同元素中取出
m
个
(
m

n)
元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从
n
个不
同元素中取出< br>m
个元素的一个组合．


从排列和组合的定义可以知道，排列 与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素
完全相同，那么不管元素的顺序如何，都 是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不
同的组合．

从
n
个不同元素中取出
m
个元素
(
m

n
)
的所有组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个不同元
m
素的组合数．记作
C
n
．

一般地，求从
n< br>个不同元素中取出的
m
个元素的排列数
P
n
m
可分成 以下两步：

m
第一步：从
n
个不同元素中取出
m
个元素组成一组，共有
C
n
种方法；

m

第二步：将每一个组合中的
m
个元素进行全排列，共有
P
m
种排 法．

m
m

P
m
根据乘法原理，得到
P
n
m

C
n
．

m
因此，组合数
C
n

P
n
m
m
P
m

n
（

n

1
）
（

n

2)

（

n

m

1
）
．

m
（

m

1
）
（

m

2
）


3

2

1
这个公式就是组合数公式．


四、组合数的重要性质

m
n

m

C< br>n
一般地，组合数有下面的重要性质：
C
n
(
m
< br>n
)
m
n

m
这个公式的直观意义是：
C
n
表示从
n
个元素中取出
m
个元素组成一组的所有分组方法 ．
C
n
表示从
n
个元素中取出
(
n
m
)
个元素组成一组的所有分组方法．显然，从
n
个元素中选出
m
个元素的分组方法
恰是从
n
个元素中选
m
个元素剩下的< br>(
n

m
)
个元素的分组方法．

3
2

C
5
例如，从
5
人中选
3
人开会的 方法和从
5
人中选出
2
人不去开会的方法是一样多的，即
C
5
．

n
0

1
，
C
n

1
．

规定
C
n
五、插板法
一般用来解 决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①
所要分解的物体一般是相 同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到
1
个物体，不能有没分到 物体的组出现．

在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已 知条件进行适当的变
形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．

六、
使用插板法一般有如下三种类型：

⑴


m
个人分
n
个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排 ，在其中的


五年级奥数
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排列组合


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m< br>
1
(
n

1)
个空隙中放上
(
m

1)
个插板，所以分法的数目为
C
n

1
．

⑵


m
个人分
n
个东西，要求每 个人至少有
a
个．这个时候，我们先发给每个人
(
a

1)
个，还剩下
[
n

m
(
a

1) ]

个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为m

1
C
n

m
(
a
1)

1
．

⑶

m
个人分
n
个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来
m
个东西，每个人多发1
个，这
m

1
样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成 了
(
n

m
)
个
，因此分法的数目为
C< br>n

m

1
．


例题精讲

【例
1
】

4
个男生
2
个女生
6
人站成一排合影留念，
有多少种排法？如果要求
2个女生紧挨着排在正中间
有多少种不同的排法？







【
巩
固
】

4
男
2
女
6
个人站成一排合影留念，要求
2
个女的紧挨着有多少 种不同的排法？






【例
2
】

将
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
、
G
七位同学在操场排成一列，其中学 生
B
与
C
必须相邻．请问共有多
少种不同的排列方法？






【
巩
固
】

6
名小朋友
A
、
B
、
C
、
D、
E
、
F
站成一排，若
A
，
B
两人必 须相邻，一共有多少种不同的站法？
若
A
、
B
两人不能相邻，一共有 多少种不同的站法？










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计数综合
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排列组合


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【例
3
】

书架上有
4
本不同的漫画书，
5
本不同的童 话书，
3
本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果
同类型的书不要分开，一共有多少 种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排
法？






【
巩
固
】

四
年级三班举行 六一儿童节联欢活动．整个活动由
2
个舞蹈、
2
个演唱和
3
个小品组成．请问：
如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？







【例
4
】

8
人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？







【
巩
固
】

a
，
b
，
c
，
d
，
e
五个人排成一排，
a
与
b
不相邻，共有多少种不同的排法？










【例
5
】

一台晚会上有
6
个演唱节目和
4
个舞蹈节目．求：


⑴

当
4
个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？

⑵

当要求每
2
个舞蹈节目之间至少安排
1
个演唱 节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？








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